现代设计理论与方法计算机辅助设计

第4章计算机辅助设计

ComputerAidedDesign(CAD)

主讲：姜华

E-mail：751366751@4.3工程数据的处理方法三、列表函数表的插值计算设有一用数据表格给出的列表函数，如下表所示：由于列表函数只能给出结点处的函数值，当自变量为结点的中间值时，就要用插值法求取其函数值。列表函数xx1x2x3…xi…xnyy1y2y3…yi…yn

插值法的基本思想：是在插值点附近选取几个合适的结点，用这些选取的点构造一个简单函数g(x)，在此小段上用g(x)代替原来函数f(x)，这样插值点的函数值就用g(x)的值来代替。插值的实质问题是：如何构造一个既简单又具有足够精度的函数g(x)。1.一维列表函数表的插值

（1）线性插值

线性插值就是构造一个线性函数g(x)来代替原先的函数f(x)，如图4-8所示。

插值步骤如下：图4-8线性插值①从表格中选取两个相邻的自变量xi

、xi+1

，满足下列条件：

x

i

<x<

x

i+1；②过（x

i,y

i

）及（xi+1,yi+1）两点连直线g(x)代替原来的函数f(x)，则x的函数值y为（4-6）(2)抛物线插值

在f(x)上取三点，过此三点作抛物线g(x)，以用来替代

f(x)，可以获得比线性插值精度高的结果，如图4-9所示。过三点（xi－1,yi－1

）及（xi,yi）、（

xi+1,yi+1）作抛物线方程，则

用线性函数g(x)来代替f(x)时，仅利用了两个结点上的信息，因此误差较大，为了减少误差可利用三个结点上的信息，采用抛物线插值。图4-9抛物线插值算法示意图

（4-7）

在抛物线插值中，如何选取合适的三个点是关键所在，选取方法归纳如下：

设已知插值点x

，求对应的函数值y：（1）从已知函数表格中选取二点，它们满足下列条件

（2）比较的值，取其值小者作为取点延伸方向，从表格中选取第三点作为抛物线方程经过的点。

当时，即三个点；当时，即三个点；（3）若三个点。（4）若三个点。四、数据的公式拟合方法

在实际工程问题中，时常需要用一定的数学方法将一系列测试数据或统计数据拟合成近似的经验公式，这种建立经验公式的过程也称为曲线拟合，或称数据公式化。

工程应用中，一般采用最小二乘法多项式拟合。所求曲线并不要求严格通过所有结点，而是尽可能反映所给数据的趋势。

曲线拟合，目前一般采用最小二乘法拟合。拟合公式的类型通常可以选取线性方程、代数多项式或一些初等函数。由编程人员根据线图或实验数据分布形态来决定。1.最小二乘法的多项式拟合已知：由线图或实验所得m个点的值：图4-12最小二乘法多项式拟合用一个n次多项式

y(x)来拟合，如图4-12所示，设拟合公式为：（4-10）

而且m>>n，则每一结点处的偏差为：

为获得最佳拟合曲线，根据最小二乘法原理，即要求每一结点的偏差Di的平方和最小，则结点偏差的平方和为：（4-11）这表明偏差平方和是系数

的函数。为使其最小，取对各自变量的偏导数等于零：求各偏导数并经整理得到：（4-12）令得即（4-13）亦可写成下面的方程组：（4-13）

上式中待求的系数共有(n+1)个，

方程也是(n+1)个，因此组成线性联立方程组，

解此线性联立方程，即可求得多项式

y(x)中的各项系数。

在求得多项式y(x)中的各项系数后，

n次多项式(4-10)便确定：例：有一组实验数据，如下表所示，它有7个点，现要求用二次多项式拟合。一组实验数据

点号1234567Xi-3-2-10123Yi4230-1-2-5解：设经验公式为：

根据上述实验数据及经验公式可知：m＝7，n＝2，代入公式，得以下三个方程：

j＝0时

j＝1时

j＝2时把Xi，Yi

用上表中的值代入，得求解得：最后得到拟合的经验公式为工程中设计资料中的很多经验公式，就是对实验获得的数据数表通过曲线拟合的方法得来的。最小二乘法的多项式拟合时要注意以下问题：1）多项式的幂次不能太高，一般小于7，可先用较低的幂次，如误差较大则再提高。2）一组数据或一条线图有时不能用一个多项式表示其全部，此时应分段处理，分段大都发生在拐点或转折之处。2.最小二乘法的其他函数的拟合除代数多项式外，根据情况还可采用：

