高中数学必修二第八章第4节《空间点、直线、平面之间的位置关系》解答题 (十四)(含解析)

第八章第4节《空间点、直线、平面之间的位置关系》解答题(14)

1.如图所示的三棱柱4BC-aBiCi，请用两个平面把它分成三部

分，并使每一部分都是三棱锥.

2.已知正方体ABCD-&B1GD1中，E,尸分别为DiG，C/i的中点,ACnBD=P,41clClEF=Q.

(1)求证：D,B,F,E四点共面.

(2)求证：若&C交平面O8FE于R点，则P,Q,R三点共线.

3.已知在空间几何体ABCDE中，AABC.ABCD.ZECD都是边长为2的正三角形，平面CDE_L平

面BCD,平面4BC平面BCD.

D'B

(1)/1,E、B、。四点是否共面？说明理由；

(2)求二面角B-4E—C的平面角的余弦值.

4.边长为2的正方体48以(一月1816。1中，M、N、Q、P分别是A8、BC、

CC1、CW1的中点.

(1)证明：M、N、Q、尸四点共面；

(2)作出平面MNQP截正方体表面的截面(不需要证明)，并求截面面积；

(3)求由点加、P、B、当、G、C所围成的多面体的体积.

5.如图，四边形ABC。是平行四边形，点E,F,G分别为线段BC,PB,AO的中点.

(1)证明E/V/平面PAC.

(2)若4ECi8D=N,PGC8D=M证明：FN//PM

6.如图，在四棱锥P—ABC。中，已知PA1平面ABCD,AB//CD,AB1BC,CD=2AB=4,BC=

2V2.

p

(1)求证：PCLBD;

(2)若直线AB与平面尸8D所成的角为也求PA的长.

7.如下图，E、尸为三棱锥P-ABC棱PA、PC的中点.

(1)求证：EF〃平面ABC；

(2)若PZ=PC=AC=2,PB=AB=BC=五,求三棱锥P-ABC的表面积.

8.如图,在三棱柱力BC-A/iG中,E、F、G、H分别是48,4&4/1，4停1、的中点.

(1)求证:四点共面;

(2)求证：平面EFA\jI平面BCHG；

(3)若分别为B[Ci，BC的中点，求证：平面小3。1〃平面AC1。.

9.己知(1。(2=力，l2C\l3=B,hCb=C,如图所示.求证：直

线%,%，，3在同一平面内.

10.如图，已知四棱锥P-4BCC中，AB//DC,ADLAB,CD=2AB,E,F分别为PC,P£>的中

点.

(1)证明：点A在平面8EF内；

(2)若平面PADJL平面ABCD,△PAD为等边三角形，且4。=48,求平面8E尸和平面8c。所

成锐二面角的大小.

11.如图所示，A8为圆锥S-4BC底面圆的直径，点C为底面半圆弧AB上不与A,8重合的一点,

设点。为劣弧BC的中点.

s

(1)求证：BC1SD-,

(2)设4B=2,且圆锥的高为亨，当NB4C=60。时，求点A到平面S8C的距离.

12.如图,正方体4BC。一A'B'C'D'中,P,Q,R分别在棱AB,BB',CC'

上，且OP,RQ相交于点0,求证：DP,RQ,3c三线共点.

13.如图，直角梯形ABDC中，AB//CD,AB>CD,S是直角梯形ABAC所

在平面外一点，画出平面SB。和平面SAC的交线，并说明理由.

14.如图，在正方体4BCD-&B1GD1中，哪些棱所在的直线与直线

是异面直线•

B

15.如图所示，用符号分别表示下列图形①②中点、直线、平面之间的位置关系.

图①图②

16.如图,空间四边形ABC。中，E,G,，分别是A8,BC,CD,AD上异于端点的点.

A

C

图1

(1)如图1,若E〃与FG相交于点K,求证：EH,BD,FG三条直线相交于同一点;

(2)如图2,若EH〃FG,求证：EH,BD,FG三条直线互相平行.

