海南省天一大联考2021届高考数学三模试卷(含答案解析)

海南省天一大联考2021届高考数学三模试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）

1.复数区（区为虚数单位）的模是（）

A.回B.0C.5D.8

2.已知集合4=一2x=0},集合B={1,2,3},则下列结论正确的是()

A.2U(4n8)B.2e(4nB)C.ACiB=0D.AUB=B

3.已知平面向量五=b=(2,5).c=(m,3),且位〃位一3),则m=()

A-3+vnB3-gQ-3±vi7口3±g

・2222

4.设a>匕之1,集合4={%|xEZ,0<xVa},B={x\xeZ,-b<x<b}9记”从集合A中任取

一个元素x,为事件M,“从集合A中任取一个元素-XEB”为事件N.给定下列三个

命题:

①当a=5,b=3时，P(M)=P(N)=3

②若P（M）=1,则a=2,b=1；

③P（M）+P（N）=1恒成立.

其中，为真命题的是（）

A.①②B.①③c.②③D.①②③

5.设为数列{斯}的前"项和，的=1，an+l=2S“，则即=()

A[Ln=lB.2x3吁1

(.2x3"T,TI>2

「=1

n2D.2x3nV

{2x3-fn>2

6.sml55°sm35°-cos25°cos35°=()

A._立B.C.JD.更

2222

7.已知f（X）是定义在R上的偶函数，且f（久+2）=/（》）对％GR恒成立，当％e[0,1]时,/（X）=2%,

则/(_}=()

A

-1B.近7D.1

8.9、在正方体48。。一4避也1£）1中，异面直线4cl与B。所成的角是（）

A.90°B.60°C.45°D.30°

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）

9.已知函数/'（x）=sin（3x+e）（<9<今的图象关于直线x=?对称，则（）

A.函数/0+刍为偶函数

B.函数/Q）在原§上单调递增

C.若，（匕）一/（x2）|=2,则氏一小I的最小值为W

D.函数f（x）的图象向右平移W个单位长度得到函数y=-s讥3x的图象

10.20世纪50年代，人们发现利用静态超高压和高温技术，通过石墨等碳质原/y\

料和某些金属反应可以人工合成金刚石，人工合成金刚石的典型晶态为立（）

方体（六面体）、八面体和立方八面体以及他们的过渡形态.其中立方八面体（\\7\/

如图所示）有24条棱、12个顶点，14个面（6个正方形、八个正三角形），它

是将立方体''切”去8个“角”后得到的几何体.已知一个立方八面体的棱长为1,则（）

A.它的所有顶点均在同一个球面上，且该球的直径为2

B.它的任意两条不共面的棱所在的直线都互相垂直

C.它的体积为出

3

D.它的任意两个共棱的面所成的二面角都相等

11.在含有3件次品的50件产品中，任取2件，则下列说法正确的是（）

A.恰好取到一件次品有玛玛7不同取法

B.至少取到一件次品有废口7不同取法

C.两名顾客恰好一人买到一件次品一人买到一件正品有0盘7掰不同取法

D.把取出的产品送到检验机构检查能检验出有次品的有6盘7不同种方式

12.已知椭圆「：捻+\=l（a>b>0）的离心率为争MBC的三个顶点都在椭圆「上，设它的三

条边AB,BC,4c的中点分别为E,F,且三条边所在直线的斜率分别七，k2,k3,且七,

k2,电均不为0,。为坐标原点，则（）

A.a2：b2=2：1

B.直线A8与直线。。的斜率之积为一2

C.直线8c与直线OE的斜率之积为一:

D.若直线。D,0E,。尸的斜率之和为1,则吉+视的值为—2

长1片2«3

三、单空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.有5个数据分别为2,4,5,6,8,则这5个数据的平均数是.

14.抛物线x=”的焦点到双曲线'-^^(小。，^。湖渐近线的距离为手,则该双曲线的离

心率为.