(1)幂函数

(2)指数函数

(3)对数函数

例如，若已知m组数据，i＝1，2，…，m，假设所拟合的指数函数曲线形式为：lgy=lga+blgx令：对上式指数函数两边取对数，得

先将已知数据代入式中，求得相应的值，再代入式得到在对数坐标系中的一个线性方程。与多项式曲线拟合相似，采用最小二乘法就可以得到上式中的系数v和b，再由lga

＝v

求得系数a。代入上式，得4.5

计算机图形处理与三维造型二维图形的基本几何变换类型包括：●平移变换●

比例变换●旋转变换●

对称变换●

错切变换三、二维图形的几何变换(1)平移变换将二维图形从平面的一个位置移动到另一个位置，可用平移变换。平移变换后，图形只发生位置改变，形状大小及姿态均不变化。设Tx为x向平移量，Ty为y向平移量，平移变换的变换矩阵为：平移变换结果可见图4-16。图4-16平移变换(2)比例变换

设Sx为x

向的比例系数，

Sy为y

向的比例系数，则比例变换的变换矩阵为：

当Sx，Sy<1时，图形缩小；

Sx，Sy>1时，图形放大；

Sx，Sy＝1时，图形不变化。

图4-17所示的比例变换中，Sx＝Sy＝2。

图4-17比例变换(3)旋转变换

点或平面图形绕坐标原点旋转一定角度θ之后成为变换后的点或图形，如图4-18所示。

旋转变换矩阵为：逆时针方向旋转，θ取正值；顺时针方向旋转，θ取负值。旋转变换后，图形的形状及大小不发生变化，只改变姿态。图4-18旋转变换(4)对称变换对称变换有多种，图4-19表示了对称于x、y

轴和坐标原点o

的几种对称变换。图4-19

对称变换(a)相对于x轴的对称变换

(b)相对于y

轴的对称变换

(c)相对于坐标原点o的对称变换

①相于x轴的对称变换

设对称轴为x轴，则对称变换的变换矩阵为：②相于y轴的对称变换设对称轴为y轴，则对称变换的变换矩阵为：③相对于坐标原点o

的对称变换

相对于坐标原点o

的对称变换，其变换矩阵为：其特点是：变换前后x

坐标值保持不变，而y

坐标值符号相反。其特点是：变换前后y

坐标值保持不变，而x坐标值符号相反。

其特点是：变换前后x、y

坐标值符号都相反。

(5)错切变换

错切变换用于描述几何形体的扭曲和错切变形。常用的错切变换有两种：①沿

x轴方向的错切变换；②沿y轴方向的错切变换。

图4-20错切变换

(a)沿x轴方向的错切变换

(b)沿y轴方向的错切变换

(1)沿x向的错切变换

经此变换后，y坐标不变，使图形在x向发生错切变形。设SHx为切变系数，变换矩阵为：

(2)沿y

向的错切变换变换后，x坐标不变，使图形在y向发生错切变形。设SHy为切变参数，变换矩阵为：3.组合变换

上述基本变换是以原点为中心的简单变换。在实际应用中，一个复杂的变换往往是施行多个基本变换的结果。对一图形连续进行多个基本变换，就形成了组合变换。相应的变换矩阵叫做组合变换矩阵。

几种典型的组合变换：◆平移组合变换◆比例组合变换◆旋转组合变换◆相对于任意点的比例变换◆绕任意点的旋转变换◆对任意直线的对称变换（1）平移组合变换连续两次平移变换的组合矩阵T为：

（4-16）

上式表明：连续两次的平移变换，其平移矢量实质上是两次平移矢量的和。（2）比例组合变换连续两次比例变换的组合矩阵为：

（4-17）上式表明：连续两次的比例变换，其结果是两次比例因子的乘积。（3）旋转组合变换

（4-18）上式表明：连续两次的旋转变换，其结果是两次旋转角度的叠加。

连续两次旋转变换的组合矩阵为：

（4）相对于任意点的比例变换

(1)将图形向坐标原点方向平移，平移矢量为，使任意点与坐标原点重合；

(2)对图形施行比例变换；

(3)将图形平移回原始位置，平移矢量为。因此，相对于任意点的比例变换组合矩阵T为：如图4-21所示，平面图形对任意点作比例变换，该变换需通过以下几个步骤实现：图4-21相对于任意点的比例变换（4-19）（5）绕任意点的旋转变换

如图4-22所示，平面图形绕任意点旋转角，该变换需通过以下几个步骤实现：

(1)将旋转中心平移到原点，使任意点与坐标原点重合；

(2)将图形绕坐标原点旋转角；

(3)将旋转中心平移回原来位置。因此，绕任意点的旋转变换组合矩阵T为：图4-22绕任意点的旋转变换（6）对任意直线的对称变换

如图4-23所示，假设图中所示任意直线用直线方程表示，该直线在x

轴和y

轴上的截距分别为－C/A和－C/B，直线与

x轴的夹角为，则。图4-23对任意直线的对称变换