现代控制理论8.1,8.2

8.1多变量系统控制理论分为经典控制理论和现代控制理论。状态空间分析是针对多变量系统的一种数学模型分析方法，是建立在状态方程基础之上的。第八章状态空间分析8.1.1绪论主要以传递函数为工具和基础，研究单变量控制系统的分析和设计。经典控制理论：以状态空间方法为基础，研究多变量控制系统和复杂系统的分析和设计。现代控制理论：主要包括四个方面：1、线性多变量系统理论是最成熟的一部分。研究系统极点配置、观测器设计等。2、最优控制理论在被控对象数学模型已知的情况下，寻找一个最优的控制规律。3、最优估计理论在数学模型已知的情况下，如何从被噪声污染的观测数据中，确定系统的状态，并使这种估计最优。4、系统辨识与参数估计不知被控对象数学模型，基于对象的输入，输出数据，建立与对象等阶的数学模型。例：ΔP压差变化量，ΔPr给定压差变化量，Δh水位变化量，Δhr给定水位变化量。两个输出ΔP

、Δh与两个输入ΔPr

、Δhr存在函数关系。8.1.2传递函数矩阵设：上式的矩阵称为传递函数矩阵，矩阵的项为传递函数形式。写成矩阵形式：一般形式:拉氏变换式：由各传递函数组成的矩阵定义为系统的传递函数矩阵。零初始状态下，多变量系统的数学模型：上式可记为：方法：有多种，一般采用前馈补偿法，即在原系统中串入一个补偿装置器。对于多输入输出系统而言，为了控制输出方便，希望每个输出只跟一个输入量有关系，与其它输入量无关，此时，传递函数矩阵为对角阵（要求输入量个数与输出量个数相等，传递函数矩阵为方阵），这称为传递函数矩阵的解耦。8.1.3传递函数矩阵的解耦补偿后总的传递函数矩阵。由于是矩阵，位置不能颠倒。设伴随矩阵则行列式可知，在已知原矩阵和目标矩阵的前提下，可以求出补偿装置器。目标矩阵作为控制系统的指标给出。求补偿装置。例：已知解：1、由微分方程求状态方程；2、由结构图求状态方程；3、由传递函数求状态方程。状态方程的三种求法8.2状态方程8.2.1基本概念—建立状态方程1、由微分方程求状态方程—单输入单输出系统例1：知解：设则输出可写为：写成矩阵形式：解：变型为例2.微分方程为：设则

输出可写为：写成矩阵形式：称为状态向量。一般系统可表示为：其中：称为状态变量。称为输入向量。称为输出向量。（1）、状态：系统在时间域中运动信息的集合。（2）、状态变量：确定系统状态的一组独立变量。A：系统矩阵或系数矩阵，为方阵。B：输入矩阵或控制矩阵。C：输出矩阵。D：影响矩阵。（3）、状态方程：状态变量的一阶导数与状态变量、输入变量间的数学表达式称为状态方程。（4）、输出方程：输出变量与状态变量、输入变量间的数学表达式称为输出方程。（5）、动态方程：状态方程与输出方程合在一起称为动态方程，也简称状态方程。（6）、状态空间：状态变量所有可能值的集合称为状态空间。注意：同一个系统的动态方程可以有多个，维数可以不同，即使维数相同，动态方程也可以有多个。说明：状态方程不仅描述了系统输入与输出变化情况，也描述出了系统内部的状态变量的变化情况，所以它是系统内部的描述，而传递函数只是系统外部的描述。注意：对于单输入单输出系统，一般n阶微分方程的最小实现也是n维的，即n阶微分方程对应的状态方程的维数最小为n

