机械振动-05单自由度系统：周期强迫振动与非周期强迫振动 习题课

例1：底面积为S的长方形木块m，浮于水面，水面下a，用手按下x后释放，证明木块运动为谐振动，其周期为证明：平衡时任意位置x处，合力习题课—单自由度系统无阻尼简谐振动1为回复力，周期证毕习题课—单自由度系统无阻尼简谐振动2例2.如下图,设刚体对轴的转动惯量为J.

设t=0时摆角向右最大为0.求振动周期和振动方程.解单摆振动方程习题课—单自由度系统无阻尼简谐振动3例3.如下图，一直角均质细杆，水平局部杆长为l，质量为m，竖直局部杆长为2l，质量为2m，细杆可绕直角顶点处的固定轴O无摩擦地转动，水平杆的未端与劲度系数为k的弹簧相连，平衡时水平杆处于水平位置。求杆作微小摆动时的周期。解习题课—单自由度系统无阻尼简谐振动4能量法(t时刻系统的能量)〔其它步骤同上〕习题课—单自由度系统无阻尼简谐振动5例4.质量为m的物块悬挂如下图。设杆AB的质量不计，两弹簧的弹簧刚度系数分别为k1和k2,又AC=a，AB=b，求物块的自由振动频率。解：将各弹簧的刚度系数按静力等效的原那么，折算到质量所在处。先将刚度系数k2换算至质量m所在处C的等效刚度系数k。返回首页TheoryofVibrationwithApplicationsC习题课—单自由度系统无阻尼简谐振动6先将刚度系数k2换算至质量m所在处C的等效刚度系数k

。返回首页TheoryofVibrationwithApplicationsC设在C处作用一力F，按静力平衡的关系，作用在B处的力为此力使B弹簧k2产生变形，而此变形使C点发生的变形为

得到作用在C处而与k2弹簧等效的刚度系数习题课—单自由度系统无阻尼简谐振动7C物块的自由振动频率为与弹簧k1串联返回首页TheoryofVibrationwithApplications得系统的等效刚度系数习题课—单自由度系统无阻尼简谐振动8例5一个质量为m的物块从h的高处自由落下，与一根抗弯刚度为EI、长为l的简支梁作塑性碰撞，不计梁的质量，求该系统自由振动的频率、振幅和最大挠度。返回首页TheoryofVibrationwithApplications解：当梁的质量可以略去不计时，梁可以用一根弹簧来代替，于是这个系统简化成弹簧—质量系统。如果知道系统的静变形则求出系统的固有频率习题课—单自由度系统无阻尼简谐振动9由材料力学可知，简支梁受集中载荷作用，其中点静挠度为求出系统的固有频率为中央受集中载荷的简支梁的等效弹簧刚度系数为返回首页TheoryofVibrationwithApplications习题课—单自由度系统无阻尼简谐振动10以梁承受重物时的静平衡位置为坐标原点O，建立坐标系，并以撞击时刻为零瞬时，那么t=0时，有自由振动的振幅为梁的最大挠度

返回首页TheoryofVibrationwithApplications习题课—单自由度系统无阻尼简谐振动11例6.船舶振动记录仪的原理图如下图。重物P连同杆BD对于支点B的转动惯量为IE,求重物P在铅直方向的振动频率。弹簧AC的弹簧刚度系数是k。解：这是单自由度的振动系统。系统的位置可由杆BD自水平的平衡位置量起的角来决定。系统的动能设系统作简谐振动，则其运动方程角速度为返回首页TheoryofVibrationwithApplications系统的最大动能为习题课—单自由度系统无阻尼简谐振动12如取平衡位置为系统的势能零点。设在平衡位置时，弹簧的伸长量为δst。此时，弹性力Fst=kδst,方向向上。该系统的势能返回首页TheoryofVibrationwithApplications习题课—单自由度系统无阻尼简谐振动13返回首页TheoryofVibrationwithApplications习题课—单自由度系统阻尼简谐振动例714返回首页TheoryofVibrationwithApplications习题课—单自由度系统阻尼简谐振动15返回首页TheoryofVibrationwithApplications习题课—单自由度系统阻尼简谐振动16返回首页TheoryofVibrationwithApplications习题课—单自由度系统阻尼简谐振动17返回首页TheoryofVibrationwithApplications习题课—单自由度系统阻尼简谐振动18返回首页TheoryofVibrationwithApplications习题课—单自由度系统阻尼简谐振动例8.为车辆设计小阻尼减振器，要求振动一周后的振幅减小到第一幅值的1/16。车辆质量m=500kg，阻尼振动周期Td=1s。试求减振器的刚度系数k和阻尼系数c。19习题课—单自由度系统阻尼简谐振动返回首页TheoryofVibrationwithApplications20返回首页TheoryofVibrationwithApplications习题课—单自由度系统阻尼简谐振动例9.21返回首页TheoryofVibrationwithApplications习题课—单自由度系统阻尼简谐振动解：2.0例10.22返回首页TheoryofVibrationwithApplications习题课—单自由度系统阻尼简谐振动23返回首页TheoryofVibrationwithApplications习题课—单自由度系统阻尼简谐振动24返回首页TheoryofVibrationwithApplications习题课—单自由度系统强迫简谐振动例11.质量为M的电机安装在弹性根底上。由于转子不均衡，产生偏心，偏心距为e，偏心质量为m。转子以匀角速ω转动如图(a)所示，试求电机的运动。弹性根底的作用相当于弹簧常量为k的弹簧。设电机运动时受到粘性欠阻尼的作用，阻尼系数为c。25TheoryofVibrationwithApplications习题课—单自由度系统强迫简谐振动返回首页解：取电机的平衡位置为坐标原点O，x轴铅直向下为正。作用在电机上的力有重力Mg、弹性力F、阻尼力FR、虚加的惯性力FIe、FIr，受力图如图(b)所示。根据达朗贝尔原理，有26返回首页TheoryofVibrationwithApplications习题课—单自由度系统强迫简谐振动因此，电机作受迫振动的运动方程为27返回首页TheoryofVibrationwithApplications习题课—单自由度系统强迫简谐振动28返回首页TheoryofVibrationwithApplications习题课—单自由度系统强迫简谐振动例12.在图示的系统中，物块受粘性欠阻尼作用，其阻尼系数为c，物块的质量为m，弹簧的弹性常量为k。设物块和支撑只沿铅直方向运动，且支撑的运动为y(t)=bsinωt,试求物块的运动规律。解：选取y=0时物块的平衡位置为坐标原点O，建立固定坐标轴Ox铅直向上为正。由图所示的受力图，建立物块的运动微分方程29返回首页TheoryofVibrationwithApplications习题课—单自由度系统阻尼简谐振动力由两局部组成，一局部是由弹簧传递过来的ky，相位与y相同；另一局部是由阻尼器传递过来的,相位比y超前π/2。利用复指数法求解代入运动微分方程，得式中B为振幅，φ为响应与鼓励之间的相位差，显然有30返回首页TheoryofVibrationwithApplications习题课—单自由度系统阻尼简谐振动方程〔a〕的稳态解为放大系数为31返回首页TheoryofVibrationwithApplications习题课—单自由度系统强迫简谐振动32返回首页TheoryofVibrationwithApplications例13.习题课—单自由度系统强迫简谐振动33返回首页TheoryofVibrationwithApplications习题课—单自由度系统强迫简谐振动34返回首页Theoryof