15.已知。，b,cER,Q+26+3c=6,则M+4庐+9cz的最小值为.

16.若第函数f(x)的图象经过点则曲线y=/(x)在A点处的切线方程是.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

17.在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且炉+©2-V5bc=a2,3c=2a.

(I)求sinC的值;

(11)若&=6,求△ABC的面积.

18.已知数列｛an｝是公差为正数的等差数列，a?和是方程--12》+27=0的两个实数根，数列

71

｛%｝满足3Tbn=nan+1-(n-l)an

(1)求｛即｝和｛%｝的通项公式；

(2)设7；为数列｛%｝的前〃项和，求亏.

19.某商店试销某种商品20天，获得如下数据:

日销售量(件)0123

频数1595

试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天

营业结束后检查存货.若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件,否则不进货.将频率视

为概率.(1)求当天商店不进货的概率:

(2)记X为第二天开始营业时该商品的件数.求X的分布列和数学期望.

20.如图，四边形ABC。为矩形，AD_L平面ABE,AE=EB=BC=2,F

为CE上的点.平面4CE.

(1)求证：平面ADEL平面BCE-

(2)求二面角E-AC-B的大小；

(3)设M在线段AB上，且满足4M=2MB,试在线段CE上确定一点M

使得MN〃平面DAE.

21.如图某抛物线形拱桥跨度是200”，拱桥高度是4〃?，在建桥时，每4机需用一根支柱支撑，求其

中最长支柱AB的长.

22.已知函数/'(%)=x3-3ax2+2bx在x=1处有极小值-1,

(1)求函数f(x)的解析式，

(2)求出函数/(x)的单调区间.

【答案与解析】

1.答案：A

解析：试题分析：区］,所以模为区］.

考点：复数的基本概念及运算.

2.答案：B

解析：

本题考查并集、交集的定义，考查元素与集合的关系，是基础题.

求出集合A,从而求得an8,A\JB,由此能求出结果.

解：：集合4={x\x2-2x=0}={0,2},

集合8={1,2,3),

•••4nB={2},A(JB={0,h213}.

•••26(4nB),

故A,C,。均错误，8正确.

故选:B.

3.答案：D

解析：解:根据题意,向量刁=b=(2,5).c-(m,3),

则五+^=(m+l,m+3),方一b=(-l,m—5);

若(五+。〃(五-3)，

(771+1)X(6一5)=(m+3)X(―1)

故选：D.

根据题意，由向量五、石、己的坐标计算可得0+。、0-尤)的坐标，进而由向量平行的坐标表示方

法可得(6+1)x(6—5)=(m+3)x(—1),解可得相的值，即可得答案.

本题考查向量平行的坐标表示，关键是求出向量0+。、0-3)的坐标.

4.答案：B

解析：解：对于①，当a=5,b=3时，集合4={1,2,3,4},6={-2,-1,0,1,2),

事件M={3,4},事件N={1.2},

所以P(M)=；=3,P(N)=：=g,即P(M)=P(N)=土故①正确；

对于②，若P(M)=1，则lWb<aW2,b=1,故②错误：

对于③，因为“从集合A中任取一个元素x,xCB”为事件M,“从集合A中任取一个元素€8”

为事件N,

所以，事件例与事件N为对立事件，

所以P(M)+P(N)=1恒成立，故③正确，

综上所述，①③为真命题，

故选：B.

①，当a=5,b=3时，可求得集合A与集合8,继而可得事件M={3,4},事件N={1,2},从而可

求得P(M)=P(N)=p可判断①;

②，依题意知，lWb<aW2,6=1,可判断②；

③，利用对立事件的概率公式可判断③.

本题考查命题的真假判断与应用，理解题意，正确分析、解答是关键，属于中档题.

5.答案：C

解析：

求得n=2时数列的项，由nN2时，an=Sn-Sn_1,作差结合等比数列的定义和通项公式，即可得

到所求通项.

