尴尬“估算”-理性教学

2023年主题教学论文〔小学数学〕2023年主题教学论文〔小学数学〕【内容摘要】估算是计算教学中必不可少的重要内容，无论是估计运算的结果，还是确定数的取值范围，都在数学学习中有着十分广泛的应用。自“估算〞进入数学课程后，其难教、难学是不争的事实。究其原因在于理论研究的缺乏、课程设计及实践经验的缺乏，以及估算在解决问题策略上的多样性和计算结果的不确定性等因素造成的。本文通过对学生估算现状分析入手，探寻切实可行的有效策略。【关键词】估算教学理性分析应对策略【正文】估算是计算教学中必不可少的重要内容，无论是估计运算的结果，还是确定数的取值范围，都在数学学习中有着十分广泛的应用。估算作为小学数学课程内容最初仅限于培养计算能力，是计算教学的辅助手段。2023年公布的《义务教育数学课程标准》对估算教学作了具体的描述。第一学段：能结合具体情境，选择适当的单位进行简单估算，体会估算在生活中的作用；第二学段：在解决问题的过程中，能选择适宜的方法进行估算。但是，不可否认，自“估算〞进入数学课程后,其难教、难学已是不争的事实。虽然教科书中参加了估算，但事实上这一内容并未真正融入数学课程，与相关内容以及教师的教和学生的学仍是一种对立关系。让我们一起来看看估算教学中的一些现状。“为难〞估算【案例一】人教版《数学》三年下册第二单元“除数是一位数的除法〞第31页第4题如下列图：面对此类题，大局部学生采用的是估算进行解答，因为对于学生来说，只要题中出现“大约〞字眼，尤其是题中的问题出现“大约〞字眼，肯定是要用“估算〞的。困惑：为什么学生面对问题中出现的“大约〞“约〞字眼就想到用估算，是老师平时错误数学信息的提示，还是凡“大约〞就一定要“估算〞错误思想的“根深蒂固〞？【案例二】一次公开课上，某老师出示了如下一道题：一班学生238人，二班学生158个学生，399个座位够吗？老师把学生分成6个小组进行了讨论，其中有5个小组用了老师课上强调的“既凑整算得快，又与实际结果相差得尽可能小〞的思路，将238估计为240，158估计为160，240+160=400，所以399个座位不够；而其中有1个小组进行了精确计算，发现399个座位够。面对学生不同的答案，教师说道：“确实，有些问题是不能用估算解决的，必须进行精确计算〞。学生在上完课与教师的交流中这样说道：“因为今天是公开课，所以才用到估算，平时，对于这种题目，我们的老师都让我们用精确计算的……〞上课老师陷入了为难中。困惑：“估算〞教学只是走形式，“估算〞教学只是“做秀〞，学生既没有感受估算其中的简化思想，也没有触及估算的真正意义，学生估算意识的培养和估算能力的提高从所谈起？【案例三】教师出示以下题目，请学生进行估算。东方书报亭10月上旬的营业额〔单元：元〕，你能估计出这个月上旬的营业额吗？日期12345678910营业额206201206204205198196198195203生1：我把这些数都估成200，200×10=2000〔元〕生2：我把206、205看作210，其他的数都看作200，210×3+200×7=2030〔元〕，其他学生也表示同意。这时一个学生站起来：老师，我也算出来，比他们算得更准确，得2023元。困惑：在统计类题型中，“估算〞是不是等同于“简算〞？“简算〞可以代替“估算〞？【案例四】某校期末考试卷上一道估算题：每个篮球49元，要买8个篮球，请你估计400元够吗？阅卷时老师发现，全班学生几乎都是用精算算出结果的，即49×8=392〔元〕，392﹤400，所以够了。学生这样解答算不算对？给不给分？大局部的教师认为：①虽然学生采用了精确计算的方法，只要结果是正确的，就应该给予肯定。②学生没有认真审题，不能判分。困惑：“估算〞的结果是否有统一的标准？“估算〞评价的多样性，尤其把精确计算也纳入到“估算〞评价方法，会不会让学生更爱“精算〞而弃“估算〞！综合上述的案例，我们大致可以概括当前估算教学的现状为：学生对估算的价值认识不够；教师自身数学素养〔估算知识〕欠缺，对估算教学内容把握不准；教材编写不够合理，估算教学遭遇许多为难；估算教学效果难以检测和评价；受传统的精确计算占统治地位的影响，学生习惯精算，不愿估算；深度剖析看得出估算这一课程内容在教学实践中存在很多问题。