2024届江苏省百校高一数学第二学期期末学业质量监测试题含解析

2024届江苏省百校高一数学第二学期期末学业质量监测试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．在正项等比数列中，，为方程的两根，则（）A．9 B．27 C．64 D．812．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为:弧田面积(弦矢+矢).弧田，由圆弧和其所对弦所围成.公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为，弦长等于的弧田.按照《九章算术》中弧田面积的经验公式计算所得弧田面积为（）A． B． C． D．3．角的终边经过点且，则的值为()A．-3 B．3 C．±3 D．54．已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为()A． B． C． D．5．已知平面向量，，且，则等于（）A． B． C． D．6．向量，，且，则等于（）A． B． C．2 D．107．圆周运动是一种常见的周期性变化现象，可表述为：质点在以某点为圆心半径为r的圆周上的运动叫“圆周运动”，如图所示，圆O上的点以点A为起点沿逆时针方向旋转到点P，若连接OA、OP，形成一个角，当角，则（）A． B． C． D．18．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则一定是（）A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形9．甲.乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度.跑步速度均相同，则（）A．甲先到教室 B．乙先到教室C．两人同时到教室 D．谁先到教室不确定10．已知的三个内角之比为，那么对应的三边之比等于（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．若在上是减函数，则的取值范围为______.12．已知，，，则的最小值为__________．13．已知向量，，且，点在圆上，则等于．14．设为三条不同的直线，为两个不同的平面，给出下列四个判断:①若则；②若是在内的射影，，则；③底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；④若球的表面积扩大为原来的16倍，则球的体积扩大为原来的32倍；其中正确的为___________.15．在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为________．16．已知，若直线与直线垂直，则的最小值为_____三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．对于定义域相同的函数和，若存在实数，使，则称函数是由“基函数，”生成的.（1）若函数是“基函数，”生成的，求实数的值；（2）试利用“基函数，”生成一个函数，且同时满足：①是偶函数；②在区间上的最小值为.求函数的解析式.18．从高三学生中抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如图所示的频率分布直方图.利用频率分布直方图求：（1）这50名学生成绩的众数与中位数；（2）这50名学生的平均成绩.（答案精确到0.1）19．已知无穷数列，是公差分别为、的等差数列，记（），其中表示不超过的最大整数，即.（1）直接写出数列，的前4项，使得数列的前4项为：2，3，4，5；（2）若，求数列的前项的和；（3）求证：数列为等差数列的必要非充分条件是.20．已知等比数列的各项均为正数，且，，数列的前项和.（1）求；（2）记，求数列的前项和.21．在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知向量，又点，，，.（1）若，且，求向量；（2）若向量与向量共线，常数，求的值域.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解题分析】

由韦达定理得，再利用等比数列的性质求得结果.【题目详解】由已知得是正项等比数列本题正确选项：【题目点拨】本题考查等比数列的三项之积的求法，关键是对等比数列的性质进行合理运用，属于基础题.2、C【解题分析】

首先根据图形计算出矢，弦，再带入弧田面积公式即可.【题目详解】如图所示：因为，，为等边三角形.所以，矢，弦..故选：C【题目点拨】本题主要考查扇形面积公式，同时考查学生对题意的理解，属于中档题.3、B【解题分析】

根据三角函数的定义建立方程关系即可．【题目详解】因为角的终边经过点且，所以则解得【题目点拨】本题主要考查三角函数的定义的应用，应注意求出的b为正值．4、B【解题分析】试题分析：如图，取中点，连接，因为是中点，则，或其补角就是异面直线所成的角，设正四面体棱长为1，则，，．故选B．考点：异面直线所成的角．【名师点睛】求异面直线所成的角的关键是通过平移使其变为相交直线所成角，但平移哪一条直线、平移到什么位置，则依赖于特殊的点的选取，选取特殊点时要尽可能地使它与题设的所有相减条件和解题目标紧密地联系起来．如已知直线上的某一点，特别是线段的中点，几何体的特殊线段．5、B【解题分析】

先由求出，然后按照向量的坐标运算法则算出答案即可【题目详解】因为，，且所以，即，所以所以故选：B【题目点拨】若，则6、B【解题分析】

先由数量积为，得出，求出的坐标，利用模长的坐标公式求解即可.【题目详解】由题意可得，则则故选：B【题目点拨】本题主要考查了向量模的坐标表示以及向量垂直的坐标表示，属于基础题.7、A【解题分析】

运用求任意角的三角函数值的步骤：化正、脱周、变锐角和求值，可得所求值.【题目详解】.故选：A.【题目点拨】本题考查任意角三角函数值的求法，属于基础题.8、D【解题分析】

利用余弦定理、等边三角形的判定方法即可得出．【题目详解】由余弦定理得，则，即，所以.∵∴是等边三角形.故选D.【题目点拨】本题考查了余弦定理、等边三角形的判定方法，考查了推理能力与计算能力，熟练掌握余弦定理是解答本题的关键．9、B【解题分析】

