二节两直线位置关系

第二节两直线的位置关系⁠1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.3.探索并掌握平面上两点间的距离、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.CONTENTS010203/目录

知识·逐点夯实考点·分类突破课时·过关检测01⁠1.两条直线平行和垂直的判定（1）两条直线平行①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔

k1＝k2

⁠；②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.k1＝k2

②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2.提醒

在判定两条直线平行或垂直的情况时不要忽略了一条直线或两条直线斜率不存在的情形.（2）两条直线垂直①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔

k1k2＝－1

⁠；k1k2＝－1

2.两直线相交

（2）相交⇔方程组有

唯一解

⁠，交点坐标就是方程组的解；（3）平行⇔方程组

无解

⁠；（4）重合⇔方程组有

无数个解

⁠.唯一解

无解

无数个解

3.三种距离公式

提醒

利用点到直线的距离公式时，需要先将直线方程化为一般式.

提醒

利用两平行直线间的距离公式时，需要先将两条平行线方程化为x，y的系数对应相等的一般式.

⁠1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.

（

）答案：（1）×

（2）如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.

（

）（3）若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交.

（

）（4）直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.

（

）答案：（2）×

答案：（3）√

答案：（4）√2.点A（2，5）到直线l：x－2y＋3＝0的距离为

（

）

3.若直线l1：ax－（a＋1）y＋1＝0与直线l2：2x－ay－1＝0垂直，则实数a＝

（

）A.3B.0C.－3D.0或－3解析：D

∵直线l1与直线l2垂直，∴2a＋a（a＋1）＝0，整理得a2＋3a＝0，解得a＝0或a＝－3.故选D.4.若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一点，则m＝

⁠.

答案：－95.已知直线3x＋4y－3＝0与直线6x＋8y＋14＝0平行，则它们之间的距离是

⁠.

答案：2⁠1.与直线Ax＋By＋C＝0（A2＋B2≠0）垂直或平行的直线方程可设为：（1）垂直：Bx－Ay＋m＝0；（2）平行：Ax＋By＋n＝0（n≠C）.2.两个充要条件（1）直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件是A1A2＋B1B2＝0；（2）直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行或重合的充要条件是A1B2－A2B1＝0.3.与对称问题有关的四个结论（1）点（x，y）关于点（a，b）的对称点为（2a－x，2b－y）；（2）点（x，y）关于直线x＝a的对称点为（2a－x，y），关于直线y＝b的对称点为（x，2b－y）；（3）点（x，y）关于直线y＝x的对称点为（y，x），关于直线y＝－x的对称点为（－y，－x）；（4）点（x，y）关于直线x＋y＝k的对称点为（k－y，k－x），关于直线x－y＝k的对称点为（k＋y，x－k）.⁠1.过点（2，1）且与直线3x－2y＝0垂直的直线方程为

（

）A.2x－3y－1＝0B.2x＋3y－7＝0C.3x－2y－4＝0D.3x＋2y－8＝0解析：B

由结论1可设直线方程为2x＋3y＋b＝0，把（2，1）代入，则4＋3＋b＝0，即b＝－7，则所求直线方程为2x＋3y－7＝0.2.已知直线l1：ax＋2y－1＝0，直线l2：8x＋ay＋2－a＝0，当l1∥l2时，a＝

⁠.

解析：因为l1∥l2，由结论2得a·a－2×8＝0，解得a＝±4.当a＝4时，直线l1：4x＋2y－1＝0，直线l2：8x＋4y－2＝0，即4x＋2y－1＝0，此时l1与l2重合，所以a＝－4.答案：－43.点P（2，5）关于直线x＋y＝1的对称点的坐标是

⁠.

解析：由结论3可知，对称点为（1－5，1－2），即（－4，－1）.答案：（－4，－1）02⁠两条直线的位置关系1.经过抛物线y2＝2x的焦点且平行于直线3x－2y＋5＝0的直线l的方程是

（

）A.6x－4y－3＝0B.3x－2y－3＝0C.2x＋3y－2＝0D.2x＋3y－1＝0

2.（多选）已知直线l1：（a＋1）x＋ay＋2＝0，l2：ax＋（1－a）y－1＝0，则

（

）A.l1恒过点（2，－2）C.若l1⊥l2，则a2＝1D.当0≤a≤1时，l2不经过第三象限

3.已知直线l经过直线2x－y－3＝0和4x－3y－5＝0的交点P，且垂直于直线x＋y－2＝0，则直线l的方程为

⁠.

答案：x－y－1＝0｜练后悟通｜1.两直线平行、垂直的判断方法若已知两直线的斜率存在：（1）两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等；（2）两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于－1.2.解决两直线平行与垂直的参数问题要“前思后想”距离问题【例1】

（1）两条平行直线2x－y＋3＝0和ax＋3y－4＝0间的距离为d，则a，d的值分别为

（

）

答案

（1）B

（2）已知直线l过点P（－1，2）且点A（2，3）和点B（－4，5）到l的距离相等，则直线l的方程为

⁠.