理论研究的缺乏、课程设计及实践的经验缺乏，以及估算在解决问题策略上的多样性和计算结果的不确定性等因素都让老师们与学生对估算“望而却步〞。因此需要明晰估算作为课程内容的本质属性，提示矛盾产生的原因，进而寻求估算融入数学课程与教学的途径，实现估算的课程目标。一、从“大约〞看“估算〞本质“大约〞一词是伴随着估算进入数学教科书的。查阅《新华汉语词典》“大约〞的解释是，“大约〞作为副词后接数量时，一般表示不十分准确但比拟接近的意思，“大约〞并不是一个具有严格意义的数学术语，因此在不同语境的使用中，其含义是会出现差异的。〔一〕“无法准确〞的“大约〞所谓的“无法准确〞的“大约〞指的是，无法用具体的精确的数字来表达其数量特征。就如上述案例一中指到的“青蛙大约活6年〞，“海龟大约活128年〞，这些所说“青蛙〞和“海龟〞，不是一只而是一类。当然不可能每一只青蛙都可以活6年，每一只海龟都可以活128年，这里所使用的“大约〞反映的是一类动物寿命的普遍现象，即“青蛙的寿命都近似于6年〞以及“海龟的寿命都近似于128年〞。这里的“6年〞或“128年〞应当是动物学家对大量青蛙和海龟观察取证后所得到的平均值，因此，这里的“大约〞实际是统计中的“平均〞的意思，因此也可以说“青蛙的平均寿命是6年〞以及“海龟的平均寿命近是128年〞。诸如此类的问题表达中外表看有“大约〞，但并不属于需要估算的问题。“无法准确〞的“大约〞的另一种情况是路程、速度中的表达。比方在一些作业中经常会碰到这种题目：“小明每分钟走65米，从学校到家走了10钟，小明家离学校大约有多少米？〞题目中表达的“小明每分钟走65米〞，并不说明小明每分钟真的都刚刚好是65米，行走过程中时快时慢的速度是很正常的事情。这里的“每分钟走65米〞也是一个统计意义的平均值，因此也可以表述为，“小明平均每分钟走65米〞。题目中的问题“小明家离学校大约有多少米〞中的“大约〞，并不是要求运算估算进行解答的，而是伴随着前面的“大约走65米〞而出现的。此类题目还有许多如“王亮正在看的故事书有60页，每页有20行字，平均每行大约有25个字，这本书大约有多少个字？〞等，这些题中的“大约〞只是承接前句中的“约〞，所以属于精确计算，不需要估算。〔二〕不同与“近似值〞的“大约〞我们知道：如果一个数能确切地表示一个量的真正值〔准确值〕，那么这个数叫准确数，求准确数的计算叫精确计算；近似地表示某个量的准确数的数叫近似数，求近似数的计算叫近似计算。近似计算按照一定的规那么进行计算的，计算结果的误差不能超过允许的范围。估算，即大致推算，一般指根据实际需要、具体条件和要求，粗略地求出结果的计算。特别是“近似计算〞，一般是“无法准确〞的情况下，不得已而为之的计算，比方大家都知道的圆周率就是一个圆的周长与这个圆的直径的比值，由于这个比值是无理数，因此无法用整数或有限的十进小数表达出来，不得已而采用四舍五入取近似值，最后只能说“圆周率大约是3.14〞或者“近似于3.14〞，虽然结果不是准确的，但人的主观意愿还是追求尽量准确。因此近似计算与估算是有本质上的差异的，不能将二者混为一堂。上述案例二中的学生三种计算方法中，简算是简算，估算是估算，“估算〞不等同于“简算〞，“简算〞不可以代替“估算〞，只能说通过“简算〞来求“估算〞的结果。二、从“多元性〞看“估算〞属性估算的方法和策略是灵活多样的，它没有精确度的硬性要求，它的结果是多元的，一般而言，估算的结果难说对与错，只有好与差之分。另外，由于估算受个体目标的影响，这就使得估算相对于通常计算所追求的“准确〞来说就具有了不确定性。这种不确定性自然就导致了估算方法的个性化和多样化特征。这种不确定性和方法的个性化多样化统称为估算的开放性。〔一〕数据重塑与算式转换估算的开放性首先表现在数据重塑、算式转换。所谓数据重塑是指在进行估算时，将参加计算的数据进行改变进而进行简算。在估算的思考过程中，数据重塑和算式转换是经常同时出现的。