上海市松江区2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷（一模）

2023-2024学年上海市松江区九年级（上）期末数学试卷（一模）一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列函数中，属于二次函数的是(

)A.y=x−2 B.y=x2.在Rt△ABC中，已知∠C=90∘，A.asinα B.acosα C.3.关于二次函数y=−2(A.开口向上 B.经过原点

C.对称轴右侧的部分是下降的 D.顶点坐标是(4.下列条件中，不能判定a//b的是A.a//c，b//c B.a−=5.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90∘，斜边BC上的高AH=3，矩形DEFG的边DE在边BC上，顶点G、F分别在边

A.4 B.1 C.1625 D.6.某同学对“两个相似的四边形”进行探究.四边形ABCD和四边形A1B1C1D1是相似的图形，点A与点A1，点B与点B1，点C与点C1，点D与点D1分别是对应顶点，已知ABA1B1A.①正确，②错误 B.①错误，②正确 C.①和②都错误 D.①和②都正确二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分。7.若yx=12，则8.A、B两地的实际距离AB=250米，画在地图上的距离A′9.某印刷厂一月份印书50万册，如果第一季度从2月份起，每月印书量的增长率都为x，三月份的印书量为y万册，写出y关于x的函数解析式是______.10.已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP>BP，如果AB11.在直角坐标平面中，将抛物线y=−(x+1)212.如果一个二次函数图象的顶点在x轴上，且在y轴的右侧部分是上升的.请写出一个符合条件的函数解析式：______.13.如图，一辆小车沿着坡度为1：2.4的斜坡从A点向上行驶了50米，到达B点，那么此时该小车上升的高度为______米.

14.如图，梯形ABCD中，AB//CD，且ABCD=43，若AB

15.如图，已知直线l1、l2、l3分别交直线m于点A、B、C，交直线n于点D、E、F，且l1//l2//

16.如图，在梯形ABCD中，AD//BC，点E是AD的中点，BE、CD的延长线交于点F，如果AD：BC=2：3

17.在△ABC中，AB=AC，点D、E分别是边AB、AC的中点，BE与CD相交于点O18.如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，将边AB绕点A逆时针旋转，点B落在B′处，联结BB′，

三、解答题：本题共7小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。19.(本小题10分)

二次函数y=ax2+bxx…01234…y…30−？3…(1)由表格信息，求出该二次函数解析式，并写出该二次函数图象的顶点D的坐标；

(2)如果该二次函数图象与y轴交于点A，点P(20.(本小题10分)

如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC、BC上，连接DE、EF.已知ED//BC，EF//AB，AD=3，21.(本小题10分)

已知：如图，△ABC中，AB=15，BC=14，sinB=45，AD⊥BC于D22.(本小题10分)

如图，A处有一垂直于地面的标杆AM，热气球沿着与AM的夹角为15∘的方向升空，到达B处，这时在A处的正东方向200米的C处测得B的仰角为30∘(AM、B、C在同一平面内).求A、B之间的距离.23.(本小题12分)

已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE//BC，∠BD24.(本小题12分)

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的图象经过原点O(0,0)、点A(1,3a)，此抛物线的对称轴与x轴交于点C，顶点为B.

(1)求抛物线的对称轴；

(2)如果该抛物线与x轴负半轴的交点为D，且25.(本小题14分)

在△ABC中，AC=BC.点D是射线AC上一点(不与A、C重合)，点F在线段BC上，直线DF交直线AB于点E，CD2=CF⋅CB.

(1)如图，如果点D在AC的延长线上.

①求证：DE=BD；

②联结CE，如果

答案和解析1.【答案】B

【解析】解：y=x−2不符合二次函数的定义，它不是二次函数，则A不符合题意；

y=x2符合二次函数的定义，它是二次函数，则B符合题意；

y=x2−(x+1)2整理得y=−2.【答案】A

【解析】解：∵∠C=90∘，∠A=α，BC=a，

∴3.【答案】C

【解析】解：A、∵a=−2<0，∴抛物线开口向下，原说法错误，不符合题意；

B、∵当x=0时，y=−2(0−1)2=−2，∴函数图象不经过原点，原说法错误，不符合题意；

4.【答案】D

【解析】解：∵a//c,b//c，

∴a//b；

∵a=−c,b=2c，5.【答案】B

【解析】解：设△ABC的重心是O，连接AO，延长AO交BC于M，

∴AO=2OM，

∵四边形DEFG是矩形，

∴GF//DE，∠GDE=∠FED=90∘，

∴AK：KH=AO：OM，

∴AK=2KH，

∵AH=3，

∴KH=13AH=1，

∵∠BAC=90∘，

∴∠B+∠C=90∘，

∵∠EFC+∠C=90∘，

∴∠B=∠EFC，6.【答案】D

【解析】解：∵四边形ABCD和四边形A1B1C1D1是相似的图形，ABA1B1=k，

∴四边形ABCD和四边形A1B1C1D1是相似比为k，

∴四边形ABCD和四边形A1B1C1D7.【答案】13【解析】解：∵yx=12，

∴x=2y，

8.【答案】1：5000

【解析】解：∵250米=25000厘米，

∴比例尺=5：25000=1：5000；

故答案为：1：5000.9.【答案】y=【解析】解：根据题意得：y=50(1+x)2.

