山东淄博第一中学2024届数学高一第二学期期末达标检测试题含解析

山东淄博第一中学2024届数学高一第二学期期末达标检测试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．在数列中，，，则的值为：A．52 B．51 C．50 D．492．关于的不等式的解集为（）A． B． C． D．3．曲线与曲线的（）A．长轴长相等 B．短轴长相等C．焦距相等 D．离心率相等4．平行四边形中,M为的中点,若.则=()A． B．2 C． D．5．在锐角中，角，，所对的边分别为，，，边上的高，且，则等于()A． B． C． D．6．在等差数列中，已知，则数列的前9项之和等于（）A．9 B．18 C．36 D．527．若，，且，则与的夹角是（）A． B． C． D．8．已知是非零向量，若，且，则与的夹角为（）A． B． C． D．9．已知向量，则与的夹角为（）A． B． C． D．10．已知圆与直线及都相切，圆心在直线上，则圆的方程为（）A． B．C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知等比数列的前项和为，若，且，则_____．12．已知数列的通项公式是，若将数列中的项从小到大按如下方式分组：第一组：，第二组：，第三组：，…，则2018位于第________组.13．在等腰中，为底边的中点，为的中点，直线与边交于点，若，则___________．14．已知圆截直线所得线段的长度是，则圆M与圆的位置关系是_________．15．如图，点为正方形边上异于点的动点，将沿翻折成，使得平面平面，则下列说法中正确的是__________.(填序号)（1）在平面内存在直线与平行；（2）在平面内存在直线与垂直（3）存在点使得直线平面（4）平面内存在直线与平面平行.（5）存在点使得直线平面16．两等差数列{an}和{bn}前n项和分别为Sn，Tn，且，则=__________．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数的最小正周期为，（1）求函数的单调递减区间；（2）若函数在区间上有两个零点，求实数的取值范围.18．为了调查家庭的月收入与月储蓄的情况，某居民区的物业工作人员随机抽取该小区20个家庭，获得第个家庭的月收入（单位：千元）与月储蓄（单位：千元）的数据资料，计算得：，，，，.（1）求家庭的月储蓄对月收入的线性回归方程；（2）指出（1）中所求出方程的系数，并判断变量与之间是正相关还是负相关；（3）若该居民区某家庭月收入为9千元，预测该家庭的月储蓄.19．已知不等式.（1）当时，求此不等式的解集；（2）若不等式的解集非空，求实数的取值范围．20．某大学要修建一个面积为的长方形景观水池，并且在景观水池四周要修建出宽为2m和3m的小路如图所示问如何设计景观水池的边长，能使总占地面积最小？并求出总占地面积的最小值．21．如图，等边所在的平面与菱形所在的平面垂直，分别是的中点.（1）求证：平面；（2）若，，求三棱锥的体积

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解题分析】

由，得到，进而得到数列首项为2，公差为的等差数列，利用等差数列的通项公式，即可求解，得到答案．【题目详解】由题意，数列满足，即，又由，所以数列首项为2，公差为的等差数列，所以，故选A．【题目点拨】本题主要考查了等差数列的定义，以及等差数列的通项公式的应用，其中解答中熟记等差数列的定义，以及等差数列的通项公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．2、B【解题分析】

将不等式化为，等价于，解出即可．【题目详解】由原式得且，解集为，故选B．【题目点拨】本题考查分式不等式的解法，解分式不等式时，要求右边化为零，等价转化如下：；；；.3、D【解题分析】

首先将后面的曲线化简为标准形式，分别求两个曲线的几何性质，比较后得出选项.【题目详解】首先化简为标准方程，，由方程形式可知，曲线的长轴长是8，短轴长是6，焦距是，离心率，，的长轴长是，短轴长是，焦距是，离心率，所以离心率相等.故选D.【题目点拨】本题考查了椭圆的几何性质，属于基础题型.4、A【解题分析】

先求出,再根据得到解方程组即得解.【题目详解】由题意得，又因为，所以,由题意得，所以解得所以，故选A．【题目点拨】本题主要考查平面向量的运算法则，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.5、A【解题分析】