但要注意两者的不同，比方，对于“8946+7212+7814〞的估算，如果把注意力放在数据的改变上，就会将算式改变为“9000+7000+8000〞，从而得到估算的结果为24000，其中只有数据发生了变化，算式的结构并没有发现变化，因此，它属于数据重塑的思维过程。如果从整体观察算式“8946+7212+7814〞，会发现三个数据都非常接近8000，想到变加法为乘法，算式就变成了“8000×3〞，其结果也是24000。这样的过程使得算式的结构发生了变化，因此，属于算式转换的思维过程。所以，前面的案例二，日期12345678910营业额206201206204205198196198195203当学生把这些数都估成200，200×10=2000〔元〕，这是算式转换的思维过程，而学生把206、205看作210，其他的数都看作200，210×3+200×7=2030，也同时用到了“数据重塑〞与“算式转换〞而进行的算简，是非常好的估算方算，要大力表现学生，但要告诉学生，这是估算的一种思维方式，但不等于“简算〞。〔二〕盈亏互补估算的开放性其次表现在“盈亏互补〞上。盈亏互补实际上是追求估算结果尽量准确而进行的思维过程，是伴随在数据重塑和算式转换之中或之后进行调整的过程。这一思维过程是与问题的情境及问题的目标紧密相关的。比方前面的案例三，“一班学生238人，二班学生158个学生，399个座位够吗？〞，如果将238估为240，158估为160，240+160=400，这一过程首先采用了数据重塑，如果再采用盈亏互补240估大了2，160估大了2，即240+160=400400-2-2＝396，把算多的局部减去也就轻易地估算出399个座位够了。盈亏互补作为一种思维方法，不仅在计算中使用，在解决问题中也经常出现，比方“鸡兔同笼〞中的假设法，也是蕴含了盈亏互补的思维过程。三、“估算〞具有“风险性〞在运用估算解决问题的过程中，策略选择的思考中存在着诸多的不确定因素，相对于精确计算来说，这些不确定因素一方面是导致其难教、难学的主要原因。另一方面也是培养学生良好思维的契机和素材。比方人版二年级上册作业本上的一道数学题：一件上衣58元，一条裤子43元，买一套大约需要花多少钱？100元够吗？学生在解答入时陷了困境：因为此题如果直接精确计算“58+43〞的结果为101，立刻就可以得到问题的结论“100元钱不够〞。如果估算那么出现了如下的答案：将58与43都估成最接近的整十数“60〞与“40〞后，那么60+40=100，那么可以得出“大约100元〞，并且“100元够了〞结论。这样就出现了精确计算与估算结论不一样的情况。这样就让学生产生了质疑，并模棱两可，是相信估算的答案呢，还是精确定计算的答案？这样，估算策略选择会有“不可靠〞风险。再如，“比拟51×49与52×48〞的大小，如果用精确计算的方法，直接计算出51×49的结果为2499，52×48的结果为2496，立刻可以得到51×49﹥52×48的结论，如果运用估算，就可能将51×49与52×48的每一个数据都就近变成整十数，那么两个算式都变成了50×50，这样比拟的结果就是两个算相等，这种结果自然是不对的。由此看来，估算策略还会出现“无效〞的风险。类似于还有不同方法得到不同结论的情况。比方，前面的案例三：每个篮球49元，要买8个篮球，请你估计400元够吗？如果把49放大看成50，8×50等于400，所以买8个篮球400元是够的。如果把8看成10，49×10等于490，比400大，所以买8个篮球400元是不够的。同样的问题运用不同的估算方法得到了不同的结论，因此，运用估算解决问题会出现“多解不同果〞的风险。我们都知道学生在学习数学的过程中通常都会有“一题多解〞的经验，同样的问题可以用不同的方法解决，不同的方法应当得到同样的结果。而不同的估算方法可能会得到不同的结论，这就使得估算方法还具有“多元〞的特点。正是估算方法所具有的多元、无效和不可靠的特点，使得估算的过程具有了不确定性的特征。