上海市上海外国语大学附属上外高中2024届数学高一下期末综合测试试题含解析

上海市上海外国语大学附属上外高中2024届数学高一下期末综合测试试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知数列的通项公式为，则72是这个数列的（）A．第7项 B．第8项 C．第9项 D．第10项2．若，则下列不等式不成立的是()A． B． C． D．3．若满足条件的三角形ABC有两个，那么a的取值范围是（）A． B． C． D．4．若过点，的直线与直线平行，则的值为（）A．1 B．4 C．1或3 D．1或45．圆C：x2+yA．2 B．3 C．1 D．26．已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（）A． B． C． D．7．若三个球的半径的比是1：2：3，则其中最大的一个球的体积是另两个球的体积之和的（）倍．A．95 B．2 C．528．下列四个结论正确的是（）A．两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行B．两条直线没有公共点，则这两条直线平行C．两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线平行D．两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行9．已知A(3,1)，B(－1,2)，若∠ACB的平分线方程为y＝x＋1，则AC所在的直线方程为()A．y＝2x＋4 B．y＝x－3 C．x－2y－1＝0 D．3x＋y＋1＝010．函数的对称中心是（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．的最大值为______.12．向量满足：，与的夹角为，则＝_____________；13．圆的一条经过点的切线方程为______．14．设数列是首项为0的递增数列，函数满足：对于任意的实数，总有两个不同的根，则的通项公式是________．15．某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同种产品，数量分别为90件，60件，30件，为了解它们的产品质量是否存在显著差异，采用层抽样方法抽取了一个容量为的样本进行调查，其中从乙车间的产品中抽取了2件，应从甲车间的产品中抽取______件.16．过点且与直线l：垂直的直线方程为______.（请用一般式表示）三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．涡阳县某华为手机专卖店对市民进行华为手机认可度的调查，在已购买华为手机的名市民中，随机抽取名，按年龄（单位：岁）进行统计的频数分布表和频率分布直方图如图：分组（岁）频数合计（1）求频数分布表中、的值，并补全频率分布直方图；（2）在抽取的这名市民中，从年龄在、内的市民中用分层抽样的方法抽取人参加华为手机宣传活动，现从这人中随机选取人各赠送一部华为手机，求这人中恰有人的年龄在内的概率.18．设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于，设，的面积为．（1）求的解析式及定义域；（2）求的最大值．19．在等比数列中，，.（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前项和.20．己知函数．（1）若，，求；（2）当为何值时，取得最大值，并求出最大值．21．如图，直三棱柱中，点是棱的中点，点在棱上，已知，，（1）若点在棱上，且，求证：平面平面；（2）棱上是否存在一点，使得平面证明你的结论。

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解题分析】

根据数列的通项公式，令，求得的值，即可得到答案.【题目详解】由题意，数列的通项公式为，令，即，解得或（不合题意），所以是数列的第8项，故选B.【题目点拨】本题主要考查了数列的通项公式的应用，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.2、A【解题分析】

由题得a＜b＜0，再利用作差比较法判断每一个选项的正误得解.【题目详解】由题得a＜b＜0，对于选项A,=，所以选项A错误.对于选项B,显然正确.对于选项C,，所以，所以选项C正确.对于选项D,，所以选项D正确.故答案为A【题目点拨】(1)本题主要考查不等式的基本性质和实数大小的比较，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)比差的一般步骤是：作差→变形（配方、因式分解、通分等）→与零比→下结论；比商的一般步骤是：作商→变形（配方、因式分解、通分等）→与1比→下结论.如果两个数都是正数，一般用比商，其它一般用比差.3、C【解题分析】

利用正弦定理，用a表示出sinA，结合C的取值范围，可知；根据存在两个三角形的条件，即可求得a的取值范围。【题目详解】根据正弦定理可知，代入可求得因为，所以若满足有两个三角形ABC则所以所以选C【题目点拨】本题考查了正弦定理在解三角形中的简单应用，判断三角形的个数情况，属于基础题。4、A【解题分析】

首先设一条与已知直线平行的直线，点，代入直线方程即可求出的值.【题目详解】设与直线平行的直线：，点，代入直线方程，有.故选：A.【题目点拨】本题考查了利用直线的平行关系求参数，属于基础题.注意直线与直线在时相互平行.5、D【解题分析】

由点到直线距离公式，求出圆心到直线y=x的距离d，再由弦长=2r【题目详解】因为圆C：x2+y2-2x=0所以圆心(1,0)到直线y=x的距离为d=1-0因此，弦长=2r故选D【题目点拨】本题主要考查求圆被直线所截弦长问题，常用几何法处理，属于常考题型.6、C【解题分析】

根据题意可知所求的球为正四棱柱的外接球，根据正四棱柱的特点利用勾股定理可求得外接球半径，代入球的体积公式求得结果.【题目详解】由题意可知所求的球为正四棱柱的外接球底面正方形对角线长为：外接球半径外接球体积本题正确选项：【题目点拨】本题考查正棱柱外接球体积的求解问题，关键是能够根据正棱柱的特点确定球心位置，从而利用勾股定理求得外接球半径.7、D【解题分析】

设最小球的半径为R，根据比例关系即可得到另外两个球的半径，再利用球的体积公式表示出三个球的体积，即可得到结论。【题目详解】设最小球的半径为R，由三个球的半径的比是1：2：3，可得另外两个球的半径分别为2R，3R；∴最小球的体积V1=43π∴V故答案选D【题目点拨】本题主要考查球体积的计算公式，属于基础题。8、C【解题分析】