设两人步行，跑步的速度分别为，（）．图书馆到教室的路程为，再分别表示甲乙的时间，作商比较即可.【题目详解】设两人步行、跑步的速度分别为，（）．图书馆到教室的路程为．则甲所用的时间为：．乙所用的时间，满足+，解得．则＝＝＝1．∴．故乙先到教室．故选：B．【题目点拨】本题考查了路程与速度、时间的关系、基本不等式的性质，属于基础题．10、D【解题分析】∵已知△ABC的三个内角之比为,∴有,再由,可得，故三内角分别为.再由正弦定理可得三边之比，故答案为点睛：本题考查正弦定理的应用，结合三角形内角和等于，很容易得出三个角的大小，利用正弦定理即出结果二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】

化简函数解析式，，时，是余弦函数单调减区间的子集，即可求解.【题目详解】,时，,且在上是减函数，，，因为解得.【题目点拨】本题主要考查了函数的三角恒等变化，余弦函数的单调性，属于中档题.12、8【解题分析】由题意可得：则的最小值为.当且仅当时等号成立.点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．13、【解题分析】试题分析：因为且在圆上，所以，解得，所以．考点：向量运算．【思路点晴】平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用．利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．列出方程组求解未知数．14、①②【解题分析】

对四个命题分别进行判断即可得到结论【题目详解】①若，垂足为，与确定平面，，则，，则，，则，故，故正确②若，是在内的射影，，根据三垂线定理，可得，故正确③底面是等边三角形，侧面都是有公共顶点的等腰三角形的三棱锥是正三棱锥，故不正确④若球的表面积扩大为原来的倍，则半径扩大为原来的倍，则球的体积扩大为原来的倍，故不正确其中正确的为①②【题目点拨】本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系、球的体积等知识点，数量掌握各知识点然后对其进行判断，较为基础。15、9【解题分析】分析：先根据三角形面积公式得条件、再利用基本不等式求最值.详解：由题意可知，,由角平分线性质和三角形面积公式得，化简得，因此当且仅当时取等号，则的最小值为.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.16、8【解题分析】

两直线斜率存在且互相垂直，由斜率乘积为-1求得等式，把目标式子化成，运用基本不等式求得最小值.【题目详解】设直线的斜率为，，直线的斜率为，，两条直线垂直，，整理得：，，等号成立当且仅当，的最小值为.【题目点拨】利用“1”的代换，转化成可用基本不等式求最值，考查转化与化归的思想.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1).(2)【解题分析】

（1）根据基函数的定义列方程，比较系数后求得的值.（2）设出的表达式，利用为偶函数，结合偶函数的定义列方程，化简求得，由此化简的表达式，构造函数，利用定义法证得在上的单调性，由此求得的最小值，也即的最小值，从而求得的最小值，结合题目所给条件，求出的值，即求得的解析式.【题目详解】解：（1）由已知得，即，得，所以.（2）设，则.由，得，整理得，即，即对任意恒成立，所以.所以.设，，令，则，任取，且则，因为，且所以，，，故即，所以在单调递增，所以，且当时取到“”.所以，又在区间的最小值为，所以，且，此时，所以【题目点拨】本小题主要考查新定义函数的理解和运用，考查函数的单调性、奇偶性的运用，考查利用定义法证明函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，考查函数与方程的思想，综合性较强，属于中档题.18、（1）众数为75分，中位数为分；（2）76.2分【解题分析】

（1）由众数的概念及频率分布直方图可求得众数，根据中位数的概念可求得中位数；.（2）由平均数的概念和频率直方图可求得平均数.【题目详解】（1）由众数的概念及频率分布直方图可知，这50名学生成绩的众数为75分.因为数学竞赛成绩在的频率为，数学竞赛成绩在的频率为.所以中位数为.（2）这50名学生的平均成绩为.【题目点拨】本题考查根据频率直方图求得数字特征，关键在于理解各数字特征的含义，属于基础题.19、（1）的前4项为1，2，3，4，的前4项为1，1，1，1；（2）；（3）证明见解析【解题分析】

（1）根据定义，选择，的前4项，尽量选用整数计算方便；（2）分别考虑，的前项的规律，然后根据计算的运算规律计算；（3）根据必要不充分条件的推出情况去证明即可.【题目详解】（1）由的前4项为：2，3，4，5，选、的前项为正整数：的前4项为1，2，3，4，的前4项为1，1，1，1；（2）将的前项列举出：；将的前项列举出：；则；（3）充分性：取，此时，将的前项列举出：，将前项列出：，此时的前项为：，显然不是等差数列，充分性不满足；必要性：设，，当为等差数列时，因为，所以，又因为，所以有：，且，所以；，，不妨令，则有如下不等式：；当时，令，则当时，，此时无解；当时，令，则当时，，此时无解；所以必有：，故：必要性满足；综上：数列为等差数列的必要非充分条件是【题目点拨】本题考查数列的定义以及证明，难度困难.对于充分必要条件的证明，需要对充分性和必要性同时分析，不能取其一分析；新定义的数列问题，可通过定义先理解定义的含义，然后再分析问题.20、（1）（2）【解题分析】

（1）先设等比数列的公比为，再求解即可；（2）由已知条件可得，再利用错位相减法求和即可.【题目详解】解：（1）设等比数列的公比为，则，由，，则，即，则，（2）由数列的前项和，则，即当时，，即，又，所以，，①，②①-②得：，即.【题目点拨】本题考查了等比数列通项公式的求法，重点考查了错位相减法求数列前项和，属中档题.21、（1）或；（2）当时的值域为.时的值域为.【解题分析】分析：（1）由已知表示出向量，再根据，