本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式，考查运算能力，属于基础题.

解：<11=1,=2S",(T)

可得用=2sl=2,

当九>2时，an=2Sn_i，(2)

①—②可得Qn+i—册=—2Sn_i=2an,

即为Q九+i=3an,

可得{a工从第二项起成公比为3的等比数列，

n-2n-2

即有an=a2q=2-3,n>2,

(l,n

n，t'l&={2-3n=-21,n>2'

故选：C.

6.答案：B

解析：

本题主要考查了两角和的余弦公式，属于基础题.

由已知结合诱导公式及两角和的余弦公式，即可求解.

解：sml55°sm35°-cos25°cos35°

=sm25°sm35°—cos25°cos35°

=-cos60°=-i.

故选：B.

7.答案：B

解析：解：:+2)=/(x)对xGR恒成立，

的周期为2,(x)是定义在R上的偶函数，

一｝=分)

•.•当％6［0,1］时，/(x)=2X,

•••6)=夜，

故选：B.

先确定函数f(x)的周期为2,再利用函数/(©是定义在K上的偶函数，当［0,1］时，/(%)=2\

即可得出结论.

本题考查抽象函数及其应用，考查函数的周期性，属于中档题.

8.答案：A

解析：解：连接AC,贝ijBD14c.在正方体ABCD-aBiCi£»i中，

•••GC平面BCD,BDu平面BCD,

C1BD,

又ACnCG=C,

---BD1平面ACq,

•••ZC1u平面ACC1，

AC-i1BD.

二异面直线4G与8。所成的角为90。.

故选A.

9.答案：CD

解析：解：•.•函数/Q)=sin(3x+0)(—]<w<m)的图象关于直线x=?对称,

二3x：+0=卜兀+/,k&Z,0=-/(x)-sin(3x—^).

•••函数=sin3x为奇函数，故A错误;

当xe珠时，3x-^e[0^],故f(x)没有单调性，故B错误;

若1/。1)一/(尤2)1=2,贝”%1-％21的最小值为半个周期为六相与屋，故C正确;

函数〃x)的图象向右平移:个单位长度得到函数y=sin(3x-3X?一》=-s讥3%的图象，故。正确,

故选：CD.

由题意利用函数y=4s讥(wc+w)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，得出结论.

本题主要考查函数y=4s讥(cox+w)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题.

10.答案：ACD

解析：解：由题意可知立方八面体的顶点为正方体的棱的中点，

故立方八面体的棱长为正方体相邻两条棱的中点连线，

故正方体的棱长为立x2=

2

由对称性可知立方八面体的外接球球心为正方体的中心，外接球的直

径为正方体的面对角线长2,故A正确；

设MN,PQ是立方八面体的两条不共面的棱，如图所示，

则MN〃/劣，PQ//ADr,而△4当久是等边三角形，故MN与尸。所成角为60。，故8错误;

立方八面体的体积为1/=(或)3—8X1X2X立x立x立=也，故C正确；

322223

设正方体底面中心为。，连接OC交立方八面体的棱P尸于E,连接EQ,显然PFJ.OC,PFLQE,

4OEQ为立方八面体的底面正方形与三角形面PQF所成的二面角，

•••立方八面体的棱长为1,0E=1,EQ=EC=i

2、22

,小厂八•厂CEV3

:.cos乙OEQ=-cosZ-QEC=——=——,

同理可得立方八面体的相邻两个面的所成二面角的余弦值均为-更，故。正确.

3

故选：ACD.

根据立方八面体和正方体关系求出正方体的棱长，从而可判断A,C,利用平移计算不共面的棱所成

角大小判断B,计算相邻的面所成二面角大小判断D.

本题考查了空间几何体的结构特征，考查空间角与空间几何体的体积计算，属于中档题.