17.如图，在四棱锥P-48CD中，平面PBD_L平面ABCD,AB//DC,AB=2CD=4，AD=BC=V10,

AP=2V3.PB=2.

p

c

B

(1)证明：PBJ.71C；

(2)求BD与平面PBC所成角的正弦值.

18.如图，正方体的棱长为1,点F在棱CQ上，过B,01(尸三点的正方体的截

面a与直线441交于点E.

(1)找到点E的位置，作出截面a(保留作图痕迹)，并说明理由;

(2)已知CF=a,求a将正方体分割所成的上半部分的体积匕与下半部分的体积外之比.

19.如图，四棱锥S—48C。的底面是正方形，SDABCD,SD=2a,4D=&a,点E是S£>

上的点，且DE=4a(0<4S2).

(1)求证：对任意的；le(0,2],都有AC1BE.

(2)设二面角C—4E—0的大小为0,直线BE与平面A8C。所成的角为w，若tan。•tanp=1,

求；I的值。

20.如图，在三棱锥P-4BC中，PAIAB,PA1BC,AB_LBC,PA=AB=BC=2,。为线段

AC的中点，E为线段PC上一点.

(1)求证：PA±BD;

(2)求证：平面BDE_L平面PAC；

(3)当P4〃平面8DE时，求三棱锥E-BCD的体积.

【答案与解析】

1.答案：解：如图，用过B,Ci点的平面先把三棱柱分成两部分,

其中上面的部分为三棱锥B-

剩下的部分用过B,C三点的平面再分成两部分，

则下面的部分为三棱锥&一4BC,剩下的部分为三棱锥儿-BCG

（答案不唯一）

|\

解析：本题考查棱柱和棱锥的几何特征，属于基础题.

根据棱台和棱锥的几何特征，过4、B、C三点作一个平面，再过久、B、Q作一个平面，就把三棱

台力8C—占B1G分成三部分，每一部分都是一个三棱锥.

2.答案：证明：（1）：E、尸分别为G5,BiG的中点，

••.E/是△&GD1的中位线，

•••ABCD-AiBiCiA是正方体，

・•・BB1//DD1>BBi=DD],

•••BBi。]。是平行四边形，

ADB“D[B\,又：EF//D、Bi，

EF//DB,

：.D、B、F、E共面.

(2)•••ACCiBD=P,41clnEF=Q,

PQ是平面441CiC和平面DBFE的交线，

•：AC交平面DBFE于R点,41c在平面力AiGC内，

R是平面441cle和平面O8FE的一个公共点，

•••两相交平面的所有公共点都在这两平面的交线上，

••.P、。、R三点共线.

解析：本题考查四点共面的证明，考查三点共线的证明，是中档题，解题时要注意空间思维能力的

培养.

(1)由已知得E/7/D/i，BB\〃DD［、BBLDDi，从而⑶口山山是平行四边形，从而EF〃DB,由此

能证明。、B、F、E共面；

(2)由已知得PQ是平面441GC和平面O8FE的交线，R是平面44GC和平面O8FE的一个公共点，

由此能证明P、Q、R三点共线.

3.答案：解：(1)4E、B、。四点共面，证明如下：

取CD、BC的中点M、N,连接EM、AN,MN,则MN〃BD,EM=AN=遍；

EM1平面BCD,同理可得：AN1平面BCD

•••EM//AN,且EM=AN=取，：.四边形AEMN是平行四边形•••AE//MN

•：BD//MN：.AE//BD

.-.A,£1,B、。四点共面.

(2)取CO的中点M,连接EM、BM,由题可知MB、MC、ME两两垂直,

分别以MB、MC、ME为x、y,z轴建立空间直角坐标系，

那么8(百,0,0),C(0,l,0),F(0,0,V3),4弓4,魂)，

设平面ABE的法向量为记=(x,y,z),

则［沆•，4"+《=。,取沅=(1,_但1)

m•EB=V3%—V3z=0

同理可得平面ACE的法向量为五=(一1,b,1)

・•・cos,<―>m,n、>=mn3

|叫|n|5

••・二面角B-AE-C的平面角的余弦值为|.

