2024届天津市宝坻区普通高中高一数学第二学期期末学业质量监测试题含解析

2024届天津市宝坻区普通高中高一数学第二学期期末学业质量监测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知向量、的夹角为，，，则（）A． B． C． D．2．若在是减函数，则的最大值是A． B． C． D．3．某数学竞赛小组有3名男同学和2名女同学，现从这5名同学中随机选出2人参加数学竞赛（每人被选到的可能性相同）.则选出的2人中恰有1名男同学和1名女同学的概率为（）A． B． C． D．4．设函数,，其中,.若，且的最小正周期大于，则（）A．, B．,C．, D．,5．设的三个内角成等差数列，其外接圆半径为2，且有，则三角形的面积为（）A． B． C．或 D．或6．若,,则的终边所在的象限为()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限7．在△ABC中，三个顶点分别为A（2，4），B（﹣1，2），C（1，0），点P（x，y）在△ABC的内部及其边界上运动，则y﹣x的最小值是（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．38．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a﹣b＝ccosB﹣ccosA，则△ABC的形状为（）A．等腰三角形 B．等边三角形C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形9．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则角=（）A． B． C． D．10．设，则下列不等式中正确的是()A． B．C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．函数的反函数为__________.12．用数学归纳法证明时，从“到”，左边需增乘的代数式是___________.13．已知，则______.14．记Sn为等比数列{an}的前n项和．若，则S5=____________．15．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体的所有棱长和为_______.16．如图是一个三角形数表，记，，…，分别表示第行从左向右数的第1个数，第2个数，…，第个数，则当，时，______.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知数列的前项和为，.（1）求数列的通项公式;（2）设，求数列的前项和.18．在等差数列中，为其前项和()，且，.（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项为，证明：19．已知都是第二象限的角，求的值。20．在中，角，，所对的边分别是，，，且.（1）求角；（2）若，求.21．如图，在四棱锥中，，，，，，，分别为棱，的中点.（1）证明：平面.（2）证明：平面平面.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解题分析】

利用平面向量数量积和定义计算出，可得出结果.【题目详解】向量、的夹角为，，，则．故选：B．【题目点拨】本题考查利用平面向量的数量积来计算平面向量的模，在计算时，一般将模进行平方，利用平面向量数量积的定义和运算律进行计算，考查计算能力，属于中等题.2、A【解题分析】

分析：先确定三角函数单调减区间，再根据集合包含关系确定的最大值.详解：因为，所以由得因此，从而的最大值为，选A.点睛：函数的性质：(1).(2)周期(3)由求对称轴，(4)由求增区间；由求减区间.3、A【解题分析】

把5名学生编号，然后写出任取2人的所有可能，按要求计数后可得概率．【题目详解】3名男生编号为，两名女生编号为，任选2人的所有情形为：，，共10种，其中恰有1名男生1名女生的有共6种，所以所求概率为．【题目点拨】本题考查古典概型，方法是列举法．4、B【解题分析】

根据周期以及最值点和平衡位置点先分析的值，然后带入最值点计算的值.【题目详解】因为，，所以，则，所以，即，故；则，代入可得：且，所以.故选B.【题目点拨】（1）三角函数图象上，最值点和平衡位置的点之间相差奇数个四分之一周期的长度；（2）计算的值时，注意选用最值点或者非特殊位置点，不要选用平衡位置点（容易多解）.5、C【解题分析】

的三个内角成等差数列，可得角A、C的关系，将已知条件中角C消去，利用三角函数和差角公式展开即可求出角A的值，再由三角形面积公式即可求得三角形面积.【题目详解】的三个内角成等差数列，则，解得，所以，所以，整理得，则或，因为，解得或.①当时，；②当时，，故选C.【题目点拨】本题考查了三角形内角和定理、等差数列性质、三角函数和差角公式、三角函数辅助角公式，综合性较强，属于中档题；解题中主要是通过消元构造关于角A的三角方程，其中利用三角函数和差角公式和辅助角公式对式子进行化解是解题的关键.6、B【解题分析】由一全正二正弦三正切四余弦可得的终边所在的象限为第二象限，故选B.考点：三角函数7、B【解题分析】

根据线性规划的知识求解．【题目详解】根据线性规划知识，的最小值一定在的三顶点中的某一个处取得，分别代入的坐标可得的最小值是．故选B．【题目点拨】本题考查简单的线性规划问题，属于基础题．8、D【解题分析】

