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文档简介
27.1圆的认识3.圆周角第2课时圆周角定理的推论学习目标:理解掌握圆周角定理的推论及其证明过程.(重点)能运用圆周角定理的推论解决有关问题.(难点)自主学习一、知识链接1.如图,BC是⊙O的直径,点A是⊙O上的一点,∠B=56°,则∠C的度数是.第1题图第2题图2.如图,若∠AOB=100°,则∠C的度数为__________.二、新知预习(预习课本P43-44)填空并完成练习:推论190°的圆周角所对的弦是_______.如果一个圆经过一个多边形的各个顶点,这个圆就叫做这个多边形的________,这个多边形叫做这个圆的____________.推论2圆内接四边形的对角__________.练习:1.如图,已知四边形ABCD内接于⊙O,∠ABC=70°,则∠ADC的度数是_______.第1题图第2题图2.如图,若△ABC是直角三角形,∠C=90°,∠B=60°,BC=2,则⊙O的半径为________.合作探究要点探究探究点1:圆周角定理的推论1观察与探究如图,点A、B、C在圆上,∠C=90°.问题命题:若AB是直径,则其所对的圆周角∠C为90°.请写出它的逆命题,逆命题是真命题吗?试一试请证明你的结论.已知:如图,_______________________________________________.求证:_____________________________.证明:假设AB不是圆的直径,不妨设AD是圆内的一条直径,连结CD.易知___________=90°.∵∠ACB=90°,且由图可知,∠ACB≠__________,即假设不成立,∴_______________________.【要点归纳】90°的圆周角所对的弦是直径.【典例精析】例1如图①,把直角三角板的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周上,两直角边与圆弧分别交于点M、N,量得OM=8cm,ON=6cm,则该圆玻璃镜的半径是cm.图①图②【方法归纳】在圆中遇90°角,通常连结圆上两点(非直角顶点),构造直径.【针对训练】如图②,半径为3的⊙A经过原点O和点B(0,2),点C是y轴左侧⊙A上一点,则tan∠OCB=.探究点2:圆周角定理的推论2概念学习如果一个圆经过一个多边形的各个顶点,这个圆就叫做这个多边形的外接圆,这个多边形叫做这个圆的内接多边形.猜想与论证如图,四边形ACBD为⊙O的内接四边形.若CD是直径,则∠DAC=_____°,∠DBC=______°,∠DAC+∠DBC=_______°,∠C+∠D=______°.(2)若线段CD不经过点O,先用量角器量一量∠C和∠D的度数,它们之间存在怎样的数量关系?结合(1)中的结果,写出你的结论:你的结论:证明:由圆周角定理可知:∠1=__________,∠2=__________,∵∠1+∠2=__________=__________°,∴∠C+∠D=__________°.【要点归纳】圆内接四边形的对角互补.【典例精析】例2如图③,已知⊙O为四边形ABCD的外接圆,若∠BCD=120°,则∠BOD的度数为_________.【针对训练】如图④,四边形ABCD内接于⊙O,若∠AOC=∠B,则∠D的度数为_________.图③图④图⑤图⑥例3如图⑤,四边形ABCD内接于⊙O,四边形ABCD的外角∠CDM=70°,则∠AOC的度数为_________.【针对训练】如图⑥所示,四边形ABCD内接于⊙O,A为的中点,∠ABD=65°,连结BD,则∠BCE=_________.二、课堂小结圆周角圆周角定理的推论1内容90°的圆周角所对的弦是直径.辅助线作法在圆中遇90°角,通常连结圆上两点(非直角顶点),构造直径.圆周角定理的推论2内容圆内接四边形的对角互补.拓展对角互补的四边形,其顶点在同一个圆上当堂检测1.如图,A、B、C、D是⊙O上的四点,且∠C=100°,则∠A=_________°.第1题图第2题图第3题图第4题图2.如图,若∠BOD=140°,则∠BCD=_________°.3.如图,AB是半圆O的直径,C、D是上两点,若∠D=110°,则∠ABC=_________°.4.如图,在圆内接四边形ABCD中,∠C=2∠A,则cosA=_________.5.如图,A、B、C、D四点都在⊙O上,BD为直径,四边形OABC是平行四边形,求∠D的度数.6.如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC边上的中点,过A、C、D三点的圆交BA的延长线于点E,连结EC.
(1)求证:∠E=90°;
(2)若AB=6,BC=10,求AE的长.参考答案自主学习一、知识链接1.34°2.50°二、新知预习1.直径2.外接圆内接多边形3.互补练习:1.110°2.2合作探究一、要点探究探究点1:圆周角定理的推论1问题逆命题为若∠C为90°,则其所对的弦AB为直径.试一试点A、B、C是圆上的三点,∠ACB=90°AB是圆的直径∠ACD∠ACDAB是圆的直径【典例精析】例15【针对训练】探究点2:圆周角定理的推论2猜想与论证(1)9090180180(2)∠C+∠D=180°2∠C2∠D2(∠C+∠D)360180【典例精析】例2120°【针对训练】60°例3140°【针对训练】50°当堂检测1.802.1103.204.5.解:∵四边形OABC是平行四边形,∴CB=OA=OC=OB,即△OCB为等边三角形,∴∠COB=60°,∠D=∠COB=3
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