4.2.1 等差数列的概念(八大题型)(原卷版)_第1页
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文档简介

4.2.1等差数列的概念【题型归纳目录】题型一:等差数列的判断题型二:等差数列的通项公式及其应用题型三:等差数列的证明题型四:等差中项及应用题型五:等差数列的实际应用题型六:的应用题型七:等差数列性质的应用题型八:等差数列中对称设项法的应用【知识点梳理】知识点一、等差数列的定义文字语言形式一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母表示.知识点诠释:⑴公差一定是由后项减前项所得,而不能用前项减后项来求;⑵共同特征:从第二项起,每一项与它前面一项的差等于同一个常数(即公差);符号语言形式对于数列,若(,,为常数)或(,为常数),则此数列是等差数列,其中常数叫做等差数列的公差.知识点诠释:定义中要求“同一个常数”,必须与无关.等差中项如果,,成等差数列,那么叫做与的等差中项,即.知识点诠释:①两个数的等差中项就是两个数的算术平均数.任意两实数,的等差中项存在且唯一.②三个数,,成等差数列的充要条件是.知识点二、等差数列的通项公式等差数列的通项公式首相为,公差为的等差数列的通项公式为:,推导过程:(1)归纳法:根据等差数列定义可得:,所以,,,……当n=1时,上式也成立所以归纳得出等差数列的通项公式为:().(2)叠加法:根据等差数列定义,有:,,,…把这个等式的左边与右边分别相加(叠加),并化简得,所以.(3)迭代法:所以.知识点诠释:①通项公式由首项和公差完全确定,一旦一个等差数列的首项和公差确定,该等差数列就唯一确定了.②通项公式中共涉及、、、四个量,已知其中任意三个量,通过解方程,便可求出第四个量.等差数列通项公式的推广已知等差数列中,第项为,公差为,则.证明:因为,所以所以由上可知,等差数列的通项公式可以用数列中的任一项与公差来表示,公式.可以看成是时的特殊情况.知识点三、等差数列的性质等差数列中,公差为,则①若,且,则,特别地,当时.②下标成公差为的等差数列的项,,,…组成的新数列仍为等差数列,公差为.③若数列也为等差数列,则,,(k,b为非零常数)也是等差数列.④仍是等差数列.⑤数列(为非零常数)也是等差数列.【方法技巧与总结】等差数列中对称设项法的应用1、某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和,可设这两个数为:,,公差为;2、三个数成等差数列且知其和,常设此三数为:,,,公差为;3、四个数成等差数列且知其和,常设成,,,,公差为.【典型例题】题型一:等差数列的判断例1.(2023·高二课时练习)已知数列是等差数列,下面的数列中必为等差数列的个数是(

)①

④A.1 B.2 C.3 D.4例2.(2023·湖北孝感·高二校联考期末)设是数列的前项积,则“”是“是等差数列”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件例3.(2023·重庆·高二统考学业考试)下列数列中等差数列的是(

)A. B. C.变式1.(2023·广东惠州·高二统考期末)在数列中,若(为常数),则称为“等方差数列”,下列是对“等方差数列”的判断:①若是等方差数列,则是等差数列;②不是等方差数列;③若是等方差数列,则(为常数)也是等方差数列;④若既是等方差数列,又是等差数列,则该数列为常数列.其中正确命题序号为(

)A.①③④ B.②③④ C.①③ D.①④变式2.(2023·高二课时练习)给出下列四个命题:①公比的等比数列是严格递增数列;②数列可以看作是一个定义在正整数集上的函数;③在平面直角坐标系中,表示数列的图象是一些离散的点;④数列是等差数列.其中正确命题的个数为(

)A.1个 B.2个 C.3个 D.4个变式3.(2023·陕西咸阳·高二统考期中)若数列为等差数列,则下列说法中错误的是(

)A.数列,,,…,…为等差数列B.数列,,,…,,…为等差数列C.数列为等差数列D.数列为等差数列【方法技巧与总结】对于数列,若(,,为常数)或(,为常数),则此数列是等差数列,其中常数叫做等差数列的公差.题型二:等差数列的通项公式及其应用例4.(2023·甘肃酒泉·高二敦煌中学校联考期中)已知等差数列中,,则公差(

