广西柳州市2021年中考数学真题试卷(答案+解析)

广西柳州市2021年中考数学试卷

一、单选题（共12题；共24分）

1.在实数3,1,0,-2中，最大的数为（）

A.3B.iC.0D.-2

2

2.如下摆放的几何体中，主视图为圆的是（）

3.柳州市大力发展新能源汽车业，仅今年二月宏光MINIEV销量就达17000辆，用科学记数法将数据17000

表示为（）

A.0.17x105B.17X103C.1.7x104D.1.7x105

4.以下四个标志，每个标志都有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形是（）

绿色环保

绿色食品

5.以下调查中，最适合用来全面调查的是（）

A.调查柳江流域水质情况B.了解全国中学生的心理健康状况

C.了解全班学生的身高情况D.调查春节联欢晚会收视率

6.如图，在菱形ABCD中，对角线AC=8,BD=10,贝"&AOD的面积为（）

B

A.9B.10C.11D.12

7.如图，有4张形状大小质地均相同的卡片，正面印有速度滑冰、冰球、单板滑雪、冰壶四种不同的图

案，背面完全相同，现将这4张卡片洗匀后正面向下放在桌子上，从中随机抽取一张，抽出的卡片正面怡

好是冰壶项目图案的概率是（）

8.下列计算正确的是（）

A.V3+V7=V10B.3+V7=3V7C.V3xV7=V21D.277-2=V7

9.某校九年级进行了3次数学模拟考试，甲、乙、丙三名同学的平均分为及方差S2如右表所示，那么这

三名同学数学成绩最稳定的是（）

甲乙I'.]

X919191

S262454

A.甲B.乙C.丙D.无法确定

11.往水平放置的半径为13cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面图如图所示，若水面宽度AB=

AL

5cmB,8cmC・10cm12cm

12.如图所示，点A,B,C对应的刻度分别为1,3,5,将线段CA绕点C按顺时针方向旋转，当点A首

次落在矩形BCDE的边BE上时，记为点A,-则此时线段CA扫过的图形的面积为（）

48

A.4V3B.6C.-TTD.-7T

二、填空题（共6题；共6分）

13.如图，直线a〃b,Nl=60°,则N2的度数是°.

14.因式分x2-l=.

15.如图，在数轴上表示x的取值范围是.

-101234

16.若长度分别为3,4,a的三条线段能组成一个三角形，则整数a的值可以是.（写出一个即可）

17.在x轴，y轴上分别截取04=0B,再分别以点A,B为圆心，以大于^AB长为半径画弧，两弧交

于点P,若点P的坐标为（a,2）,则a的值是.

18.如图，一次函数y=2x与反比例数y=］（k>0）的图象交于A,B两点，点M在以C（2,0）为圆

心，半径为1的。。上，N是4M的中点，已知ON长的最大值为|，则k的值是.

19.计算：|—31—V9+1

20.解分式方程：1=京

21.如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个点C,从点C不经过池塘可以直接

到达点A和B,连接AC并延长到点D,使CD=C4,连接BC并延长到点E,使CE=CB,连接

DE,那么量出DE的长就是A、B的距离，为什么？请结合解题过程，完成本题的证明.

ED

证明：在&DEC和4ABC中，

CD=_____

{_________

CE=_____

ADEC三△4BC(S4S)

二

22.如今，柳州螺蝴粉已经成为名副其实的“国民小吃"，螺蝌粉小镇对A、B两种品牌的螺鲫粉举行展销活

动.若购买20箱A品牌螺狮粉和30箱B品牌螺狮粉共需要4400元，购买10箱A品牌螺蛔粉和40箱B品

牌螺蝴粉则需要4200元.

(1)求A、B品牌螺蛔粉每箱售价各为多少元？

(2)小李计划购买A、B品牌螺蝴粉共100箱，预算总费用不超过9200元，则A品牌螺蛔粉最多购买多

少箱？

23.为迎接中国共产党建党100周年，某校开展了以“不忘初心，缅怀先烈”为主题的读书活动，学校政教处

对本校七年级学生五月份"阅读该主题相关书籍的读书量"(下面简称“读书量")进行了随机抽样调查，并

对所有随机抽取学生的“读书量”(单位：本)进行了统计，如下图所示.