利用空间直线平面位置关系对每一个选项分析得解.【题目详解】A.两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行、相交或异面，所以该选项错误；B.两条直线没有公共点，则这两条直线平行或异面，所以该选项错误；C.两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线平行，是平行公理，所以该选项正确；D.两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行、相交或异面，所以该选项错误.故选：C【题目点拨】本题主要考查直线平面的位置关系的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.9、C【解题分析】设点A（3,1）关于直线的对称点为，则，解得，即，所以直线的方程为，联立解得，即,又，所以边AC所在的直线方程为，选C.点睛：本题主要考查了直线方程的求法，属于中档题。解题时要结合实际情况，准确地进行求解。10、C【解题分析】，设是奇函数，其图象关于原点对称，而函数的图象可由的图象向右平移一个单位，向下平移两个单位得到，所以函数的图象关于点对称，故选C.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、3【解题分析】

由余弦型函数的值域可求得整个函数的值域，进而得到最大值.【题目详解】，即故答案为：【题目点拨】本题考查含余弦型函数的值域的求解问题，关键是明确在自变量无范围限制时，余弦型函数的值域为.12、【解题分析】

根据模的计算公式可直接求解.【题目详解】故填：.【题目点拨】本题考查了平面向量模的求法，属于基础题型.13、【解题分析】

根据题意，设为，设过点圆的切线为，分析可得在圆上，求出直线的斜率，分析可得直线的斜率，由直线的点斜式方程计算可得答案．【题目详解】根据题意，设为，设过点圆的切线为，圆的方程为，则点在圆上，则，则直线的斜率，则直线的方程为，变形可得，故答案为．【题目点拨】本题考查圆的切线方程，注意分析点与圆的位置关系．14、【解题分析】

利用三角函数的图象与性质、诱导公式和数列的递推公式，可得，再利用“累加”法和等差数列的前n项和公式，即可求解．【题目详解】由题意，因为，当时，，又因为对任意的实数，总有两个不同的根，所以，所以，又，对任意的实数，总有两个不同的根，所以，又，对任意的实数，总有两个不同的根，所以，由此可得，所以，所以．故答案为：．【题目点拨】本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，以及诱导公式，数列的递推关系式和“累加”方法等知识的综合应用，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．15、.【解题分析】

根据分层抽样中样本容量关系,即可求得从甲车间的产品中抽取数量.【题目详解】根据分层抽样为等概率抽样,所以乙车间每个样本被抽中的概率等于甲车间每个样本被抽中的概率设从甲车间抽取样本为件所以,解得所以从甲车间抽取样本件故答案为:【题目点拨】本题考查了分层抽样的特征及样本数量的求法,属于基础题.16、【解题分析】

与直线垂直的直线方程可设为，再将点的坐标代入运算即可得解.【题目详解】解：与直线l：垂直的直线方程可设为，又该直线过点，则，则，即点且与直线l：垂直的直线方程为，故答案为：.【题目点拨】本题考查了与已知直线垂直的直线方程的求法，属基础题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），频率分布直方图见解析；（2）.【解题分析】

（1）根据分布直方图计算出第二个矩形的面积，乘以可得出的值，再由频数之和为得出的值，利用频数除以样本容量得出第四个矩形的面积，并计算出第四个矩形的高，于此可补全频率分布直方图；（2）先计算出人中年龄在、内的市民人数分别为、，将年龄在的位市民记为，年龄在的位市民记为、、、，记事件恰有人的年龄在内，列举出所有的基本事件，并确定事件所包含的基本事件数，利用古典概型的概率公式可计算出事件的概率.【题目详解】（1）由频数分布表和频率分布直方图可知，解得.频率分布直方图中年龄在内的人数为人，对应的为，所以补全的频率分布直方图如下图所示：（2）由频数分布表知，在抽取的人中，年龄在内的市民的人数为，记为，年龄在内的市民的人数为，分别记为、、、.从这人中任取人的所有基本事件为：、、、、、、、、、，共个基本事件.记“恰有人的年龄在内”为事件，则所包含的基本事件有个：、、、，所以这人中恰有人的年龄在内的概率为.【题目点拨】本题考查频率分布直方图和频率分布表的应用，同时也考查了古典概型概率公式计算概率，在列举基本事件时要遵循不重不漏的基本原则，常用的是列举法，也可以利用树状图来辅助理解，考查运算求解能力，属于中等题.18、（1）（2）的最大值为.【解题分析】

（1）利用周长，可以求出的长，利用平面几何的知识可得，再利用勾股定理，可以求出的值，由矩形的周长为，可求出的取值范围，最后利用三角形面积公式求出的解析式；（2）化简（1）的解析式，利用基本不等式，可以求出的最大值．【题目详解】（1）如下图所示：∵设，则，又，即，∴，得，∵，∴，∴的面积．（2）由（1）可得，，当且仅当，即时取等号，∴的最大值为，此时．【题目点拨】本题考查了求函数解析式，考查了基本不等式，考查了数学运算能力.19、（1）；（2）.【解题分析】

（1）设出通项公式，利用待定系数法即得结果；（2）先求出通项，利用错位相减法可以得到前项和.【题目详解】（1）因为，，所以，解得故的通项公式为.（2）由（1）可得，则，①，②①-②得故.【题目点拨】本题主要考查等比数列的通项公式，错位相减法求和，意在考查学生的分析能力及计算能力，难度中等.20、（1）；（1），1.【解题分析】

（1）由题得，再求出x的值；（1）先化简得到，再利用三角函数的性质求函数的最大值及此时x的值.【题目详解】（1）令，则，因为，所以．（1），当，即时，的最大值为1．【题目点拨】本题主要考查解简单的三角方程，考查三角函数的最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.21、（1）见解析；（2）见解析【解题分析