2023-2024学年九年级（上）期末复习3-压轴提高（解析版）

2023—2024学年九年级(上)期末复习3【考点1几何综合问题】【例1】(2022市南，14)如图，在长80米、宽60米的矩形草地上修建两条互相垂直的小路，即MO//NP,【答案】146行四边形面积公式即可小路的面积；注意要减去中间小正方形的面积.,即,同理可得,小路的面积为：故答案为：146.【变式1-1】(2022崂山，14)如图，在正方形纸片ABCD中，对角线AC、BD交于点O,折叠正方形纸片ABCD,使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，展开后折痕DE分别交AB、AC于点E、G,连AEFG是菱形.其中正确的结论有【答案】①③④⑤为AE=AG,且AG=FG,AE=FE,则有AE=AG=FE=FG,则可判断⑤正确.设AE=x,则EF=x,BE=√2x,:·且AD=DF,BE=20G,且AG=FG,AE=FE,∴四边形AEFG是菱形，故⑤正确；故答案为：①③④⑤.【变式1-2】(2022胶州，14)如图，在正方形ABCD中，E为AD的中点，F为AB的中点，DF的延长线与证得B为CH的中点，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，从而求得BG长.【详解】解：∵正方形ABCD,故答案为：10.【考点2几何动点】【例2】(2022市北，25)已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90,AC=8cm,BC=6cm.直线PE从B点出发，以2cm/s速度向点A方向运动，并始终与BC平行，与AC交于点E.同时，点F从C点出发，以1cm/s的速度沿CB向点B运动，设运动时间为t(s)(0<t<5).(1)当t为何值时，四边形PFCE是矩形?(2)设△PEF的面积为S(cm²),求S与t的函数关系式；(3)连接BE,是否存在某一时刻t,使PF经过BE的中点?若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.(3)不存在，理由见解析【分析】(1)根据PE//BC,得到△APE∽△ABC,利用相似比求出PE,AE,当PE=CF时，四边形PFCE是矩形，列式计算即可；(3)当PE=BF,PF经过BE的中点，列式求解即可.【小问1详解】解：∵∠C=90°,AC=8cm,BC=6cm,∵直线PE从B点出发，以2cm/s的速度向点A方向运动，,,,当PE=CF时，四边形PECF是矩形，时，四边形PECF是矩形；【小问2详解】【小问3详解】不存在，理由如下：当PE=BF时，四边形PEFB为平行四边形，此时PF经过BE的中点.解得t=0,不合题意，∴不存在某一时刻，使PF经过BE的中点.【变式2-1】(2022崂山，25)如图，在平行四边形ABCD中，AB=8,AD=10,AB和CD之间的距离是8,动点P在线段AB上从点A出发沿AB方向以每秒2个单位的速出发沿BC的方向以每秒1个单位的速度匀速运动，过点P作PE⊥AB,交线段AD于点E,若P,Q两点(1)当BE平分∠ABC时，求t的值；(2)连接PQ,CE,设四边形PECQ的面积为S,求出S与t的函数关系式；(3)是否存在某一时刻t,使得CE//QP?若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.(2)如图，过点C作CF⊥AD于F,过点Q作QG⊥AB交AB的延长线于G,S=S=ABCD-S△APE-S△PBQ∴∴(2)如图2中，过点C作CF⊥AD于F,过点Q作QG⊥AB交AB的延长--∴S=SABCD-S△APE-S△PBQ如图3中，连接EC,PQ.化简得5²-41t+60=0,<t<8).(2)设四边形PBQD的面积为S(cm²),写出S与t的关系式；(2)过点Q作QH⊥AC于H,由∠A=60°,AP=tcm,PD⊥AC,得到∠APD=30°,得,由,【小问1详解】【小问2详解】过点Q作QH⊥AC于H,,,,,【小问3详解】(舍去),【小问4详解】∵aAPD≌CQH(AAS),∴△PDE≌QEH(AAS),【变式2-3】(2022三十九中，25)如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,AB=3cm,lcm/s;PQ/AC交BD于F,交AD于Q,连接PE,QB,设运动时间为t(s)(O≤t≤3).求y与t之间的函数关系式；理由.,四边形,,四边形,交于点J,过E作EI⊥BQ于1,作EH⊥QJ于H,证明四边形ACJQ为平【小问1详解】【小问2详解】【小问3详解】如图，延长BC,QH交于点J,过E作EI⊥BQ于1,作EH⊥QJ于H,∴四边形ACJQ为平行四边形，∠J=∠ACB根据函数图象可得：a≈2.71,【考点3材料探究题】【例3】(2022市南，23)数学上的对称通常是指轴对称、中心对称，以及对称的思想方法.某数学兴趣小组进行折纸活动，来感受图形中的对称思想.