人数

图1图2

（1）补全下面图1的统计图；

（2）本次所抽取学生五月份"读书量"的众数为；

（3）已知该校七年级有1200名学生，请你估计该校七年级学生中，五月份“读书量”不少于4本的学生人

数.

24.在一次海上救援中，两艘专业救助船A,B同时收到某事故渔船的求救讯息，已知此时救助船B在4

的正北方向，事故渔船P在救助船A的北偏西30。方向上，在救助船B的西南方向上，且事故渔船P

与救助船A相距120海里.

（1）求收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离；

（2）若救助船A,B分别以40海里/小时、30海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往事故渔船尸

处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达.

25.如图，四边形4BCD中，AD^BC.AD1AB,AD=AB=1,DC=,以A为圆心，4。为半径作

圆，延长CD交于点F,延长DA交QA于点E,连结BF，交DE于点G.

（1）求证：BC为04的切线;

（2）求cosZEDF的值；

(3)求线段BG的长.

26.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线：y=ax2+4-c交x轴于4(-1,0),8(3,0)两点，与y轴

交于点C(o,-|).

图1图2

(1)求抛物线的函数解析式；

(2)如图L点D为第四象限抛物线上一点，连接。。，过点B作BELOD,垂足为E,若BE=

2OE,求点D的坐标；

(3)如图2,点M为第四象限抛物线上一动点，连接AM,交BC于点N,连接BM,记△BMN的

面积为S],XABN的面程为S2,求金的最大值.

答案解析部分

一、单选题

1.【答案】A

【考点】有理数大小比较

【解析】【解答】根据有理数的比较大小方法，可得：

1

-2<0<；<3,

因此最大的数是：3,

故答案为：A.

【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0;②负数都小于0;③正数大于一切负数；④两个正

数，绝对值大的其值大，据此比较.

2.【答案】D

【考点】简单几何体的三视图

【解析】【解答】A.主视图为三角形，不符合题意；

B.主视图为矩形，不符合题意；

C.主视图为正方形，不符合题意；

D.主视图为圆，符合题意.

故答案为：D.

【分析】三棱锥的主视图为三角形，三棱柱的主视图为矩形，正方体的主视图为正方形，球的主视图为

圆，据此解答.

3.【答案】C

【考点】科学记数法一表示绝对值较大的数

【解析】【解答】17000=1.7X104.

故答案为：C.

【分析】科学记数法的表示形式为axicr的形式，其中141al<10,n为整数.确定n的值时，要看把原数

变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于10时，n是正

数；当原数的绝对值小于1时，n是负数.

4.【答案】D

【考点】轴对称图形

【解析】〔解答】1.A,B,C都不是轴对称图形，

・••都不符合题意；

D是轴对称图形，符合题意，

故答案为：D.

【分析】轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，据此

分析即可.

5.【答案】C

【考点】全面调查与抽样调查

【解析】【解答】A.调查柳江流域水质情况，普查不切实际，适用采用抽样调查，不符合题意；

B.了解全国中学生的心理健康状况，调查范围广，适合抽样调查，不符合题意；

C.了解全班学生的身高情况，适合普查，符合题意；

D.调查春节联欢晚会收视率，调查范围广，适合抽样调查，不符合题意.

故答案为：C.

【分析】抽样调查与普查：一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大

时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查，据此判断即可.

6.【答案】B

【考点】三角形的面积，菱形的性质

【解析】【解答】•••ABCD是菱形

■■■AC1BD,AO=OC,BO=OD

△AOD的面积-\A0xDO

=7,XT：X8X-X10

222

=10

故答案为：B.

【分析】由菱形的性质可得ACJLBD,AO=OC,BO=OD,然后根据SAAOD$女Cx^BD计算即可.

7.【答案】A

【考点】概率公式

【解析】【解答】事件所有可能的结果有4种，抽出的卡片正面恰好是冰壶项目图案的结果有1种，所以

抽出的卡片正面怡好是冰壶项目图案的概率是；.

故答案为：A.