解析：本题考查四点共面的证法，以及利用空间向量解决空间角的问题，属于中档题.

(1)欲证人E、B、。四点共面，只需证明AE和80平行即可；

(2)根据条件建立空间直角坐标系，把二面角问题转化为空间向量的夹角问题解决.

4.答案：(1)证明：连接BCi，因为Q、P分别是CC】、GDI的中点，所以NQ〃BG且NQ

因为何、尸分别是AB、Ci/的中点，所以PC"/MB且PC】=MB,

所以四边形BQPM为平行四边形，

所以BCJ/PM且BG=PM,

所以NQ〃PM且NQ=^MP,故M、N、。、P四点共面；

(2)解：根据题意补充截面为MNQPFE,E、F分别为441，&Di的中点，

因为正方体棱长为2,所以NQ=&,

所以截面为一个边长为近的正六边形，

所以截面面积为6xixV2xV2x—=3y/3;

22

(3)解：设BCiCBiC=。，

V=%-MBCiP+01-MBCiP=]S矩形MBC1P,co+5s矩形河隧/。当。=矩形时也记.当。=鼠2y[2・

2夜=|.

解析：(1)连接BG，可得四边形BGPM为平行四边形，从而可得以NQ〃PM且NQ=：MP,即可得

到结论；

(2)补充截面为MNQPFE,可得截面为一个边长为近的正六边形，即可求出其面积；

(3)根据U=VM-B1C1CB+VM-PB1C1，然后利用三棱锥的体积公式进行求解即可.

本题主要考查了四点共面的证明，以及截面面积以及多面体的体积，同时考查了空间想象能力和运

算求解的能力，属于中档题.

5.答案：(1)证明：丫9、尸分别是8C,BP中点，

EF=-PC<

2

PCU平面PAC,EFC平面PAC,

：.EF〃平面PAC.

(2)

因为ABC。为平行四边形，

E,G为BC,AO的中点，

所以EC=AG'

所以4ECG为平行四边形，AE&CG，

又4EC面PCG,CGu面PCG,

所以4E〃面PCG,

由(1)得EF〃PC,

EFPCG,PCu面PCG,

所以EF〃面PCG,

AE,EFu面AEF并交于点E,

所以面AEF〃面尸CG,

面P8Dn面4EF=FN,

面PBDn面PCG=PM,

所以尸N〃PM,

解析：本题考查线面平行，面面平行的判定，考查空间想象能力.

(1)利用线面平行的判断定理证明即可；

(2)由题可利用线面平行和面面平行的判定以及性质解得.

6.答案：解：(1)连接AC,在AABC中，因为AB_LBC,AB=2,BC=2^2,

所以tan/ACB=—=—.

BC2

因为4B〃CD,AB1BC,所以CD_LBC.

在RtABCD中，因为CD=4,所以tan/BOC=^=立，

CD2

所以tanzJlCB=tan/BDC,

所以=乙BDC.

因为Z71CB+N4CD=会所以4BDC+4ACD=会所以BD1AC.

因为P4JL平面ABCD,BDu平面ABCD,所以P41BD.

又24u平面PAC,ACu平面PAC,PAfyAC=A,所以BD_L平面PAC.

因为PCu平面PAC,所以PC1BD.

(2)解法一:如图，

D

设PA=3AC与B。交于点M,连接尸M,过点A作4,1PM于点”，连接BH.

由(1)知，BO1平面PAC,又AHu平面PAC,所以BO14H.

因为4HJ.PM,「时二平面/^。，BDu平面尸2£>,PMCtBD=M,

所以AHJL平面PBD,

所以N4B”为直线A8与平面PHD所成的角.

在Rt△ABC,因为4B=2,BC=2或,

所以4c=^JAB*2+BC2=2V3.

所以4M=第2\f3

3

.,„,PAAMPAAM

在中，易知4rr

RtAPAM\/PA2+AM2

因为直线AB与平面PB。所成的角为士所以乙4BH=3

OO

-

所%山丝

B”1

AB22

所以t=2,

所以PA的长为2.