11.答案：AC

解析：解：根据题意，依次分析选项：

对于A：在含有3件次品的10件产品中，任取2件，

恰好取到1件次品包含的基本事件个数为谶废7,A正确，

对于B-.至少取到1件次品包括两种情况：

只抽到一件次品，抽到两件次品，

所以共有至少取到一件次品有Ch或7+Cl-C%,B错误，

对于C：两名顾客恰好一人买到一件次品一人买到一件正品有盘盘7掰不同取法，C正确，

对于。：有次品即可，所以把取出的产品送到检验机构检查能检验出有次品的有玛•玛7+C卜C上，

。错误，

故选：AC.

根据题意，依次分析选项是否正确，综合即可得答案.

本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题.

12.答案：ACD

解析：解：因为椭圆的离心率为乌由e2=二=1一与得与=之故A正确；

2a2a2a22

设4（%1，月），B（x2,y2）»D（xo,yo）,则晦+我=1，:+翁

两式作差得生学+比尹=0,

a2b2

即（41—2）（必+%2）+（%-、2）81+、2）=0,所以卬1一乃）（0+力）=_好，

22+x

ab'-%2）（xi2）a2*

因为43的斜率自=OD的斜率A。。=合=所以七•=—」=—j

xx12

i^2ox^+x2a2

所以4=一2攵00，同理可得｝=12koE，｝=-2攵0?，故8错误，C正确；

所以十+十+机=-2(3)+/£0£+岫广)，又直线°。，0E,"的斜率之和为1,

K1及2K3

^9k0D+k0E+k0F=1,所以:+：+：=—2,故。正确.

故选：ACD.

由题意的离心率定值及a,b,c之间的关系求出mb的关系，可判断A正确，设A,8的坐标，求

出AB的中点。的坐标，代入椭圆的方程作差可得直线43的斜率，及。。的斜率，可得直线4B与

0。的斜率之积，同理可得直线BC与0E的斜率之积，判断出8,C的真假，求出直线。£,0F,

。。的斜率，由斜率之和为1,可得直线AB,BC,AC的斜率的倒数之和，判断出。的真假.

本题考查椭圆的性质及真假命题的判断，直线斜率的求法，属于中档题.

13.答案：5

解析：解：计算2,4,5,6,8的平均数为：

一1

x=gx(2+4+5+6+8)=5.

故答案为：5.

根据平均数的定义计算即可.

本题考查了平均数的计算问题，是基础题.

14.答案：|

解析：解：抛物线x=；y2的焦点为(i,o),

4

双曲线靠-猾=1(Q>b>0)的一条渐近线为b%+ay=0,

则焦点到渐近线的距离d=下劈=在，

Va2+b23

即有Z?=2

则c=Va24-b2=

即有双曲线的离心率为|.

故答案为：I.

求出抛物线的焦点坐标，双曲线的渐近线方程，由点到直线的距离公式，可得m〃的关系，再由离

心率公式，计算即可得到.

本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的运用，考查点到直线的距离公式，考查

离心率的求法，属于基础题.

15.答案：12

222222

解析：v(%+y4-z)2=/+y2+z2+2xy+2yz+2zx<3(%4-y4-z),Aa+4b+9c>—

22

(Q+2b+3c1=—=12.Aa+4b+9c2的最小值为12.

16.答案：4x—4y+1=0

解析：解：设幕函数/（乃=》,

•・•基函数/（%）的图象经过点力（i1）,

4N

•••花）=卓=4即铲

则2a=1,则a=g,即/（x）=£，

则「（*）=淙，

则呜=年=*=1,

则曲线y=f0）在A点处的切线方程y=

44

即4x—4y+1=0,

故答案为：4x—4y+1=0

利用待定系数法求出函数/（%）的解析式，然后求函数导数，利用导数的几何意义进行求解即可.

本题主要考查函数解析式的求解，以及函数切线的求解，利用导数的几何意义是解决本题的关键.