答案

（2）x＋3y－5＝0或x＝－1｜解题技法｜两种距离的求解思路（1）点到直线的距离：可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式；（2）两平行直线间的距离：①利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离；②利用两平行线间的距离公式（利用公式前需把两平行线方程中x，y的系数化为对应相等的形式）.⁠1.已知点P（－1，－1），A（1，0），B（0，1），则△ABP的面积为

⁠.

2.已知直线l1：2x＋3y－1＝0和l2：4x＋6y－9＝0，若直线l到直线l1的距离与到直线l2的距离之比为1∶2，则直线l的方程为

⁠.

答案：4x＋6y＋5＝0或12x＋18y－13＝0对称问题【例2】

已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A（－1，－2）.（1）求点A关于直线l的对称点A'的坐标；

（2）求直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m'的方程.

⁠

（变设问）在本例条件下，直线l关于点A（－1，－2）对称的直线l'的方程为

⁠.

解析：法一：在l：2x－3y＋1＝0上任取两点，如M（1，1），N（4，3），则M，N关于点A的对称点M'，N'均在直线l'上.易知M'（－3，－5），N'（－6，－7），由两点式可得

l'的方程为2x－3y－9＝0.法二：设P（x，y）为l'上任意一点，则P（x，y）关于点A（－1，－2）的对称点为P'（－2－x，－4－y），∵P'在直线l上，∴2（－2－x）－3（－4－y）＋1＝0，即2x－3y－9＝0.答案：2x－3y－9＝0｜解题技法｜⁠1.光线沿着直线y＝－3x＋b射到直线x＋y＝0上，经反射后沿着直线y＝ax＋2射出，则有

（

）

2.已知入射光线经过点M（－3，4），被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N（2，6），则反射光线所在直线的方程为

⁠.

答案：6x－y－6＝003⁠1.已知直线l过点（0，7），且与直线y＝－4x＋2平行，则直线l的方程为

（

）A.y＝－4x－7B.y＝4x－7C.y＝4x＋7D.y＝－4x＋7解析：D

过点（0，7）且与直线y＝－4x＋2平行的直线方程为y－7＝－4x，即直线l的方程为y＝－4x＋7.故选D.2.“a＝1”是“直线（2a＋1）x＋ay＋1＝0和直线ax－3y＋3＝0垂直”的

（

）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

A.（1，2）B.（2，1）C.（1，2）或（2，－1）D.（2，1）或（－1，2）

4.若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：（a－2）x＋3y＋2a＝0平行，则l1与l2之间的距离为

（

）

5.若m，n满足m＋2n－1＝0，则直线mx＋3y＋n＝0过定点

（

）

6.直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是

（

）A.x＋2y－1＝0B.2x＋y－1＝0C.2x＋y－3＝0D.x＋2y－3＝0

7.若直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋ny＋5＝0相交于同一点，则点（m，n）与原点之间的距离的最小值为

（

）

8.已知直线l1：x－my＋1＝0过定点A，直线l2：mx＋y－m＋3＝0过定点B，l1与l2相交于点P，则｜PA｜2＋｜PB｜2＝

（

）A.10B.13C.16D.20解析：B

直线l1：x－my＋1＝0过定点A，令y＝0，得x＝－1，所以A（－1，0）；直线l2：mx＋y－m＋3＝0过定点B，直线l2的方程可化为m（x－1）＋y＋3＝0，令x＝1，得y＝－3，所以B（1，－3）.因为1·m－m·1＝0，所以l1⊥l2.因为l1与l2相交于点P，所以△PAB是以AB为斜边的直角三角形，由勾股定理可得｜PA｜2＋｜PB｜2＝｜AB｜2＝（－1－1）2＋（0＋3）2＝13，故选B.9.（多选）已知直线l：（a2＋a＋1）x－y＋1＝0，其中a∈R，则下列说法正确的是

（

）A.当a＝－1时，直线l与直线x＋y＝0垂直B.若直线l与直线x－y＝0平行，则a＝0C.直线l过定点（0，1）D.当a＝0时，直线l在两坐标轴上的截距相等解析：AC

对于A，当a＝－1时，直线l的方程为x－y＋1＝0，显然与x＋y＝0垂直，正确；对于B，若直线l与直线x－y＝0平行，可知（a2＋a＋1）·（－1）＝1×（－1），解得a＝0或a＝－1，不正确；对于C，当x＝0时，有y＝1，所以直线过定点（0，1），正确；对于D，当a＝0时，直线l的方程为x－y＋1＝0，在x轴，y轴上的截距分别是－1，1，不正确.10.（多选）若P，Q分别为l1：3x＋4y＋5＝0，l2：ax＋8y＋c＝0上的动点，且l1∥l2，下面说法正确的有

（

）A.直线l2的斜率为定值C.当｜PQ｜的最小值为1时，c＝20D.c≠10

11.设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P（2，－1），则｜AB｜＝

⁠.

12.若直线ax＋4y－2＝0与直线2x－5y＋b＝0垂直，垂足为（1，c），则a＋b＋c＝

⁠.

答案：－4

14.已知直线l：x－2y＋8＝0和两点A（2，0），B（－