山西省太原市高中数学竞赛解题策略-几何分册第19章-平行线分线段成比例定理

第19章平行线分线段成比例定理定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．反之亦真．上述定理中的对应线段是指一条直线被三条平行直线截得的线段与另一条直线被这三条平行直线截得的线段对应，对应线段成比例是指同一直线上两条线段的比〔局部与局部之比或局部与整体之比〕等于另一条直线上与它们对应的线段的比．沈文选．平行线分线段成比例定理及应用[J]．中等数学，2023(5)：2—6．定理中的两条直线可以是平行的，也可以是相交的．假设是相交的，且交点在三条平行线中的一条上时，那么有如下推论：推论1平行于三角形一边的直线截其他两边〔或两边的延长线〕，所得的对应线段成比例，反之亦真．假设称经过一点的假设干直线为一直线束，那么由推论1，有如下推论：推论2一直线束截两条平行线，所得的对应线段成比例．此时，成比例的线段在乎行的直线上，与推论1中成比例的线段在非平行的直线上要区别清楚．推论3假设一直线束中的直线、、上的点、、、、、满足，，那么．上述定理及推论在术解某些含有平行线条件〔或隐含有平行线条件〕的问题时是很方便的．下面从两方面列举一些例子以说明之．1．充分利用题设条件中的平行线条件例1〔2007年全国初中联赛题〕如图19-1，四边形是梯形，点是上底边上一点，的延长线与的延长线交于点．过点作的平行线交的延长线于点，与交于点．证明：．证明设与交于点，那么由推论1，注意到，有． ①注意到，有． ②由①②得．于是由推论1的逆定理知．延长、交于点，那么，．从而．例2设凸四边形的对角线、的交点为，过点作的平行线分别交、于点、，交的延长线于点，是以为圆心，以为半径的圆上一点如图19-2所示．求证：．证明如图19-2，延长、交于点，那么由推论2，注意到，有．注意到，有．于是，即．亦即．从而．故．例3如图19-3，梯形中，对角线和腰相等，是底的中点，是腰的延长线上的点，交于．求证：．证明设交于，延长交于，延长、交于点，那么由推论2．注意到，有．注意到，有．于是．而，那么．又由题设，有．从而，故．例4〔2005年全国初中联赛B卷题〕在锐角中，，、分别是边、上的高，与的延长线交于点，过点作的垂线交于点，过点作的垂线交于点．证明：、、三点共线．证明设与交于点，联结并延长交于，延长交于，延长交于，那么．由于平行线、截线束、、，平行线、截线束、、有，得．又由平行线、截线束、，有．从而．〔*〕联结、，由及(*)式得、重合，从而、、三点共线．注：由上述证法可知例4可推广为更一般性问题．在中，与相交于点，过、分别作与平行的线交于，交于，假设直线与直线交于点，那么、、三点共线．假设，那么．例5〔2005年全国初中联赛E卷题〕如图19-5，在中，，是内心，是的中点，是上的一点，且，是上的一点．假设四边形为平行四边形．求证：为直角三角形．证明令，，，延长两端分别交、于、，联结，由平分知．同理．设的内切圆分别切、、于点、、，联结，那么．记，，那么，，．且 ．由，有 ．于是， ，．从而 ，即 ，亦即 ．由此知为平行四边形，注意到，知．故为直角三角形．2．开掘题设条件中隐含的平行线条件，或作平行线辅助线例6如图19-6，在四边形中，、分别是边、的中点，为对角线是长线上的任意一点，交于点，交于点，交于点．求证：是线段的中点．证明在上取点，使，联结、．取中点，联结，，那么由推论1之逆，知，．此时，由推论3知．亦即，而为的中点，故为的中点．例7设凸四边形的两组对边与的延长线，与的延长线分别交于点、，求证：线段、、的中点、、三点共线．让明如图19-7分别取、、的中点、、，于是，在中，、、三点共线；在中，、、三点共线；在中，、、三点共线，此时，由，，，有，，．对及截线应用梅涅劳斯定理，有．于是．再对应用梅涅劳斯定理的逆定理，知、、三点共线．注：此共点线称力牛顿线，此例的结论为完全四边形的三条对角线的中点共线．例8如图19-8，设、为的直径．过作垂直于，并与延长线相交于点，过作直线与分别交于、两点，联结、分别与交于、两点．求证：．证明过点作交于，交于，过作于．由、、、四点共圆，联结，那么．于是，有、、、四点共圆．联结、，从而．此时，有．从而．又由，那么知．例9〔2004年全国初中联赛A卷题〕如图19-9，梯形中，，分别以两腰、为边向两边作正方形和正方形．设线段的垂直平分线交线段于点，于点，于点．求证：．证明设的中点为，过作交于，作交于，作交于，作交于，那么由，知，．由于，那么． (*)此时，亦有．延长至，那么〔为直线与的交点〕于是．从而．同理，由，有，从而．注意到(*)式知．注：由上述证明可推知点为的中点，且有，这即为2004年联赛B、C卷题结论．例10设凸四边形的两组对边与的延长线，与的延长线分别交于点、．直线交于，交于．求证：．证明如图19-10(1)，假设，那么，即证．假设，如图19-10(2)，设直线与直线交于点，联．过点作直线，交于，交于，交于，交于，那么分别在、、中，有 ，，，那么 ，从而 ．又过点作交的延长线于，交于，那么 ，即 ．于是， ．注：比例的结论为完全四边形的对角线被另两条对角线、调和分割，其中证明即为1984年扬州市初中数学竞赛题．练习十九1．的面积为120，且，是斜边上的中线，过点作于点，联交于点，求的面积．2．、分别是的边、上的点，且，，，．联结、，它们相交于点，过点分别作，，它们分别与边交于点，．求的面积与的面积之比．3．在中，，分别是和边上的点，中线与交于．假设，，求．4．设是的斜边上的高，是的中点，联结并延长交于．，求．5．、为的边上的两点，且满足，一条平行于的直线分别交、和的延长线于点、和．求证：．6．设为外一点，过点作的两条切线，切点