解法二：取CD的中点E,连接AE,

因为A8〃C。，CD=2AB=4,所以4B〃CE且48=CE,

所以四边形A8CE是平行四边形，所以BC〃4E.

因为力BJLBC,所以ABJL4E.

又「4_L平面A3C。，所以P4_L48,PALAE,

故AE,AB,AP两两垂直,

故以A为坐标原点，AE,AB,AP所在直线分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系,

设P4=3因为CD=2AB=4,

所以4(0,0,0),8(0,2,0),P(0,0,t),D(272,-2,0),

所以荏=(0,2,0),BP=(0,-2,t)«RD=(2V2,-4,0).

设平面尸的法向量为元=(x,y,z),贝

［元•丽=0,即(一2y+tz=0,

令x=夜，则y=l,z=I，故记=(企」，令为平面尸8。的一个法向量.

因为直线AB与平面PBD所成的角为?

所以sin^=Icos<n,AB>\=回烈=,————=-

所以6I1|n||4B|限X22，

所以t=2,

所以PA的长为2.

解析：本题主要考查空间中线面位置关系、线线垂直的证明、线面角，考查考生的空间想象能力、

推理论证能力和运算求解能力，体现直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养.

(1)先根据给出的线面位置关系和长度关系求得tan/ACB和tan/BDC,即可得至此力CB=NBDC,进

而得到8。1AC,再根据线面垂直的判定定理证得BD，平面PAC,最后根据线面垂直的性质得到线

线垂直即可；

(2)解法一：先设24=3作辅助线，通过线面位置关系的证明找到所求的线面角，然后根据直线

A8与平面PBO所成的角为?列出关于f的方程，解方程即可得到/的值，即得到AP的长.

解法二：建立空间直角坐标系，利用向量法进行求解.

7.答案：解：(1)证明：•••E尸是APAC的中位线，.'EF〃/1C,

又...EF仁平面A8C,ACu平面ABC,

EF〃平面ABC.

(2)PA=PC=AC=2,且PB=AB=BC=V2,

.-.AB2+PB2=AP2,BC2+BP2=PC2,AB2+BC2=AC2,

ABLPB,BC1PB,AB1BC,

故三棱锥P-ABC的表面积为

...............................5(阀2

S=S"AC+SAP4B+SWBC+S^AHC=丁x4+i―g—x3=v3+3(

.•・三棱锥P-4BC的表面积为3+V3.

解析：本题考查线面平行的证明，考查推理能力以及三棱锥表面积的计算，属基础题.

(1)直接利用线面平行的判定定理证明即可；

(2)利用P4=PC=力。=2,且PB=4B=BC=&得到各边之间的关系，然后根据勾股定理的逆定

理得到4B1PB,BCLPB,ABVBC,得到三角形的底跟高进行计算即可.

8.答案：证明：(1)•••(；＞，分别是41cl的中点，

在三棱柱ABC-4当的中，3耳〃CQ且BBi=CG，则四边形BBi^C为平行四边形,

3Q〃"，

GH//BC,

因此，B、C、H、G四点共面；

(2)•••E,尸分别为4B、4C的中点，

EF//BC,

■■■EFC平面BCHG,BCu平面BCHG,

：.EF//平面BCHG.

在三棱柱ABC—4B1G中，且4&=8当，则四边形为平行四边形,

•:E、G分别为A3、4a的中点，

./G〃BE且4G=BE,

二四边形&EBG是平行四边形，则小E〃BG,

•••&E仁平面BCHG,BGu平面BCHG,

,AiE〃平面8cHG.

：.AXEC\EF=E,且&Eu平面EF4,EFu平面EF&,

平面EF.li//平面BCHG-,

(3)如图所示，连接&C,设41c与4cl的交点为M,连接OM,

B

•••四边形4遇AG是平行四边形，

・•.M是&C的中点，

••・£>为8c的中点，

•••OMC平面&Bu平面人映，

，。八/〃平面418。1.