)A.4 B.3 C. D.例5.(2023·全国·高二随堂练习)已知数列前n项和为.(1)试写出数列的前5项;(2)数列是等差数列吗?(3)你能写出数列的通项公式吗?例6.(2023·全国·高二随堂练习)(1)求等差数列8,5,2,…的第20项;(2)是否为等差数列,,,…的项?如果是,是该数列的第几项?如果不是,说明理由.变式4.(2023·高二课时练习)已知等差数列8,5,2,….(1)求该数列的第20项.(2)试问是不是该等差数列的项?如果是,指明是第几项;如果不是,试说明理由.(3)该数列共有多少项位于区间内?变式5.(2023·全国·高二专题练习)已知数列的前项和为,且,.求数列的通项公式.变式6.(2023·高二课时练习)等差数列中,(1)已知,,求首项与公差;(2)已知,,求通项.变式7.(2023·全国·高二课堂例题)已知等差数列10,7,4,….(1)求这个数列的第10项;(2)是不是这个数列中的项?呢?如果是,求出是第几项;如果不是,说明理由.变式8.(2023·高二课时练习)等差数列中,,公差为整数,若,.(1)求公差的值;(2)求通项.变式9.(2023·河北邢台·高二校联考阶段练习)在等差数列中,若,则公差(

)A.2 B.4 C.3 D.5变式10.(2023·福建龙岩·高二校考阶段练习)已知等差数列中,,,则首项与公差分别为(

)A. B. C. D.【方法技巧与总结】等差数列通项公式的求法与应用技巧(1)等差数列的通项公式可由首项与公差确定,所以要求等差数列的通项公式,只需求出首项与公差即可.(2)等差数列的通项公式中共含有四个参数,即,,,,如果知道了其中的任意三个数,那么就可以由通项公式求出第四个数,这一求未知量的过程,我们通常称之为“知三求一”.(3)通项公式可变形为,可把看作自变量为的一次函数.题型三:等差数列的证明例7.(2023·全国·高二课堂例题)已知数列中,在时恒成立,求证:是等差数列.例8.(2023·全国·高二专题练习)在数列中4,,.求证:数列{}是等差数列;例9.(2023·高二课时练习)已知,若,且(为正整数).(1)写出数列的前5项;(2)证明是等差数列,并求.变式11.(2023·甘肃张掖·高二高台县第一中学校考阶段练习)已知数列满足,且,.(1)设,证明:数列为等差数列;(2)求数列的通项公式.变式12.(2023·高二课时练习)数列满足,,设.(1)数列是等差数列吗?试证明;(2)求数列的通项公式.变式13.(2023·江苏扬州·高二校考阶段练习)已知数列满足,且.(1)求;(2)证明:数列是等差数列.变式14.(2023·海南·高三海南中学校考阶段练习)已知数列满足:,且.(1)求证:是等差数列,并求的通项公式;(2)是否存在正整数m,使得,若存在,求出m的值;若不存在,说明理由.变式15.(2023·河南郑州·高二校考阶段练习)已知数列{}满足.(1)求证:数列是等差数列;(2)求数列{}的通项公式.【方法技巧与总结】证明等差数列的方法(1)定义法或数列是等差数列.(2)等差中项法数列为等差数列.(3)通项公式法数列{an}的通项公式形如(,为常数)数列为等差数列.题型四:等差中项及应用例10.(2023·陕西渭南·高二统考期末)在等差数列中,已知,则.例11.(2023·高二课时练习)与的等差中项是.例12.(2023·甘肃白银·高二校考期中)已知等差数列满足,则.变式16.(2023·山西大同·高二山西省浑源中学校考期末)有穷等差数列的各项均为正数,若,则的最小值是.变式17.(2023·西藏日喀则·高二统考期末)在等差数列中,若,则.变式18.(2023·上海闵行·高二上海市七宝中学校考期中)已知数列满足,且,,则.【方法技巧与总结】若a,A,b成等差数列,则;反之,由也可得到a,A,b成等差数列,所以A是a,b的等差中项.题型五:等差数列的实际应用例13.(2023·陕西汉中·高二校联考期中)《周髀算经》中有这样一个问题:冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满,芒种这十二个节气,自冬至日起,其日影长依次成等差数列,若立春当日日影长为尺,立夏当日日影长为尺,则春分当日日影长为(

