2024届湖南省湖湘教育三新探索协作体高一数学第二学期期末综合测试试题含解析

2024届湖南省湖湘教育三新探索协作体高一数学第二学期期末综合测试试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．《九章算术》卷第五《商功》中，有问题“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈．问积几何？”，意思是：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽丈，长丈；上棱长丈，无宽，高丈（如图）．问它的体积是多少?”这个问题的答案是（）A．立方丈 B．立方丈C．立方丈 D．立方丈2．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状一定是（）A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形3．已知平面向量，，，，且，则向量与向量的夹角为（）A． B． C． D．4．把函数的图象经过变化而得到的图象，这个变化是（）A．向左平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向右平移个单位5．不等式的解集是()A． B． C． D．6．已知在中，，则的形状是A．锐角三角形 B．钝角三角形C．等腰三角形 D．直角三角形7．设、、为平面，为、、直线，则下列判断正确的是（）A．若，，，则B．若，，，则C．若，，，则D．若，，，则8．如图，平行四边形的对角线相交于点，是的中点，的延长线与相交于点，若，，，则()A． B． C． D．9．在△ABC中，AC，BC＝1，∠B＝45°，则∠A＝（）A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120°10．在中，分别是角的对边,若,且，则的值为()A．2 B． C． D．4二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．在等比数列中，若，则等于__________．12．已知函数，若对任意都有（）成立，则的最小值为__________．13．已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是.14．函数y=tan15．已知1，，，，4成等比数列，则______.16．从原点向直线作垂线，垂足为点，则的方程为_______.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知向量，满足：，，．（Ⅰ）求与的夹角；（Ⅱ）求．18．在某市高三教学质量检测中，全市共有名学生参加了本次考试，其中示范性高中参加考试学生人数为人，非示范性高中参加考试学生人数为人.现从所有参加考试的学生中随机抽取人，作检测成绩数据分析.（1）设计合理的抽样方案（说明抽样方法和样本构成即可）；（2）依据人的数学成绩绘制了如图所示的频率分布直方图，据此估计本次检测全市学生数学成绩的平均分；19．某校研究性学习小组从汽车市场上随机抽取辆纯电动汽车调查其续驶里程(单次充电后能行驶的最大里程),被调查汽车的续驶里程全部介于公里和公里之间,将统计结果分成组:,,,,,绘制成如图所示的频率分布直方图.（1）求直方图中的值;（2）求辆纯电动汽车续驶里程的中位数;（3）若从续驶里程在的车辆中随机抽取辆车,求其中恰有一辆车的续驶里程为的概率.20．设为等差数列的前项和，已知，.（1）求数列的通项公式；（2）令，且数列的前项和为，求证：.21．已知数列中，，．（1）证明数列为等比数列，并求的通项公式；（2）数列满足，数列的前项和为，求证．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解题分析】过点分别作平面和平面垂直于底面，所以几何体的体积分为三部分中间是直三棱柱，两边是两个一样的四棱锥，所以立方丈，故选A.2、C【解题分析】

将角C用角A角B表示出来，和差公式化简得到答案.【题目详解】△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，角A，B，C为△ABC的内角故答案选C【题目点拨】本题考查了三角函数和差公式，意在考查学生的计算能力.3、B【解题分析】

根据可得到：，由此求得；利用向量夹角的求解方法可求得结果.【题目详解】由题意知：，则设向量与向量的夹角为则本题正确选项：【题目点拨】本题考查向量夹角的求解，关键是能够通过平方运算将模长转变为向量的数量积，从而得到向量的位置关系.4、B【解题分析】

试题分析：，与比较可知：只需将向右平移个单位即可考点：三角函数化简与平移5、A【解题分析】

分解因式，即可求得.【题目详解】进行分解因式可得：，故不等式解集为：故选：A.【题目点拨】本题考查一元二次不等式的求解，属基础知识题.6、D【解题分析】

利用正弦定理可将已知中的等号两边的“边”转化为它所对角的正弦，再利用余弦定理化简即得该三角形的形状．【题目详解】根据正弦定理，原式可变形为：所以整理得．故选．【题目点拨】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.7、D【解题分析】

根据线面、面面有关的定理，对四个选项逐一分析，由此得出正确选项.【题目详解】A选项不正确，因为根据面面垂直的性质定理，需要加上：在平面内或者平行于，这个条件，才能判定.B选项不正确，因为可能平行于.C选项不正确，因为当时，或者.D选项正确，根据垂直于同一条直线的两个平面平行，得到，直线，则可得到.综上所述，本小题选D.【题目点拨】本小题主要考查空间线面、面面位置关系有关命题真假性的判断，属于基础题.8、B【解题分析】

先根据勾股定理判断为直角三角形，且，，再根据三角形相似可得，然后由向量的加减的几何意义以及向量的数量积公式计算即可．【题目详解】，，，，为直角三角形，且，，平行行四边形的对角线相交于点，是的中点，，，，，故选B．【题目点拨】本题主要考查向量的加减的几何意义以及向量的数量积公式的应用．9、A【解题分析】