用正弦定理化边为角，再由诱导公式和两角和的正弦公式化简变形可得．【题目详解】∵a﹣b＝ccosB﹣ccosA，∴，∴,∴，∴或，∴或，故选：D.【题目点拨】本题考查正弦定理，考查三角形形状的判断．解题关键是诱导公式的应用．9、A【解题分析】

由正弦定理可解得，利用大边对大角可得范围，从而解得A的值．【题目详解】，由正弦定理可得：，，由大边对大角可得：，解得：．故选A．【题目点拨】本题主要考查了正弦定理，大边对大角，正弦函数的图象和性质等知识的应用，解题时要注意分析角的范围．10、B【解题分析】

取，则，，只有B符合．故选B．考点：基本不等式．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】

由得，即，把与互换即可得出【题目详解】由得所以把与互换，可得故答案为：【题目点拨】本题考查的是反函数的求法，较简单.12、.【解题分析】

从到时左边需增乘的代数式是，化简即可得出．【题目详解】假设时命题成立，则，当时，从到时左边需增乘的代数式是．故答案为：.【题目点拨】本题考查数学归纳法的应用，考查推理能力与计算能力，属于中档题．13、【解题分析】

利用同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得.【题目详解】解：，故答案为：【题目点拨】本题考查同角三角函数的基本关系，齐次式的计算，属于基础题.14、.【解题分析】

本题根据已知条件，列出关于等比数列公比的方程，应用等比数列的求和公式，计算得到．题目的难度不大，注重了基础知识、基本计算能力的考查．【题目详解】设等比数列的公比为，由已知，所以又，所以所以．【题目点拨】准确计算，是解答此类问题的基本要求．本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式分式计算，部分考生易出现运算错误．15、【解题分析】

取半正多面体的截面正八边形，设半正多面体的棱长为，过分别作于，于，可知，，可求出半正多面体的棱长及所有棱长和.【题目详解】取半正多面体的截面正八边形，由正方体的棱长为1，可知，易知，设半正多面体的棱长为，过分别作于，于，则，，解得，故该半正多面体的所有棱长和为.【题目点拨】本题考查了空间几何体的结构，考查了空间想象能力与计算求解能力，属于中档题.16、【解题分析】

由图表，利用归纳法，得出，再利用叠加法，即可求解数列的通项公式.【题目详解】由图表，可得，，，，，可归纳为，利用叠加法可得：，故答案为.【题目点拨】本题主要考查了归纳推理的应用，以及数列的叠加法的应用，其中解答中根据图表，利用归纳法，求得数列的递推关系式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解题分析】

（1）由递推公式，再递推一步，得，两式相减化简得，可以判断数列是等差数列，进而可以求出等差数列的通项公式;（2）根据（1）和对数的运算性质，用裂项相消法可以求出数列的前项和.【题目详解】解：（1）由知所以，即，从而所以，数列是以2为公比的等比数列又可得，综上所述，故.（2）由（1）可知，故，综上所述，所以，故而所以.【题目点拨】本题考查了已知递推公式求数列通项公式问题，考查了等差数列的判断以及等差数列的通项公式，考查了用裂项相消法求数列前项和问题，考查了数学运算能力.18、（1）；（2）见解析【解题分析】

（1）运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程组，可得首项和公差，即可得到所求通项；（2）化简，再利用裂项相消求数列的和，化简整理，即可证得．【题目详解】（1）设等差数列的公差是，由，，得解得，，∴.（2）由（1）知，，∴，，因为，则成立.【题目点拨】本题考查等差数列的通项公式的求法，也考查了裂项相消求和求数列的和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．19、；【解题分析】

根据所处象限可确定的符号，利用同角三角函数关系可求得的值；代入两角和差正弦和余弦公式可求得结果.【题目详解】都是第二象限的角，，【题目点拨】本题考查利用两角和差正弦和余弦公式求值的问题；关键是能够根据角所处的范围和同角三角函数关系求得三角函数值.20、（1）；（2）.【解题分析】

（1）利用正弦定理化简即得；（2）由正弦定理得，再结合余弦定理可得.【题目详解】解：（1）由正弦定理得：，又，，得.（2）由正弦定理得：，又由余弦定理：，代入，可得.【题目点拨】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.21、（1）见解析（2）见解析【解题分析】

（1）由勾股定理得，已知，故得证；（2