17.答案：解：（I）依题意得cosZ=也包包=塔=隹，.........（1分）

2bc2bc2

V0<i4<7T,

A=*............（2分）

由3c=2。及正弦定理可得：3sinC=2sinAf

・•・sinC=-sinA=-；..............（4分）

（II）由3c=2a知C<Q,所以。为锐角，

cosC=V1-sin2C=Jl_-=乎，..........（5分）

所以siziB=sin[7r—（4+C）]=sin（A+C）.............（6分）

=sinAcosC+cosAsinC.............（7分）

__舟2版

...............................（8分）

6

由a=6及3c=2a可得出c=4,.......................（9分）

所以S=NacsinB=-x6x4x=2^3+4夜..............（12分）

226'

解析：（I）根据正弦、余弦定理求得sinC的值；

（II）由题意知C为锐角，求得cosC和sinB的值，再计算△ABC的面积.

本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，也考查了三角形面积计算问题，是中档题.

18.答案：解：（1）•••和曲是方程/-12》+27=0的两个实数根,

｛。工是公差为正数的等差数列

**•a2=3,Q5=9,

・••｛an｝的公差d=2,

:.an=a2+（n—2）d=2n—1.

n

v3t%=nan+1-（n—l）an=4n—1,

t4n-l

bn=

⑵〃=*+*+M+…+条^①

T3,7,11,,4n-l不

n亚+装+…+正门②

①一②得：半=[+M+*+…+盛-端

15（1一（扔-1）4n—1

=3+4'_I3"+2

1-3

54n+5

93n+2

.T=54n+5

n62.3n+1-

解析：（1）解方程得出。2和。5,从而得出公差和通项即，代入条件式得出办；

（2）错位相减法求和.

本题考查了等差数列，等比数列的性质，错位相减法求和，属于中档题.

19.答案：解：（1）P（“当天商品店不进货”）=P（"当天商品销售量为0件"）+P（“当天商品销

售量为1件"）=-51-+±5=±3.

202010

（2）由题意知，X的可能取值为2,3.

P（x=2）=P（"当天商品销售量为1件"）=上=2；

204

P（X=3）=P（"当天商品销售量为0件"）+P（“当天商品销售量为2件"）+P（“当天商品销售

量为3件“)=-1-+9二+二5=三3

2020204

故X的分布列为

1311

X的数学期望为5(©=2x2+3x'=U.

444

解析：略

20.答案：证明：(I)•••BFACE,AEu平面ACE,

BF1AE,BF1CE,

=是CE的中点，

XvAD1平面ABE,ADu平面ABCD,

平面ABC。JL平面ABE,

•••平面ZBCDn平面=BC1.AB

BC1平面ABE,

从而BC_L4E,月.BCnBF=B,

AE_L平面BCE,

又AEu平面ADE,

故平面平面40E1平面BCE.

(2)由(1)知4E_L平面BCE,

AE1BE,即乙4EB=90°,

取A8的中点O,连接OE,

则。EJL4B,

建立以。为原点，OA,OE,OH为x,y,z轴的空间坐标系如图:

•：AE=EB=BC=2,

AB=2V2,OA=OE=>/2,

则A(&,0,0),E(0,V2,0),B(-V2,0,0),H(0,0,2),C(-V2,0,2),

则平面ACB的一个法向量为记=(0,1,0),

设平面EAC的法向量为五=(x,y,z),

则近=(-272,0,2),AE=(-V2,V2,0)>

由•AC=0得卜2夜％+2z=0

ln-AE=O'(-V2x+V2y=o'

令x=l,则y=l,z=V2，

即元=(1,1，V2),

则cos<jnn>==—=i

人—〃同m箱”=-IX-VT-T-T-72V42'

即<m,n>=60°,

故二面角E-AC-B的大小为60。.

⑶在A/IBE中过M点作MG〃4E交BE于G点，

在△BEC中过G点、作GN〃