【分析】由题意可知：事件所有可能的结果有4种，抽出的卡片正面恰好是冰壶项目图案的结果有1种，

接下来根据概率公式进行计算.

8.【答案】C

【考点】二次根式的乘除法，同类二次根式

【解析】【解答】A.V3+V7,不是同类二次根式，不能合并，不符合题意；

B.3+V7,不是同类二次根式，不能合并，不符合题意；

C.V3xV7=VTX7=V21符合题意；

D.2V7-2,不是同类二次根式，不能合并，不符合题意.

故答案为：C.

【分析】A、B、D、根据同类二次根式的概念进行判断；

C、根据二次根式的乘法法则进行判断.

9.【答案】A

【考点】方差

【解析】【解答】甲、乙、丙的成绩的平均分定都是91,故比较它们的方差，甲、乙、丙三名同学的方

差分别为6,24,54；故甲的方差是最小的，则甲的成绩是最稳定的.

故答案为：A.

【分析】由题意可知：甲、乙、丙的平均成绩相等，然后根据方差越小，成绩越稳定进行判断.

10.【答案】B

【考点】一次函数图象、性质与系数的关系

【解析】【解答】首先将(0,2),(4,0)代入一次函数解析式y=kx+b,得

rb=2

[4k+b=0'

解得｛k=一3,

b=2

所以解析式为y=—；x+2；

A、k>0,由求出的k=-三,可知此选项错误；

B、b=2,由求出的b=2,可知此选项正确；

C、因为k<0,所以y随x的增大而减小，故此选项错误；

D、将x=3代入，y=-：x3+2=：,故此选项错误；

故答案为：B.

【分析】将(0,2),(4,0)代入y=kx+b,可得一次函数解析式，据此判断A、B；根据一次函数解析

式结合一次函数的性质判断即可；将x=3代入，求出y的值，然后进行比较即可判断D.

11.【答案】B

【考点】勾股定理，垂径定理

【解析】【解答】解：连接OA,过点。作OD_LAB交AB于点C交。。于D,

D

OC±AB,由垂径定理可知,

•••AC=CB=1AB=12,

在RtaAOC中，由勾股定理可知:

0C=yJOA2-AC2=V132-122=5，

CD=0D-0C=13—5=8(cm),

故答案为：B.

【分析】连接0A,过点。作。D_LAB交AB于点C交。。于D,由垂径定理可得AC=CB=]AB=12,然后

在RtAAOC中，由勾股定理可求得OC的值，最后根据CD=OD-OC进行计算.

12.【答案】D

【考点】扇形面积的计算，锐角三角函数的定义，旋转的性质

【解析】【解答】解：由图可知：AC=A'C=4,BC=2,

,sin/B4'cf=泻’

•1./BA'C=30°,ZBCA'=60°.

线段C4扫过的图形为扇形，此扇形的半径为。4=4,

C60°.■)8

S糠形4cA'=痂兀X4=-7T,

故答案为：D.

【分析】由图可知：AC=A，C=4,BC=2,然后根据三角函数的概念可得tanNBA，C的值，进而得到NBA，C

的度数，最后根据扇形面积公式进行计算.

二、填空题

13.【答案】60

【考点】平行线的性质，对顶角及其性质

【解析】【解答】•••allb,如图

Z3=Z1=60°

,/Z2=Z3

Z2=60°

故答案为：60.

【分析】首先对图形进行角标注，由平行线的性质可得N1=N3,然后由对顶角的性质就可得到N2的度

数.

14.【答案】(x+l)(x-l).

【考点】因式分解-运用公式法

【解析】【解答】原式=(x+X)(x—1).故答案为Cx+1)(x—1).

【分析】直接利用平方差公式进行因式分解，即可求解.

15.【答案】x>2

【考点】在数轴上表示不等式的解集

【解析】【解答】解：由数轴知：x>2,

故答案为：x>2.

【分析】由数轴可知：2处为空心圆点，且向右，据此可得x的范围.

16.【答案】5（答案不唯一）

【考点】三角形三边关系

【解析】【解答】解:由题意知：4-3<a<4+3,BPl<a<7,

整数a可取2、3、4、5、6中的一个，

故答案为：5（答案不唯一）.