因此解题者在运用估算解决问题的过程中自然会出现“拿不准〞的感觉，这种拿不准的感觉可能也是许多学生宁愿使用精确计算也不愿意使用估算的原因所在。所以教师也需要一定等待的心，理解的心，宽容的心看待学生的估算。理性教学有了对估算教学的深度分析后，实际教学中就会理性的对待。例如观念上重视，深刻理会估算的价值，将估算意识的培养作为估算教学的核心目标。教学中落实，教给学生根本的估算方法，养成良好的估算习惯。〔一〕策略的合理选择新课程改革倡导学生自主探究、培养创新精神和发散思维，但并不是怎么算都可以，怎么做都行。估算教学应教给学生一定的、普遍的标准，能怎么算都对。小学生做题时就有了大方向，有了一定的标准，在面对具体题目时再根据数据特点再灵活使用具体方法，学生的估算才能算得好、算得快。在《义务教育课程标准实验教科书教师用书》中，提出估算的两个标准是：符合生活实际，计算方便。笔者认为，估算的标准应是三条，而且这三条标准应该有分个主次先后：1、符合生活实际；2、计算方便，能够口算；3、尽量接近准确值。第一，估算的首要条件是符合生活实际，因为具体情境中的数学问题，即使估算再简便、再接近准确值，如果违背了客观规律，也是站不住脚跟的。《义务教育课程标准实验教科书教师用书》中明确指出：什么时候应估大些，什么时候应估小些，应视实际情况而定，不能机械的采用“四舍五入法〞来取近似数，如四年级上册83页的第5题：有500吨货物，每节车厢限载60吨，需要多少节车厢才能装完？此题就必须使用“进一法〞来估算：500÷60≈9〔节〕，因为剩下的货物再少，也需要再装1节车厢才能“装完〞的。第二，如果估算比拟烦琐，这样的估算就失去了估算的价值；所以我们要求学生在确定了估算符合生活实际后，其次就要确定自己的方法是否比准确计算简便，能否口算出结果。如872+469的估算中，有学生将872看作870、469看作470，虽然估算得出的结果1340非常接近准确值，但计算不简便，丧失了估算的优越性，所以这道题可以这样估算，都比拟简便：872+469≈1400872+469≈1369872+469≈1372……〔900〔500〕〔900〕〔500〕第三，在满足了前两个条件的前提下，估算结果还必须接近准确值。例如839÷6≈，就有学生将839看作了600，结果839÷6≈100，与准确值的误差非常大，在实际生活中，估算是不允许有这么大的偏差的。所以，我们必须要求学生再考虑了第三个要素：接近准确值，一般把数据看作比拟接近原数的整十、整百数、几百几十数；因此，839÷6≈，应将839看作840，所以839÷6≈140。二、意识的正确培养生活中所有人都在频繁的使用估算，可在学习中学生却没有估算的习惯，这是因为学和用别离了。要想培养学生的估算意识必须把学和用结合起来。1.变“可有可无〞为“无处不在〞。长久以来，估算在小学数学的教材中一直作为选学内容，且由于这局部内容在编排时，呈现的形式比拟单一，没能表达出对学生估算能力的培养的完整意图，充当着一个可有可无的角色。所以教师要创造性地使用教材，在原来教材中没有要求估算的地方也要创造时机让学生进行估算，活化教材，让学生感到估算无处不在。在数与代数领域，估算要渗透到计算的每一个环节中。如教师引导学生在系统计算前进行估算，可分析解出的得数取值大概在什么范围内。如在计算2613÷13时，学生容易漏掉商中间的0，如果先估算一下，2600÷13=200，所以2613除以13的商肯定比200多。计算中进行估算，对于四那么混合运算式题，在计算的过程中，既要观察运算的顺序是否正确，还要对每一步单独运算的结果进行估算，看是否符合计算的有关规律。计算后进行估算，就是对照分析解出的得数是否在估算的取值范围内或是否符合客观实际，从而判断出在计算过程中有没有错误。2.变“不愿估算〞为“喜欢估算〞。教师在教学中要创设现实、有趣、富有挑战性的情景，使学生逐步体验估算的可行性。当估算成为一种习惯后，发现在学生当中有一种现象：很多的同学总是会为自己估算得最接近而洋洋得意。例如：在○里填上“＞〞“＜〞或“=〞。67×98○670047×63○240027×45○32×4631×53○29×49