山西省晋城市陵川一中2024届数学高一第二学期期末学业水平测试试题含解析

山西省晋城市陵川一中2024届数学高一第二学期期末学业水平测试试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知等差数列的前项的和为，若，则等于（）A．81 B．90 C．99 D．1802．已知向量满足：，，，则（）A． B． C． D．3．已知数列是公差不为零的等差数列，是等比数列，，，则下列说法正确的是（）A． B．C． D．与的大小不确定4．已知平面向量，，若，则实数()A．-2 B．-1 C． D．25．已知，则向量在方向上的投影为（）A． B． C． D．6．若，则下列不等式恒成立的是（）A． B． C． D．7．三棱锥则二面角的大小为()A． B． C． D．8．已知，则的值域为A． B． C． D．9．设a，b，c表示三条不同的直线，M表示平面，给出下列四个命题：其中正确命题的个数有（）①若a//M，b//M，则a//b；②若b⊂M，a//b，则a//M；③若a⊥c，b⊥c，则a//b；④若a//c，b//c，则a//b.A．0个 B．1个 C．2个 D．3个10．在中,,是的内心,若,其中,动点的轨迹所覆盖的面积为(

)A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．执行如图所示的程序框图，则输出的S的值是______.12．函数的单调递增区间为______.13．数列的前项和为，，且（），记，则的值是________.14．已知数列的前4项依次为，，，，试写出数列的一个通项公式______.15．已知，，，则在方向上的投影为__________．16．在正方体的体对角线与棱所在直线的位置关系是______.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边做两个锐角，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为（1）求的值；（2）求的值．18．如图，在三棱锥中，，分别为，的中点，且.（1）证明：平面；（2）若平面平面，证明：.19．已知，，，且.（1）若，求的值；（2）设，，若的最大值为，求实数的值.20．已知直线：及圆心为的圆：．（1）当时，求直线与圆相交所得弦长；（2）若直线与圆相切，求实数的值．21．已知是同一平面内的三个向量，其中.（Ⅰ）若，且，求；（Ⅱ）若，且与垂直，求实数的值.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解题分析】

根据已知得到的值，利用等差数列前项和公式以及等差数列下标和的性质，求得的值.【题目详解】依题意，所以，故选B.【题目点拨】本小题主要考查等差数列的性质，考查等差数列前项和的计算，属于基础题.2、D【解题分析】

首先根据题中条件求出与的数量积，然后求解即可.【题目详解】由题有，即，，所以.故选：D.【题目点拨】本题主要考查了向量的模，属于基础题.3、A【解题分析】

设等比数列的公比为，结合题中条件得出且，将、、、用与表示，利用因式分解思想以及基本不等式可得出与的不等关系，并结合等差数列下标和性质可得出与的大小关系.【题目详解】设等比数列的公比为，由于等差数列是公差不为零，则，从而，且，得，，，即，另一方面，由等差数列的性质可得，因此，，故选：A.【题目点拨】本题考查等差数列和等比数列性质的应用，解题的关键在于将等比中的项利用首项和公比表示，并进行因式分解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.4、A【解题分析】

由题意，则，再由数量积的坐标表示公式即可得到关于的方程，解出它的值【题目详解】由，，则，即解得：故选：A【题目点拨】本题考查数量积判断两个平面向量的垂直关系，向量的数量积坐标表示，属于基础题．5、B【解题分析】

根据向量夹角公式求得夹角的余弦值；根据所求投影为求得结果.【题目详解】由题意得：向量在方向上的投影为：本题正确选项：【题目点拨】本题考查向量在方向上的投影的求解问题，关键是能够利用向量数量积求得向量夹角的余弦值.6、D【解题分析】

利用不等式的性质、对数、指数函数的图像和性质，对每一个选项逐一分析判断得解.【题目详解】对于选项A,不一定成立，如a=1＞b=-2,但是，所以该选项是错误的；对于选项B,所以该选项是错误的；对于选项C,ab符号不确定，所以不一定成立，所以该选项是错误的；对于选项D,因为a>b,所以，所以该选项是正确的.故选D【题目点拨】本题主要考查不等式的性质，考查对数、指数函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.7、B【解题分析】

P在底面的射影是斜边的中点，设AB中点为D过D作DE垂直AC，垂足为E，则∠PED即为二面角P﹣AC﹣B的平面角，在直角三角形PED中求出此角即可．【题目详解】因为AB＝10，BC＝8，CA＝6所以底面为直角三角形又因为PA＝PB＝PC所以P在底面的射影为直角三角形ABC的外心，为AB中点．设AB中点为D过D作DE垂直AC，垂足为E，所以DE平行BC，且DEBC＝4，所以∠PED即为二面角P﹣AC﹣B的平面角．因为PD为三角形PAB的中线，所以可算出PD＝4所以tan∠PED所以∠PED＝60°即二面角P﹣AC﹣B的大小为60°故答案为60°．【题目点拨】本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，确定出二面角的平面角是解答本题的关键．8、C【解题分析】

利用求函数的周期为，计算即可得到函数的值域.【题目详解】因为，，，因为函数的周期，所以函数的值域为，故选C.【题目点拨】本题考查函数的周期运算，及利用函数的周期性求函数的值域.9、B【解题分析】