在中得到，，在中得到，利用面积公式计算得到.【题目详解】如图所示：在中：，根据勾股定理得到在中：利用勾股定理得到，故故选A【题目点拨】本题考查了勾股定理，面积公式，意在考查学生解决问题的能力.6、B【解题分析】

利用等差数列的下标性质，可得出，再由等差数列的前项和公式求出的值.【题目详解】在等差数列中，故选：B【题目点拨】本题考查了等差数列的下标性质、以及等差数列的前项和公式，考查了数学运算能力.7、B【解题分析】

根据相互垂直的向量数量积为零，求出与的夹角.【题目详解】由题有，即，故，因为，所以.故选：B.【题目点拨】本题考查了向量的数量积运算，向量夹角的求解，属于基础题.8、D【解题分析】

由得，这样可把且表示出来．【题目详解】∵，∴，，∴，∴，故选D．【题目点拨】本题考查向量的数量积，掌握数量积的定义是解题关键．9、D【解题分析】

根据题意，由向量数量积的计算公式可得cosθ的值，据此分析可得答案．【题目详解】设与的夹角为θ，由、的坐标可得||＝5，||＝3，•5×0+5×（﹣3）＝﹣15，故，所以.故选D【题目点拨】本题考查向量数量积的坐标计算，涉及向量夹角的计算，属于基础题．10、B【解题分析】

由平行线间的距离公式求出圆的直径，然后设出圆心，由点到两条切线的距离都等于半径，求出,即可求得圆的方程.【题目详解】因为两条直线与平行,所以它们之间的距离即为圆的直径,所以,所以.设圆心坐标为,则点到两条切线的距离都等于半径,所以,,解得,故圆心为,所以圆的标准方程为.故选：.【题目点拨】本题主要考查求解圆的方程,同时又进一步考查了直线与圆的位置关系,圆的切线性质等.本题也注重考查审题能力,分析问题和解决问题的能力.难度较易.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、4或1024【解题分析】

当时得到，当时，代入公式计算得到，得到答案.【题目详解】比数列的前项和为，当时：易知，代入验证，满足，故当时：故答案为：4或1024【题目点拨】本题考查了等比数列，忽略掉的情况是容易发生的错误.12、1【解题分析】

根据题意可分析第一组、第二组、第三组、…中的数的个数及最后的数，从中寻找规律使问题得到解决．【题目详解】根据题意:第一组有2＝1×2个数，最后一个数为4；第二组有4＝2×2个数，最后一个数为12，即2×（2+4）；第三组有6＝2×3个数，最后一个数为24，即2×（2+4+6）；…∴第n组有2n个数，其中最后一个数为2×（2+4+…+2n）＝4（1+2+3+…+n）＝2n（n+1）．∴当n＝31时，第31组的最后一个数为2×31×1＝1984，∴当n＝1时，第1组的最后一个数为2×1×33＝2112，∴2018位于第1组．故答案为1．【题目点拨】本题考查观察与分析问题的能力，考查归纳法的应用，从有限项得到一般规律是解决问题的关键点，属于中档题．13、；【解题分析】

题中已知等腰中，为底边的中点，不妨于为轴，垂直平分线为轴建立直角坐标系，这样，我们能求出点坐标，根据直线与求出交点，求向量的数量积即可.【题目详解】如上图，建立直角坐标系，我们可以得出直线，联立方程求出,,即填写【题目点拨】本题中因为已知底边及高的长度，所有我们建立直角坐标系，求出相应点坐标，而作为F点的坐标我们可以通过直线交点求出，把向量数量积通过向量坐标运算来的更加直观.14、相交【解题分析】

根据直线与圆相交的弦长公式，求出的值，结合两圆的位置关系进行判断即可．【题目详解】解：圆的标准方程为，则圆心为，半径，圆心到直线的距离，圆截直线所得线段的长度是，即，，则圆心为，半径，圆的圆心为，半径，则，，，，即两个圆相交．故答案为：相交．【题目点拨】本题主要考查直线和圆相交的应用，以及两圆位置关系的判断，根据相交弦长公式求出的值是解决本题的关键．15、（2）（4）【解题分析】