如图1,将正方形纸片ABCD对折后展开，得到折痕HG;如图2,将纸片再次折叠，使点A落在折痕HG上，记作点F;如图3,连接AF,得到△ABF.CC(1)请判断：△ABF是三角形；【问题提出】兴趣小组成员想要进一步找到正方形中最大的等边三角形.【问题探究】如图4,小颖认为正方形中最大等边三角形的顶点一定落在正方形的边上，她将图4的△PRQ沿AB进行平移，使点Q与点B重合(如图5),再将△PRB绕点B旋转，使PR与对角线BD垂直，延长BR,BP分别交CD,AD于点E和F(如图6),连接EF,便可得到如图7的最大等边△BEF.设正方形ABCD的边长为2.(2)小丽利用对称(2)小丽利用对称,(3)若不知道15°角的三角函数值，请你换一种方法求BF的长.(4)如图8,已知正六边形中最大的等边三角形边长为4,则该正六边形的边长为(5)A₄纸的长为29.7cm,宽为21cm,现要在A₄纸中剪一个最大等边三角形.请你在图9中画出示意图(不需尺规作图),并求该最大等边三角形的边长.【分析】(1)由折叠的性质可知：进而得到∠AFB=60°,再利用等边三角形的(2)根据余弦的定义得到进而解得BF的值；(3)根据等腰直角三角形的性质及勾股定理即可解答；(4)画出图形，由锐角三角函数列出算式即可得到正六边形的边长；(5)画出图形，由锐角三角函数列出算式即可得到最大等边三角形的边长；【小问1详解】又AB=BF,故答案为：等边；【小问2详解】解：如图：,,即,【小问3详解】解：如图：∵△BEF关于直线BD对称，∴DE=DF,△DEF是等腰直角三角形，设DE=DF=x,则EF=√2x=BF=BE,AF=AD-DF在Rt₂ABF中，AF²+AB²=BF²,解得x=2√3-2或x=-2√3-2(小于0,舍去),小问4详解】【小问5详解】Rt₂RST中，,,通过构造恰当的图形，可以对线段长度、图形面积大小等进行比较，直观地得到一些不等关系或最值，这是“数形结合”思想的典型应用.【理解】(1)如图1,AC⊥BC,CD⊥AB,垂足分别为C、D,E是AB的中点，连接CE.已知AD=a,BD=b(0①分别求线段CE、CD的长(用含a、b的代数式表示);②比较大小：CECD(填“<”、“=”或“>”),并用含a、b的代数式表示该大小关系.【应用】的图象上，横坐标分别为m、(2)如图2,在平面直角坐标系xOy中，点M、N的图象上，横坐标分别为m、②通过归纳猜想，可得I的最小值是 .请利用图2构造恰当的图形，并说明你的猜想成立.②根据垂线段最短，可得结论.(2)①根据m,n的值代入计算即可.②如图2中，过点M作MA⊥x轴于A,ME⊥y轴于E,过点N作NB⊥x轴于B,NF⊥y轴于F,连接MN,取MN的中点J,过点J作JG⊥y轴于G,JC⊥x轴于C,则何意义，求解即可.【解答】解：(1)①如图1中，,根据反比例函数k的几②∵CD⊥AB,∴根据垂线段最短可知，CD<CE,故答案为：>.(2)①当m=1,n=2②猜想：1的最小值为1.故答案为：1.理由：如图2中，过点M作MA⊥x轴于A,ME⊥y轴于E,过点N图2∵当m≠n时，点J在反比例函数图象的上方，∴矩形JCOG的面积>1,当m=n时，点J落在反比例函数的图象上，矩形JCOG的面积=1,∴矩形JCOG的面积≥1,∴1的最小值为1.【变式3-2】(2022胶州，19)《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特征，在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等，现在我们来研究另一种特殊的自然数——“纯数”.定义：对于自然数n,在计算n+(n+1)+(n+2)时，各数位都不产生进位，则称这个自然数n为“纯数”.例如：32是“纯数”,因为计算32+33+34时，各数位都不产生进位；23不是“纯数”,因为计算23+24+25时，个位产生了进位.(1)判断2022否是“纯数”?请说明理由；(2)请直接写出2023到2050之间的“纯数”;不大于100的“纯数”的个数为【答案】(1)2022是纯数，理由见解析(2)2030,2031,2032;13个.(2)根据“纯数”的概念，从2023到2050之间找出“纯数”;根据“纯数”的概念得到不大于100的数个位不超过2,十位不超过3时，才符合“纯数”的定义解答.【小问1详解】解：2022是“纯数”,理由如下：∵在计算2022+2023+2024时，各数位都不产生进位，【小问2详解】在2023到2050之间的数，只有个位不超过2,十位不超过3时，才符合“纯数”的定义所以所求“纯数”为2030,2031,2032;不大于100的“纯数”的个数有13个，理由如下：因为个位不超过2,十位不超过3时，才符合“纯数”的定义，所以不大于100的“纯数”有：0,1,2,10,11,12,20,21,22,30,31,32,100.共13个.【变式3-3】(2022三十九中，21)阅读理解：即：当n为非负整数时，如果则(x)=n.如：<0)=<0.48)=0,<0.64)=<1.493)=1,<2)=2,<3.5>=<4.12>=0,…试解决下列问题：(1)(π)=(π为圆周率);(2)如果(2x-1)=3,则