由(1)知，四边形BBiGC为平行四边形，则3C7/31C且BC=&Ci，

•：D、5分别为BC、BQ的中点，

.：皿/C0且BD=。也，

•••四边形BDCWi为平行四边形，

:.C\D//BD\,

又。G<t平面48D1，BQu平面4BD1，

，。「1〃平面4BD].

XDCxODM=D,。。1<Z平面4。1。，OMu平面4CW，

平面/平面AC]。.

解析：本题考查平面的基本性质，考查面面平行，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.

(1)证明出即可证明出B、C、H、G四点共面;

(2)证明E尸〃可得EF〃平面BC”G,证明四边形4EBG是平行四边形，可得出

可证明出aE〃平面8CHG,再利用面面平行的判定定理可证明出结论；

(3)连接&C交4cl于点M,可得出〃/八田，可证明出DV〃平面证明出四边形8。6劣

为平行四边形，可得出可得出GO〃平面&BDi，然后利用面面平行的判定定理可证

明出结论.

9.答案：证明：方法一(纳入平面法)；110/2=4：/1和，2确定一个平面戊.

•••。n6=B,Bel2.

又八2u«>>'-BGa.同理可得CGa.

BEl3,Cel3,l3ua.

二直线"，l2>b在同一平面内.

方法二(辅助平面法)%n%=A，］。和，2确定一个平面a-

•.”2nb=B,*，2和，3确定一个平面

•••A%ua,Aea.

vA6l2,l2uB,：.AWB.

同理可得B€a,B€B，Cea,C6/7,

•••不共线的三个点4,B,C既在平面a内，又在平面。内.

二平面a和夕重合，即直线，1，%，G在同一平面内.

解析：本题考查证明线共面或点共面的常用方法，考查空间中的基本公理，属于中档题.

(1)直接法：证明直线平行或相交，从而证明线共面.

(2)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内.

(3)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面a,再证明其余元素确定平面6,最后证明平面a,0重

合.

10.答案：(1)证明:连接AF,由已知得EF〃CD,

V.AB//CD,所以EF〃AB.

所以A8和E尸确定一个平面，

故点A在平面BEF内;

(2)解：取4。的中点。，连接P0,

因为△PAD为等边三角形，贝IJP01AD,

又因为平面PAD1平面ABC。，A。为交线，

所以POJ■平面ABCQ,作Oy〃/1B,

如图建立空间直角坐标系。-xyz,

设AB=4,则4(2,0,0),B(2,4,0),F(-l,0,回

所以方=(-3,0,V3),AB=(0,4,0).

设平面BEF的法向量为沅=(x,y,z),

则14E'记=°-g|jf-3x+Wz=0,

{AB-m=0,'Uy=0,

取平面BEF的一个法向量为沆=(1,0,V3),平面BCD的一个法向量为记=(0,0,1).

设平面BEF与平面88所成锐二面角为0,

则cos。—|cos<m,n>\—甘叱——.

所以平面BEF和平面BC/)所成锐二面角的大小为30。.

解析：本题考查了平面的基本性质和利用空间向量求面面的夹角，是中档题.

(1)连接AF,由已知得EF〃CD,所以EF〃48.所以AB和EF确定一个平面，从而得证；

(2)建立空间直角坐标系，平面8E尸的法向量和平面88的一个法向量，由空间向量求解即可.

11.答案：解：(1)证明：取的中点。，连接SO,OD,

则S。_L平面ABC,且OD垂直平分BC,

所以SO_LBC,BC10D,

又因为SOD。。=。，SOu平面SODODu平面SOO,

所以BC_L平面SOD,

因为SDu平面SOD,

所以BC_LSO.

s

(2)设点A到平面SBC的距离为h,

X

由%-4HC=匕-SBC，得X手=ISASBC怔

所以九=国蝮，

2sASBC

当4B=2,圆锥的高为叵，且4BAC=60。时，AC=1,BC=6，OE=^,SE=VSO*23+0E2=

2，

厝)2+g2=2,

所以S38C=：x1x=容S&SBC=­x2xV3=V3,

224

所以h=竺裳=叵.