采用逐一验证法，利用线面的位置关系判断，可得结果.【题目详解】（1）错，若在平面内存在直线与平行，则//平面，可知//，而与相交，故矛盾（2）对，如图作，根据题意可知平面平面所以，作，点在平面，则平面，而平面，所以，故正确（3）错，若平面，则，而所以平面，则，矛盾（4）对，如图延长交于点连接,作//平面，平面，平面，所以//平面，故存在（5）错，若平面，则又，所以平面所以，可知点在以为直径的圆上又该圆与无交点，所以不存在.故答案为：（2）（4）【题目点拨】本题主要考查线线，线面，面面之间的关系，数形结合在此发挥重要作用，属中档题.16、【解题分析】数列{an}和{bn}为等差数列，所以.点睛：等差数列的常考性质：{an}是等差数列，若m+n=p+q,则.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）的单调递减区间为（2）【解题分析】

（1）由二倍角公式和两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后得正弦函数的单调性求得减区间；（2）函数在区间上有两个零点可转化为函数与的图像有两个不同的交点.，利用函数图象可求解．【题目详解】（1）函数的最小正周期，故令，得故的单调递减区间为（2）函数在区间上有两个零点，即方程区间上有两个不同的实根，即函数与的图像有两个不同的交点.，故，结合单调性可知，要使函数与图像有两个不同的交点，则，所以【题目点拨】本题考查三角函数的图象与性质，考查二倍角公式和两角和的正弦公式，考查零点个数问题．解决函数零点个数问题通常需要转化与化归，即转化为函数图象交点个数问题，大多数情况是函数图象与直线交点个数问题．象本题，最后转化为求函数的单调性与极值（最值）．18、（1）；（2）正相关；（3）2.2千元.【解题分析】

（1）直接利用公式计算回归方程为：.（2）由（1），故正相关.（3）把代入得：.【题目详解】（1）∵，，样本中心点为：∴由公式得：把代入得：所求回归方程为：；（2）由（1）知，所求出方程的系数为：，，∵，∴与之间是正相关.（3）把代入得：（千元）即该居民区某家庭月收入为9千元时,预测该家庭的月储蓄为2.2千元.【题目点拨】本题考查了回归方程的计算和预测，意在考查学生的计算能力.19、（1）；（2）【解题分析】

（1）不等式为，解得（2）不等式的解集非空，则，求解即可【题目详解】（1）当时，不等式为，解得，故不等式的解集为；（2）不等式的解集非空，则，即，解得，或，故实数的取值范围是．【题目点拨】二次函数，二次方程，一元二次不等式三个二次的相互转换是解决一元二次不等式问题的常用方法，数形结合是解决函数问题的基本思想．20、水池一边长为12m，另一边为18m，总面积为最小，为．【解题分析】

设水池一边长为xm，则另一边为，表示出面积利用基本不等式求解即可．【题目详解】设水池一边长为xm，则另一边为，总面积，当且仅当时取等号，故水池一边长为12m，则另一边为18m，总面积为最小，为，【题目点拨】本题考查函数在实际问题中的应用，基本不等式的应用，考查计算能力．21、（1）证明见解析；（2）.【解题分析】

解法一：（1）取中点，连接，，证出，利用线面平行的判定定理即可证出.（2）取中点，连接，利用面面垂直的性质定理可得平面，过作于，可得平面，由即可求解.解法二：（1）取中点，连接，证出平面，平面，利用面面平行的判定定理可证出平面平面，再利用面面平行的性质定理即可证出.（2）取中点，连接，根据面面垂直的性质定理可得平面，再由，利用三棱锥的体积公式即可求解.【题目详解】解法一：（1）取中点，连接，.因为分别是的中点，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面.（2）取中点，连接，则，且，因为平面平面，平面平面，平面，所