)A.尺 B.5尺 C.尺 D.尺例14.(2023·四川绵阳·统考三模)在2022年北京冬奥会开幕式上,二十四节气倒计时惊艳亮相,与节气相配的14句古诗词,将中国人独有的浪漫传达给了全世界.我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中记载:一年有二十四个节气,每个节气的晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器,晷长即为所测量影子的长度),二十四节气及晷长变化如图所示,相邻两个节气晷长减少或增加的量相同,周而复始.已知雨水的晷长为尺,立冬的晷长为尺,则冬至所对的晷长为(

)A.尺 B.尺 C.尺 D.尺例15.(2023·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习)天干地支纪年法源于中国,中国自古便有十天干与十二地支,十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸;十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配,排列起来,天干在前,地支在后,天干由“甲”起,地支由“子”"起,例如,第一年为“甲子”,第二年为“乙丑”,第三年为“丙寅”,以此类推,排列到“癸西”后,天干回到“甲”重新开始,即“甲戌”,“乙亥”,然后地支回到“子”重新开始,即“丙子”,以此类推.今年是辛丑年,也是重庆一中建校90周年,则重庆一中建校的那一年是(

)A.壬酉年 B.壬戊年 C.辛酉年 D.辛未年变式19.(2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第一中学校校考三模)习近平总书记提出:乡村振兴,人才是关键.要积极培养本土人才,鼓励外出能人返乡创业.为鼓励返乡创业,黑龙江对青山镇镇政府决定投入创业资金和开展“创业技术培训”帮扶返乡创业人员.预计该镇政府每年投入的创业资金构成一个等差数列(单位万元,),每年开展“创业技术培训”投入的资金为第一年创业资金的倍,已知.则预计该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为(

)A.72万元 B.96万元 C.120万元 D.144万元变式20.(2023·江苏苏州·高二统考期末)单分数(分子为1,分母为正整数的分数)的广泛使用成为埃及数学重要而有趣的特色,埃及人将所有的真分数都表示为一些单分数的和.例如,,……,现已知可以表示成4个单分数的和,记,其中,,是以101为首项的等差数列,则的值为(

)A.505 B.404 C.303 D.202变式21.(2023·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习)“孙子定理”是中国古代求解整除问题的方法,是数论中一个重要定理,又称“中国剩余定理”.现有如下一个整除问题:将1至2021这2021个数中,能被3除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列,构成数列,则此数列共有(

)A.133项 B.134项 C.135项 D.136项【方法技巧与总结】(1)解决实际应用问题,首先要认真领会题意,根据题目条件,寻找有用的信息.若一组数按次序“定量”增加或减少时,则这组数成等差数列.合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键,在解题过程中,一定要分清首项、项数等关键的问题.(2)能在具体的问题情境中,识别数列的等差关系,抽象出数列的模型,并能用有关知识解决相应的问题,是数学建模的核心素养的体现.题型六:的应用例16.(2023·全国·高二单元测试)(1)在等差数列中,已知,,求首项与公差d;(2)已知数列为等差数列,,,求.例17.(2023·全国·高三专题练习)在等差数列中,已知求及.例18.(2023·全国·高二课时练习)已知数列为等差数列,且公差为.(1)若,,求的值;(2)若,,求公差.变式22.(2023·全国·高二课时练习)在等差数列中:(1)已知,求首项与公差d;(2)已知,求.【方法技巧与总结】灵活利用等差数列的性质,可以减少运算.令,即变为,可以减少记忆负担.题型七:等差数列性质的应用例19.(2023·安徽马鞍山·高二统考期中)等差数列中,若,则的值为(