2x64

解析：本题考查线线垂直和点到面的距离，三棱锥的体积公式，属于中档题.

(1)取4B的中点O,连接SO,0D,贝达。_1平面ABC,且。。垂直平分BC,所以S01BC,利用线

面垂直的判定可得BC1平面SOD,即可得证；

(2)设点A到平面SBC的距离为/?,由%YBC=%-SBC，得二S.ABC乂正=5S.SBC*八，所以八=等生,

32313sBe

可得出点A到平面SBC的距离.

12.答案：证明：因为DPfiRQ=。，

所以。GDP,0GRQ,

又DPu平面ABCD,RQu平面B'C'CB,

所以06平面ABC。，06平面B'C'CB,

因为平面ABCDn平面B'C'CB=BC,

所以。在3c上,

所以。P,RQ,8C三线共点.

解析：本题考查空间中点、直线与平面的位置关系，考查空间想象能力与思维能力，为基础题.

由题意利用基本事实3,即可证明。尸，RQ,8C三线共点；

13.答案：解：很明显，点S是平面SB。和平面SAC的一个公共点，

即点S在交线上，由于4B>CD,

则分别延长AC和8。交于点E,如图所示：

EGAC,ACu平面SAC,■■■E€平面SAC.

同理，可证EC平面S8D

.•.点E在平面SBD和平面SAC的交线上，

连接SE,直线SE是平面SBO和平面SAC的交线.

解析：本题考查了点，线，面之间的关系，考查了面面交线的画法，是一道基础题.

先根据题意画出图象，说明时可根据点E在平面S3。上和平面SAC上，从而得出SE是交线.

14.答案：解：在正方体ABCD—4B1QD1中，所在的直线与是异面直线的棱有：AD,B1c°CD,

Ci。1，DDi，CG.

解析：本题考查异面直线，属于基础题.

由异面直线的定义即可求解.

15.答案：解析：图①中：aCB=l，

mc:a,nu氏

Ir\n=P.

图②中：aC0=a,

any=b,

夕ny=c,

aC\b=OtbC\c=0,ar\c=0.

解析：解析：

本题考查了用符号语言表示点、直线、平面之间的位置关系，属于基础题.

由题意，将点与线的关系、线与面的关系以及面与面关系用符号语言表示即可.

16.答案：解：(1)因为KCEH,£“<3平面48。，

所以Ke平面ABD,同理K6平面CBD,

而平面ABDn平面CBD=BD,因此K£BD,

所以EH,BD,FG三条直线相交于同一点.

(2)因为EH〃FG,FGu平面BCD,EHBCD,

所以EH〃平面BCD,

而EHu平面ABD,平面AB。n平面BCD=BD,

所以EH〃BD,

所以BD〃FG,

所以EHI/FG11BD.

解析：本题考查空间中直线与直线的位置关系，属于基础题，

⑴通过证明Ke平面A8D,Ke平面CB。，且&在平面ABO与平面CB。的交线上来证明,

(2)根据平面的基本性质证明即可.

17.答案：(1)证明如图所示，

设AC与BO的交点为0,

ABHCD,AB=2CD=4,AD=BC=V10,

••・四边形ABC。为等腰梯形,

易得BD=3V2,

又...空=工

0B2’

DO=V2，OB=2V2,

同理可得，CO=V2,0A=2V2.

vDO2+OC2=CD2,

：.AC1BD,

又...平面PB。1平面ABCD,且平面PBDn平面4BCD=BD,ACu平面ABCD,

：.AC_L平面PBD,

又PBu平面PBD,

AC1PB.

(2)解取08,A8的中点E,F,连接PE,EF,P0,

由⑴知AC_L平面PBD,办。_LP0,

PO=y/AP2-A02=V12-8=2,

vOP=PB=2,

PE1.DB,且平面PBDJ•平面ABO,平面PBDC平面ABD=BD,

PE，平面ADB,且PE=yJOP2-OE2=V4^2=V2.