【分析】由三角形三边关系可得：l<a<7,据此可得a的值.

17.【答案】2或-2

【考点】作图-角的平分线

【解析】【解答】解：当P点位于第一象限时，如下图所示：

由尺规作图痕迹可知，0P为NAOB角平分线，此时P点横坐标与纵坐标相等,

故a=2；

当P点位于第二象限时，如下图所示：

由尺规作图痕迹可知，0P为NAOB角平分线，此时P点横坐标与纵坐标互为相反数，

故a=-2；

a的值是2或2

【分析】由尺规作图痕迹可知，0P为NAOB角平分线，然后分P点位于第一象限，P点位于第二象限两

种情况进行分析.

18.【答案】||

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，线段的性质：两点之间线段最短，两点间的距离，三角形的

中位线定理

【解析】【解答】解：连接BM,如下图：

1.•0,N分别是AB,AM的中点，

•••ON是4ABM的中位线，

・'ON小时,

已知ON长的最大值为|,

此时的BM=3,

显然当B,C,M三点共线时，取到最大值：BM=3,

BM=BC+CM=BC+1=3,

BC=2,

设,由两点间的距离公式：BC=-2尸+4臣=2,

•••(t-2)2+4t2=4,

解得：tl=|,t2=0(取舍)，

将代入y=；(k>0),

解得：上=||，

故答案是：g.

【分析】连接BM,由中位线的性质可得ON《BM,根据题意可得BM=3,此时B、C、M三点共线，且

BC=2,设B(t,2t),根据两点间距离公式表示出BC,求出t的值，进而得到点B的坐标，接下来将点B

的坐标代入反比例函数解析式中求解就可得到k的值.

三、解答题

19.【答案】解：原式=3—3+1

=1

【考点】实数的运算

【解析】【分析】根据绝对值的性质、算术平方根的概念可得原式=3-3+1,计算即可.

20.【答案】解：去分母得：

%+3=2%

解得x=3

检验：将％=3代入原方程的分母，不为0

%=3为原方程的解.

【考点】解分式方程

【解析】【分析】首先给方程两边同时乘以x（x+3）,将分式方程化为整式方程，求出x的值，然后进行检

验即可.

21.【答案】证明：在4DEC和AABC

CD=CA

{ZDCE=ZACB

CE=AB

△DEC"ABC(S4S)

ED=AB

【考点】三角形全等的判定（SAS）,对顶角及其性质

【解析】【分析】由已知条件可得CD=CA,CE=CB,由对顶角的性质可得NDCE=NACB,然后证明

△DECV△ABC,根据全等三角形的性质就可得到结论.

22.【答案】（1）解：设4品牌螺蜘粉每箱售价为X元，B品牌螺狮粉每箱售价为y元,

20x+3Oy=4400

由题意得：｛

10%+40y=4200

x=100

解得｛

y=80

答：4品牌螺蝴粉每箱售价为100元，B品牌螺蜘粉每箱售价为80元;

（2）解：设购买A品牌螺蜘粉为a箱，则购买B品牌螺蝴粉为（100-a）箱,

由题意得：100a+80（100-a）S9200,

解得aS60,

答：4品牌螺狮粉最多购买60箱.

【考点】一元一次不等式的应用，二元一次方程组的实际应用-销售问题

【解析】【分析】（1）设A品牌螺蝴粉每箱售价为x元，B品牌螺蛔粉每箱售价为y元，根据题意可得

2Ox+30y=4400

方程组（求解即可;

10x+40y=4200

（2）设购买A品牌螺蜘粉为a箱，则购买B品牌螺蜘粉为（100-a）箱，根据题意可得

100a+80(100-a)<9200,求解即可.

23.【答案】（1）解：；读书量1本的人数为5人，占抽取人数的10%,

••・抽取人数为：5-10%=50（人）.

•••读书量为4本的人数为：

50-（5+10+20+5）=50-40=10（人）.

•••图1补充完整如下:

(2)3本

(3)解：•••样本中读书量不少于4本的人数的百分比为：臂x100%=30%,

1200x30%=360(人).

答：估计七年级学生中读书量不少于4本的学生人数为360人.