由空间直线的位置关系及空间直线与平面的位置关系逐一判断即可得解.【题目详解】解：对于①，若a//M，b//M，则a//b或与相交或与异面，即①错误；对于②，若b⊂M，a//b，则a//M或a⊂M，即②错误；对于③，若a⊥c，b⊥c，则a//b或与相交或与异面，即③错误；对于④，若a//c，b//c，由空间直线平行的传递性可得a//b，即④正确，即正确命题的个数有1个，故选：B.【题目点拨】本题考查了空间直线的位置关系，重点考查了空间直线与平面的位置关系，属基础题.10、A【解题分析】

画出图形，由已知条件便知P点在以BD，BP为邻边的平行四边形内，从而所求面积为2倍的△AOB的面积，从而需求S△AOB：由余弦定理可以求出AB的长为5，根据O为△ABC的内心，从而O到△ABC三边的距离相等，从而，由面积公式可以求出△ABC的面积，从而求出△AOB的面积，这样2S△AOB便是所求的面积．【题目详解】如图，根据题意知，P点在以BP，BD为邻边的平行四边形内部，∴动点P的轨迹所覆盖图形的面积为2S△AOB；在△ABC中，cos，AC=6，BC=7；∴由余弦定理得，；解得：AB=5，或AB=（舍去）；又O为△ABC的内心；所以内切圆半径r=,所以∴==；∴动点P的轨迹所覆盖图形的面积为．故答案为：A．【题目点拨】本题主要考查考查向量加法的平行四边形法则，向量数乘的几何意义，余弦定理，以及三角形内心的定义，三角形的面积公式．意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)本题的解题关键是找到P点所覆盖的区域.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、4【解题分析】

模拟程序运行，观察变量值的变化，寻找到规律周期性，确定输出结果．【题目详解】第1次循环：，；第2次循环：，；第3次循环：，；第4次循环：，；…；S关于i以4为周期，最后跳出循环时，此时.故答案为：4.【题目点拨】本题考查程序框图，考查循环结构．解题关键是由程序确定变量变化的规律：周期性．12、【解题分析】

令，解得的范围即为所求的单调区间.【题目详解】令，，解得：，的单调递增区间为故答案为：【题目点拨】本题考查正弦型函数单调区间的求解问题，关键是能够采用整体对应的方式，结合正弦函数的单调区间来进行求解.13、3【解题分析】

由已知条件推导出是首项为，公比为的等比数列，由此能求出的值.【题目详解】解：因为数列的前项和为，，且（），，.即，.是首项为，公比为的等比数列，故答案为：【题目点拨】本题考查数列的前项和的求法，解题时要注意等比数列的性质的合理应用，属于中档题.14、【解题分析】

首先写出分子的通项公式，再写出分母的通项公式，合并即可.【题目详解】，，，，的通项公式为，，，，，的通项公式为，正负交替的通项公式为，所以数列的通项公式.故答案为：【题目点拨】本题主要考查根据数列中的项求出通项公式，找到数列中每一项的规律为解题的关键，属于简单题.15、【解题分析】

根据数量积的几何意义计算．【题目详解】在方向上的投影为．故答案为：1．【题目点拨】本题考查向量的投影，掌握投影的概念是解题基础．16、异面直线【解题分析】

根据异面直线的定义，作出图形，即可求解，得到答案.【题目详解】如图所示，与不在同一平面内，也不相交，所以体对角线与棱是异面直线.【题目点拨】本题主要考查了异面直线的概念及其判定，其中熟记异面直线的定义是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解题分析】

试题分析：（1）根据题意，由三角函数的定义可得与的值，进而可得出与的值，从而可求与的值就，结合两角和正切公式可得答案；（2）由两角和的正切公式，可得出的值，再根据的取值范围，可得出的取值范围，进而可得出的值.由条件得cosα＝，cosβ＝.∵α，β为锐角，∴sinα＝＝，sinβ＝＝.因此tanα＝＝7，tanβ＝＝.(1)tan(α＋β)＝＝＝－3.(2)∵tan2β＝＝＝，∴tan(α＋2β)＝＝＝－1.∵α，β为锐角，∴0<α＋2β<，∴α＋2β＝18、（1）见解析（2）见解析【解题分析】

（1）先证明，再证明平面；（2）先证明平面，再证明.【题目详解】证明：（1）因为，分别为，的中点，所以.又平面，平面，所以平面.（2）因为，为中点，所以.又平面平面.平面平面，所以平面.又平面，所以.【题目点拨】本题主要考查空间几何元素位置关系的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.19、(1)0(2)【解题分析】

（1）通过可以算出，移项、两边平方即可算出结果.（2）通过向量的运算，解出，再通过最大值根的分布，求出的值.【题目详解】（1）通过可以算出，即故答案为0.（2），设，，，即的最大值为；①当时，（满足条件）；②当时，（舍）；③当时，（舍）故答案为【题目点拨】当式子中同时出现时，常常可以利用换元法，把用进行表示，但计算过程中也要注意自变量的取值范围；二次函数最值一定要注意对称轴是否在规定区间范围内，再讨论最后的结果.20、(1)弦长为4；(1)0【解题分析】

（1）由得到直线过圆的圆心，可求得弦长即为圆的直径4；（1）由点到直线的距离等于半径1，得到关于的方程，并求出.【题目详解】（1）当时，直线：，圆：．圆心坐标为，半径为1．圆心在直线上，则直线与圆相交所得弦长为4.（1）由直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，所以，解得：．【题目点拨】本