XvE,F为OB,A8的中点，

•••^FEB=AAOB=90°,

建立空间直角坐标系如图所示,

A

•••B(0,V2,0).。(0,-2遮,0),P(0,0,V2).C(-V2,-V2,0),

设平面PBC的一个法向量为五=(x,y,z),BD=(0,-372,0)，PB=(0,V2,-V2)，PC=

(—V2,—V2,—V2),

［而.n=0,(y-z=0,

说.元=0,"&+y+z=0,

取x=-2,.•.元=(-2,1,1),

设8。与平面P8C所成角为仇

$山。=际而,n)|=|箭|=吊

BD与平面PBC所成角的正弦值为立.

6

解析：本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解

空间角，是中档题.

(1)由已知求解三角形证明AC1BD,再由平面PBD1平面ABC。的性质，得4C，平面PBO,利用直

线与平面垂直的性质AC1PB.

(2)取03,AB的中点E,F,连接PE,EF,PO,由求解三角形PE1DB,且平面PB。1平面AB。，

可得PEJ■平面AD8,所以4FEB=4AOB=90。，以E为坐标原点，分别以EF,EB,EP所在直线

为x,y,z轴建立空间直角坐标系，分别求出平面PBC的一个法向量，由线面角的公式可求得8。

与平面PBC所成角的正弦值.

18.答案：解：(1)作法1：在正方形CDDiG中，过尸作FG〃DC,且交棱。久于点G.

连接4G,在正方形4。。送1内过名作DiE〃4G,且交棱44］于点E.

连接EB,ED］，则四边形8ED1F就是要作的截面a.

理由：由题意，平面an平面=D1E,

&。平面8。1=8/，平面4D]〃平面BCi，应有D]E〃BF.

同理，BE〃FC1.所以四边形BED#应是平行四边形.

由作图过程，FG//DC,FG=DC.又AB〃DC,AB=DC,

所以4B〃FG,AB=FG.所以四边形AB尸G是平行四边形.所以4G〃BF,AG=BF.

由作图过程，D、E〃AG.又EA〃D0,

所以四边形E4G2是平行四边形，所以。出〃/1G,DXE=AG.

又AG"BF,AG=BF,所以£)iE〃BF,且=BF.

所以BEDiF是平行四边形.四边形BE名尸就是要作的截面.

作法2：(1)在正方形CD2G中，过尸作FG〃DC,且交棱。为于点G.

连接AG,在正方形力DD1&内过Di作DiE〃/1G,且交棱4必于点E.

连接EB,ED]，则四边形BED/就是要作的截面a.

理由：由题意，an平面4。1=。速，

a=BF,平面g〃平面Bq,所以D】E〃BF.

因为两平行直线确定一个平面，则平面8ED】F就是平面a.

由作图过程，FG//DC,FG=DC.

5LAB11DC,AB=DC,所以AB〃FG,AB=FG.

所以四边形ABFG是平行四边形.所以4G〃BE

由作图过程，。送〃4；.所以。*//3尸.

四边形BED】F就是要作的截面a.

作法3：在棱A①上取点E,使得&E=CF.

连接E8,则四边形BEQF就是要作的截面a.

理由：由题意，平面an平面ZD1=D]E,

an平面BCi=BF,平面AD"/平面BQ,所以AE〃BF.

同理可证BE//FDr所以四边形BEQF应是平行四边形.

应有DiE=BF.又因为△。遇北和4BCF均为直角三角形，且&Di=BC,

由勾股定理得&E=/。花2-I禺=y]BF2-BC2=CF.

由E的取点过程，知四边形BE/F就是要作的截面a.

作法4：在棱441上取点E,使得&E=CF.

连接EB,ED]，则四边形8ED1F就是要作的截面a.

理由：由题意，an平面4Di=DiE,。0平面8的=8尸，

平面4D1〃平面Bq,所以AE〃BF.

同理BE〃FDr所以四边形BEDiF是平行四边形.

下证所取的点E使得BE/F是平行四边形：

在正方体4BCD-AiBiCWi中，D^A[=CB.