直接利用正弦定理求出sinA的大小，根据大边对大角可求A为锐角，即可得解A的值．【题目详解】因为：△ABC中，BC＝1，AC，∠B＝45°，所以：，sinA．因为：BC＜AC，可得：A为锐角，所以：A＝30°．故选：A．【点评】本题考查正弦定理在解三角形中的应用，考查计算能力，属于基础题．10、A【解题分析】

由正弦定理，化简求得，解得，再由余弦定理，求得，即可求解，得到答案．【题目详解】在中，因为,且，由正弦定理得，因为，则，所以，即，解得，由余弦定理得，即，解得，故选A．【题目点拨】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．通常当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】

由等比数列的性质可得,,代入式子中运算即可.【题目详解】解：在等比数列中,若故答案为：【题目点拨】本题考查等比数列的下标和性质的应用.12、【解题分析】

根据和的取值特点，判断出两个值都是最值，然后根据图象去确定最小值.【题目详解】因为对任意成立，所以取最小值，取最大值；取最小值时，与必为同一周期内的最小值和最大值的对应的，则，且，故.【题目点拨】任何一个函数，若有对任何定义域成立，此时必有：，.13、【解题分析】

，，是平面内两个相互垂直的单位向量，∴，∴，，，为与的夹角，∵是平面内两个相互垂直的单位向量∴，即，所以当时，即与共线时，取得最大值为，故答案为.14、{【解题分析】

解方程12【题目详解】由题得12x+故答案为{x|x≠2kπ+【题目点拨】本题主要考查正切型函数的定义域的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.15、2【解题分析】

因为1，，，，4成等比数列，根据等比数列的性质，可得，再利用，确定取值.【题目详解】因为1，，，，4成等比数列，所以，所以或，又因为，所以.故答案为:2【题目点拨】本题主要考查等比数列的性质，还考查运算求解的能力，属于基础题.16、.【解题分析】

先求得直线的斜率,由直线垂直时的斜率关系可求得直线的斜率.再根据点斜式即可求得直线的方程.【题目详解】从原点向直线作垂线,垂足为点则直线的斜率由两条垂直直线的斜率关系可知根据点斜式可得直线的方程为化简得故答案为:【题目点拨】本题考查了直线垂直时的斜率关系,点斜式方程的应用,属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）（Ⅱ）【解题分析】

（I）利用向量数量积的运算，化简，得到，由此求得的大小.（II）先利用向量的数量积运算，求得的值，由此求得的值.【题目详解】解：（Ⅰ）因为，所以．所以．因为，所以．（Ⅱ）因为，由已知，，所以．所以．【题目点拨】本小题主要考查向量数量积运算，考查向量夹角的计算，考查向量模的求法，属于基础题.18、（1）见解析；（2）92.4【解题分析】

（1）根据总体的差异性选择分层抽样，再结合抽样比计算出非示范性高中和示范性高中所抽取的人数；（2）将每个矩形底边的中点值乘以相应矩形的面积所得结果，再全部相加可得出本次测验全市学生数学成绩的平均分．【题目详解】（1）由于总体有明显差异的两部分构成，故采用分层抽样，由题意，从示范性高中抽取人，从非师范性高中抽取人；（2）由频率分布直方图估算样本平均分为推测估计本次检测全市学生数学平均分为【题目点拨】本题考查分层抽样以及计算频率分布直方图中的平均数，着重考查学生对几种抽样方法的理解，以及频率分布直方图中几个样本数字的计算方法，属于基础题．19、（1）（2）（3）【解题分析】

（1）利用小矩形的面积和为,求得值,即可求得答案;（2）中位数的计算方法为:把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于轴的直线横坐标,即可求得答案;（3）据直方图求出续驶里程在和续驶里程在的车辆数,利用排列组合和概率公式求出其中恰有一辆车的续驶里程在的概率,即可求得答案.【题目详解】（1）由直方图可得:（2）根据中位数的计算方法为:把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于轴的直线横坐标.直方图可得:可得:辆纯电动汽车续驶里程的中位数.（3）续驶里程在的车辆数为:续驶里程在第五组的车辆数为.从辆车中随机抽取辆车,共有中抽法，其中恰有一辆车的续驶里程在的抽法有种，其中恰有一辆车的续驶里程在的概率为.【题目点拨】本题考查根据条型统计图求数据的中位数和根据组合数求概率问题,解题关键是掌握条型统计图基础知识和概率的求法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.20、（1），（2）见解析【解题分析】

(1)根据等差数列的通项公式得到结果；（2）根据第一问得到，由裂项求和得到结果.【题目详解】（1）设等差数列的公差为，由题意得，，解得，，则，.（2）由得∴.【题目点拨】这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等。21、（1）证明见解析；；（2）【解题分析】

（1）先证明数列是以3为公比，以为首项的等比数列，从而