【考点】用样本估计总体，扇形统计图，条形统计图

【解析】【解答】解：(2)•.・读书量为3本的人数最多，

抽取学生五月份读书量的众数为3本.

故答案为：3本

【分析】(1)根据读书量1本的人数除以所占的百分比求出总人数，进而求出读书量4本的人数，据此

补全条形统计图；

(2)根据条形统计图可得众数；

(3)根据条形统计图求出读书量4、5本的人数，然后求出所占的比例，最后乘以1200即可.

24.【答案】⑴解：如图，作PC14B于C,

则ZPCA=/PCB=90°,

由题意得：P4=120海里，4=30°，/5PC=45。，

..PC=^P4=60海里，4BCP是等腰直角三角形，

BC=PC=60海里，PB=VPC2+BC2=60V2海里，

答：收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离为60V2海里

（2）解：；PA=120海里，PB=60V2海里，救助船A,B分别以40海里/小时、30海里/小时的速

度同时出发，

.,・救助船A所用的时间为詈=3（小时），

救助船B所用的时间为竺在=2近（小时），

30

3>2V2,

，救助船B先到达

【考点】解直角三角形的应用-方向角问题

【解析I分析［（1）如图，作PC_L4B于C,根据含30。直角三角形的边之间的关系得出PC=\PA=

60海里，根据等腰直角三角形的性质得出BC=PC=60海里，进而根据勾股定理即可算出PB的

长；

（2）根据路程除以速度等于时间算出救助船A,B各自到达事故船的时间，再比大小即可.

25.【答案】（1）证明：：AD||BC.AD1AB,

ZCBA=ZBAD=90°

*.*AB=AD=1

CB是的切线

（2）解：过D作DH1BC于H,

•••AB1BC,DH1BC

：.AB||DH

四边形ABHD为平行四边形

DH=AB=1,BH=AD=1,/EDF=ZC

在RtADHC中，ZDHC=90°,DH=1,DC=V5

HC=7CD2-DH2=vrn?=2,

BC=BH+HC=3,

cosZEDF=cos^C=—=4=-V5

DCyf55

（3）解：过A作AJA.FC于点J,

FJ=JD

在中，ZA]D=90°MD=1

]D=AD-cosZAD]=1•|V5=|V5

FD=2/D=^V5

FD:FC=FD:(FD+DC)=4:9

ED||BC

△FGDFBC

GDFD4

，，FC-FC-9

4

GD=-,

AG=GD-AD=-

3

1

RtAGAB中，ZGAB=90°,AG=^,AB=1

BG=yjAG2+AB2=Il+-=—•

、93

【考点】平行四边形的判定与性质，切线的判定，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义

【解析】【分析】(1)由题意可得NCBA=NBAD=9O。，然后结合切线的判定定理证明；

(2)过D作DHJLBC于H,易得四边形ABHD为平行四边形，在R3DHC中，由勾股定理可得HC的值，

进而求出BC的值，最后根据三角函数的概念求解即可；

(3)过A作AJ_LFC于点J,则FJ=JD,在RtaAJD中，由三角函数可求得JD的值，进而得到FD的

值，求出FD:FC的值，然后证明△FGD-△FBC,根据相似三角形的性质就可得到GD的值，然后求出AG

的值，最后在RSGAB中，应用勾股定理求解即可.

26.【答案】(1)解：依题意，设y=a(x+l)(x-3),

代入C(0,—|)得：a-1•(—3)=—|,解得：a=|

y=|(x-l)(x-3)=|(x-l)2-2=|x2-x-|；

(2)解：由BE=2OE,设OE=x,则BE=2.x,

BE±OD,

.,.在RtAOEB中，OB=3,由勾股定理得：0E2+BE2=0B2,

即/+4/=9,解得：xi=¥，%2=—警(舍)，

过点E做TF平行于OB交y轴于T,

△ETOOEB,

OTOETE

•■~~*=~~,

EBOBOE

：.OE2=0BTE,

即37E=£,解得：7E=|,

直线OE的解析式为y=—2x,

•••OE的延长线交抛物线于点D,

y=-2x

*'•L._2,v2—v_39解得：=LX2=—3（舍），