因为&E=CF,ArE//FC,所以乖=定.

所以DiE=DM1+&E=CB+FC=FB.

所以〃尸B,且D[E=F8,所以BE。/是平行四边形.

四边形8EQF就是要作的截面.

作法5：因为DiCBF,所以。1，B,尸三点确定的平面就是平面a.

在平面a内过5作[E//BF,且交棱441于点E.

连接EB,EDi，则四边形BEQF就是要作的截面a.

理由：由题意，an平面4。1=。速，an平面BG=BF,平面4%〃平面

所以。出〃BF.

根据作图过程，D.E//BF.

四边形BE。1F就是要作的截面.

(2)解法1：由题意，CF=a(O<a<l).

由(1)的证明过程，可得41E=a.

连接Di4,则平面a将正方体分割所成的上半部分的几何体可视为四棱锥Di-&EBB1与四棱锥Di-

BiBFCi的组合体.

,,,,,,,1(a+l)xl.,1,[(l-a)+l]xl«1

=X

匕=+KDLBIBFQ3\乂1+5X-X1=-.

而该正方体的体积V=l,%=U—匕=1一]=*所以匕：V2=1.

解法2：由题意，CF=a(O<a<l).

由(1)的证明过程，可得4E=a.

由(1)的作法1,可知平面a将正方体分割所成的下半部分的几何体可视为三棱柱4DG-BCF与三棱

柱E4B-01GF的组合体，

111

%=VADG-BCF+^EAB-D1GF=(/X1Xa)X1+与X1X(1-Cl)[X1=]

而该正方体的体积V=1,匕=U-瞑=1.所以匕：彩=L

解析：本题考查正方体的截面、线面平行的性质、棱柱棱锥的体积，属中档题.

(1)作法1：过F作FG〃DC,且交棱。％于点G,四边形EAGDi是平行四边形，即可得BED#是平

行四边形.四边形BECiF就是要作的截面.

作法2：过尸作FG〃DC,且交棱DDi于点G,过。】作。送〃力G,且交棱441于点E,因为两平行

直线确定一个平面，四边形BEDiF就是要作的截面a.

作法3：在棱上取点E,使得&E=CF,四边形BED/就是要作的截面a.

作法4：在棱？Mi上取点E,使得&E=CF,可证得四边形是平行四边形，四边形BEQF就是

要作的截面.

作法5：因为Di£BF,所以5,B,F三点确定的平面就是平面a,过久作D]E〃BF,且交棱A%于

点E,四边形BE。/就是要作的截面a.

(2)解法1：CF=a(O<a<1),由(1)可得为E=a,连接则平面a将正方体分割所成的上半

部分的几何体可视为四棱锥Di-4EBB1与四棱锥5-B/FG的组合体，根据棱锥的体积公式求解.

解法2：CF=a(O<a<1),可得&E=a,可知平面a将正方体分割所成的下半部分的几何体可视

为三棱柱40G-8CF与三棱柱E4B-0透尸的组合体，根据棱柱的体积公式求解.

19.答案：解：(I)证法1：如图1,连接BE、BD,由地面A8CD是正方形可得"_LBD.

vSD_L平面ABCD,BD是8E在平面ABCD上的射影，；.AC1BE

(口)解法1：如图1,由SDJ■平面A8C。知，乙DBE=(p,

SDJL平面ABCD,CDu平面ABCD,SD1CD.

又底面ABC。是正方形，CD14D,而SDCiAD=O,CD_L平面SAD.

连接AE、CE,过点。在平面必。内作DFLAE于F,连接C凡贝IJCF1AE,

故4CFD是二面角C-AE-0的平面角，即“FO=0.

在Rt△BDE中，•••BD=2a,DE=Aa:，tancp=-=-

BD2

在Rt△/DE中，♦・•4。=yj2a^DE=Xa.•・AE=aVA24-2

从而DF=丝丝=等

AEVX^+2

在RMCDF中，tand=—=

DFA

由tan。•tans=1,得四^=i即+2=2,所以；l?=2.

A2

由0<2W2,