。（7）、最小实现：描述同一个输入输出关系的动态方程中，维数最小的一类动态方程称为其最小实现。（8）、状态变量的个数：状态变量要能完整地确定系统的状态，即系统的所有运动情况都能表示出来。例3：例2的系统也可表示为：其中x4是一个独立变量，与其它变量没有联系，对原系统无影响。例4求结构图所示系统的动态方程。2、由结构图求动态方程同理得：解：得：又整理得：状态方程为：设状态变量：矩阵形式：输出方程：例2的状态变量图8.2.2状态变量图注意：状态变量图与结构图不同，框中只有积分环节和比例环节，都是正反馈（也可以是负反馈）。积分环节的个数与状态变量的个数相同。例4的状态变量图8.2.4状态变换设动态方程为非奇异变换为即p-1

称为p

的逆矩阵。设

p是非奇异（满秩）方阵，称为变换矩阵。8.2.3非线性时变系统的状态方程只有p非奇异（满秩），变换才是可逆的，x和x̃

构成的两个状态空间才有一一对应的关系。于是原方程变为即上述变换并未改变系统输入输出之间的关系。由于p只须满足非奇异条件，所以状态变换可有多种，于是表示相同输入输出关系的动态方程及状态变量有无穷多个。非奇异线性变换的性质：1.不改变系统的特征值

特征方程的根叫特征值（特征根）2.不改变系统的传递函数矩阵3.不改变系统的能控性和能观性只有最小实现才能进行状态变换，也才有相同的特征值，不是最小实现之间的状态方程特征值不一定相同，也不能进行状态变换。8.2.5

化为对角标准型定义：系统矩阵为对角阵的状态方程称为对角标准型。对角元是该方阵A的特征值。对于线性定常系统，如果矩阵A

有n

个相异的特征值，必存在n

个

对应的线性无关的特征向量，可以通过相似变换化为对角阵。或上式为特征向量与特征值的关系，pi

为特征向量，p由特征向量组成。由线性代数知，特征值是唯一的，特征向量不唯一。由于pi

相互独立，所以p满秩。其中，

若矩阵A的n个特征值中有重特征值时，可分为两种情况：一种情况是，虽有重特征值，但矩阵A仍有n个独立的特征向量，这时仍可将A化为对角阵；另一种情况是，A的独立特征向量的个数小于n，这时就不能将A化为对角阵，而只能化为约当阵（变换矩阵p仍为非奇异矩阵）。例5动态方程：用相似变换化为对角标准型。(1)求特征值特征方程解得：（此例有重根）其中I为单位阵。(2)

求特征向量对于s1=2有：（零列向量）p11=任意数，p12=p13=0取特征向量对于s2=1有：得p22=任意值,p23=任意值取也可以取其它两个元素为任意值，而求另外一个元素的确定值，因为对于一个特征根，特征向量不唯一、则p不唯一。同理取上述两个特征向量要满足线性无关的条件。应有：(3)当变换矩阵取时其中adj

p表示p的伴随矩阵。(4)求

p-1(5)(6)(7)动态方程：由线性代数知道，特征值是唯一的，而特征向量不是唯一的，所以变换矩阵

p不唯一。也称为能控标准形矩阵特例：如果A为友矩阵时，对角元上的斜行全为1，除此之外，最后一行有数值，其余全为0。则p-1Ap为对角阵，且对角元为特征值。且其特征值为互异，则变换矩阵p可取：解：由特征方程求特征值例6化为对角型矩阵。则必有,,取8.2.6约当标准型上节我们讨论的对角标准型是在特征值互异情况下得出的，如果特征值有相重的情况时，经相似变换可化为约当标准型。（最简耦合形式）设n维矩阵的特征值为，如果其中有些是相重的特征值，则存在非奇异变换矩阵p，使变换后的矩阵p-1Ap为约当标准型，形如：其中空白处全为0，矩阵中的子矩阵称为约当块，其特点为对角元相等，对角线相邻的一斜行全为1，其余全为0，维数是特征值的重数。与化为对角标准型不同在于变换矩阵p并不是全由特征向量组成，一个约当块只对应一个特征向量，其它的由广义特征向量组成。但仍满秩，即组成变换矩阵p的向量仍然线性无关。一个重特征值对应几个约当块，取决于这个重特征值对应几个独立的特征向量，比如m重特征值只对应一个特征向量，则m