)A.36 B.24 C.18 D.9例20.(2023·西藏拉萨·高二校考期中)已知是等差数列,,则等于(

)A.48 B.40 C.60 D.72例21.(2023·甘肃嘉峪关·高二统考期末)若方程的四个根组成一个首项为的等差数列,则(

)A.1 B.C. D.变式23.(2023·北京·高三校考阶段练习)已知等差数列单调递增且满足,则的取值范围是(

)A. B. C. D.变式24.(2023·广东广州·统考二模)首项为﹣21的等差数列从第8项起开始为正数,则公差d的取值范围是(

)A.d>3 B.d C.3≤d D.3<d变式25.(2023·上海虹口·高二校考期末)已知函数是定义在上的严格增函数且为奇函数,数列是等差数列,,则的值(

)A.恒为正数 B.恒为负数 C.恒为 D.可正可负变式26.(2023·辽宁·高三校考阶段练习)已知数列为等差数列,且,则(

)A. B. C. D.变式27.(2023·高二课时练习)设为正项等差数列的公差,若,,则下列结论错误的是(

).A. B. C. D.【方法技巧与总结】等差数列运算的两种常用思路(1)基本量法:根据已知条件,列出关于,的方程(组),确定,,然后求其他量.(2)巧用性质法:观察等差数列中项的序号,若,且,则.题型八:等差数列中对称设项法的应用例22.(2023·全国·高二单元测试)(1)三个数成等差数列,其和为,前两项之积为后一项的倍,求这三个数.(2)四个数成递增等差数列,中间两数的和为,首末两项的积为,求这四个数.例23.(2023·全国·高二专题练习)已知四个数成等差数列,中间两项之和为2,首末两项之积为,求这四个数.例24.(2023·宁夏·平罗中学高二阶段练习)四个数成递增等差数列,四个数之和等于,中间两个数之积为,求这四个数.变式28.(2023·全国·高二课时练习)(1)已知四个数成等差数列且是递增数列,这四个数的平方和为94,首尾两数之积比中间两数之积少18,求此等差数列;(2)已知等差数列是递增数列,且其前三项之和为21,前三项之积为231,求数列的通项公式.【方法技巧与总结】等差数列中对称设项法的应用1、某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和,可设这两个数为:,,公差为;2、三个数成等差数列且知其和,常设此三数为:,,,公差为;3、四个数成等差数列且知其和,常设成,,,,公差为.【过关测试】一、单选题1.(2023·河北邢台·高二校联考阶段练习)在等差数列中,若,则(

)A.12 B.18 C.6 D.92.(2023·福建莆田·高二莆田第二十五中学校考期中)在等差数列中,,,则(

)A.39 B.76 C.78 D.1173.(2023·重庆荣昌·高二重庆市荣昌中学校校考阶段练习)已知等差数列中,,,则(

)A.0 B.2 C.4 D.64.(2023·甘肃天水·高二天水市第一中学校考阶段练习)已知数列满足,则(

)A.9 B. C.11 D.5.(2023·甘肃嘉峪关·高二统考期末)若方程的四个根组成一个首项为的等差数列,则(

)A.1 B.C. D.6.(2023·河北保定·高三河北易县中学校考阶段练习)现有一张正方形剪纸,沿只过其一个顶点的一条直线将其剪开,得到2张纸片,再从中任选一张,沿只过其一个顶点的一条直线剪开,得到3张纸片,……,以此类推,每次从纸片中任选一张,沿只过其一个顶点的一条直线剪开,若经过10次剪纸后,得到的所有多边形纸片的边数总和为(

)A.33 B.34 C.36 D.377.(2023·河北衡水·高二衡水市第二中学校考期中)在数列中,,,则(

)A. B. C. D.8.(2023·河南周口·高二校联考阶段练习)已知数列的通项公式分别为,将各项并在一起,相等的项即为一项,从小到大排列成一个新的数列,则(

)A.14155 B.6073 C.4047 D.4045二、多选题9.(2023·高二课时练习)已知等差数列的公差,则下列四个命题中真命题为(

)A.数列是递增数列 B.数列是递增数列C.数列是递增数列 D.数列是递增数列10.(2023·湖南岳阳·高二统考期末)已知各项均为正数的等差数列

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