故答案为：y=50(1+x)2.10.【答案】5【解析】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，且AP>BP，AB=5，

∴A11.【答案】y=【解析】解：抛将抛物线y=−(x+1)2+2，先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，那么平移后的抛物线表达式是：12.【答案】y=x2【解析】解：∵二次函数图象的顶点在x轴上，在y轴的右侧部分是上升的．

∴二次函数顶点在原点，对称轴是y轴，且开口向上，

∴符合条件的函数解析式为：y=x2(答案不唯一)13.【答案】25013【解析】解：设小车上升的高度为x米，

∵斜坡AB的坡度为1：2.4，

∴AC=2.4x米，

由勾股定理得：x2+(2.4x)2=502，

解得：x=25013(负值舍去)，

∴小车上升的高度为25014.【答案】n+【解析】解：∵AB//CD，ABCD=43，AB=m，

15.【答案】2

【解析】解：∵l1//l2//l3，AB=2BC，

∴ABBC=DEEF=16.【答案】1：2

【解析】解：过点F作BC的垂线，交BC于点H，交DE于点G，过点B作BK⊥DA，交DA的延长线于点K，

∵AD//BC，

∴FG⊥AD.

∴四边形BHGK为矩形，

∴BK=GH.

∵点E是AD的中点，

∴AE=DE，

∵AD：BC=2：3，

∴DE：BC=1：3.

∵AD//BC，

∴∠FED=∠FBC，∠FDE=∠FCB，

∴△DEF∽△CBF，

∴FG：FH=DE：BC=1：3，

∴FG：GH=17.【答案】3【解析】解：如图：连接AO，延长AO交BC于H，

∵点D、E分别是边AB、AC的中点，BE与CD相交于点O，

∴O是△ABC的重心，

∴AH是△ABC的中线，

∵AB=AC，

∴AH⊥BC，

∵△OBC是等边三角形，

∴∠OBH=60∘，

∴OH=3BH，

∵O是△ABC的重心，18.【答案】125【解析】解：过点A作AE⊥BB′于点E，

∵将边AB绕点A逆时针旋转，点B落在B′处，

∴AB=AB′，

∵AE⊥BB′，

∴BE=B′E，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC=∠ABE+∠B′BC=90∘，

∵∠BB′C=90∘，

∴∠B′BC+∠BCB′=90∘，

19.【答案】解：(1)∵抛物线经过点(0,3)，(4,3)，

∴抛物线的对称轴为直线x=2，

∴抛物线的顶点D的坐标为(2,−1)，

设抛物线解析式为y=a(x−2)2−1，

把(0,3)【解析】(1)利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=2，则顶点D的坐标为(2,−1)，设顶点式y=a(x−2)20.【答案】解：(1)∵ED//BC，EF//AB，

∴ADBD=AEEC，BFFC=AEEC，

∴ADBD=BFFC，

∵AD=3，DB=9，

∴BFFC=39=1【解析】(1)根据平行线分线段成比例定理求解即可；

(2)根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可得△ADE的面积是1，同理可得△EF21.【答案】解：(1)∵AD⊥BC，

∴sin∠ABC=ADBA=45，

∵AB=15，

∴AD=12，

∴BD=AB2−AD2=9，

∴CD=BC−BD=14【解析】(1)由锐角的正弦求出AD长，由勾股定理求出BD长，得到CD长，由勾股定理即可求出AC长．

(2)过E作EH⊥CD，由平行线分线段比例定理，推出DH=CH=12CD=22.【答案】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，

由题意得：AC=200米，∠BAC=90∘+15∘=105∘，∠C=30∘，

∴∠ABD=180【解析】过点A作AD⊥BC，垂足为D，根据题意可得：AC=200米，∠BAC=105∘，∠C=23.【答案】证明：(1)∵∠BDC=∠DEC，∠BDC=∠A+∠ACD，∠DEC=∠A+ADE，

∴∠ADE=∠ACD，

【解析】(1)利用三角形的内角和定理的推论和相似三角形的判定定理解答即可；

(2)利用三角形的内角和定理的推论和相似三角形的判定定理得到△DEC∽△BD24.【答案】解：(1)把O(0,0)，A(1,3a)代入y=ax2+bx+c，解得b=2a，c=0，

得抛物线的解析式为y=ax2+2ax，

则抛物线的对称轴为直线x=−1；

(2)把y=0代入y=ax2+2ax，解得x=−2，x=0(点O的横坐标，舍去)，

∴点D的坐标为(−2,0)，

过点A作AF⊥x轴，垂足为F，

∵D(−2,0)，A(1,3a)，

∴DF=3，AF=3a，

∵∠ADC的正切值为2，

∴AFDF=2【解析】(1)把O(0,0)，A(1,3a)代入y=ax2+bx+c，求出a和b的数量关系，即可求出抛物线对称轴；

(2)把y=0代入y=ax2+2ax求出点D的坐标，过点A作AF⊥x轴，垂足为F，在直角三角形ADF中求出DF和AF的长，根据∠25.【答案】(1)①证明：如图1，∵CD2=CF⋅CB，

∴CDCB=CFCD，

∵∠FCD=∠DCB，

∴△FCD∽△DCB，

∴∠CDF=∠CBD，

∵AC=BC，

∴∠A=∠ABC，

∴∠A+∠CDF=∠ABC+∠CBD，

∵∠DEB=∠A+∠CDF，∠DBE=∠AB