山东高二数学上学期期末试题分类汇编

山东高二数学上学期期末试题分类汇编〔必修5和选修2-1〕目录一、三角函数、正余弦定理 1〔一〕选填 1〔二〕解答 5二、数列 13〔一〕选填 13〔二〕解答 19三、不等式 34〔一〕选填 34〔二〕解答 39四、常用逻辑用语 47〔一〕选填 47〔二〕解答 51五、圆锥曲线 57〔一〕选填 57〔二〕解答 68六、立体几何 107〔一〕选填 107〔二〕解答 111一、三角函数、正余弦定理〔一〕选填在中，，，那么的值为A.B.C.D.在中，，那么的面积为A.B.C.D.30在中，，那么的值为A.B.C.D.假设三角形的三个内角之比为1∶2∶3，那么它们所对的边长之比为()．A．1∶2∶3 B．1∶∶2C．1∶4∶9 D．1∶∶中，,,那么A．B．C．D．在△ABC中，假设b＝，c＝3，∠B＝30°，那么a＝()．A． B．2 C．或2 D．2在中，角所对的边分别是，且，那么A.B.C.D.设A是△ABC中的最小角，且，那么实数a的取值范围是 A．a≥3B．a＞－1 C．－1＜a≤3D．a＞在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，假设A=，b=2，△ABC的面积为2，那么a的值为A．2B．C．2D．2为维护国家主权和领土完整，我海监船310号奉命赴钓鱼岛海域执法巡航，当我船航行到A处时测得钓鱼岛在我船北偏东45o方向上，我船沿正东方向继续航行20海里到达B处后，又测得钓鱼岛在我船北偏东15o方向上，那么此时B处到钓鱼岛的距离为A．10海里B．20海里C．20海里D．20海里在中，角所对的边分别为，假设，且，那么以下关系一定不成立的是〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕中，,,那么〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕的三边长成公差为的等差数列，且最大角的正弦值为，那么这个三角形的周长是A. B.C. D.中，假设，那么是A.直角三角形 B．等腰三角形C.等腰或直角三角形 D.等腰直角三角形在△ABC中，假设a＝2，c＝4，B＝60°，那么b等于()A．2eq\r(3)B．12C．2eq\r(7)D．28△ABC中，a＝eq\r(5)，b＝eq\r(3)，sinB＝eq\f(\r(2),2)，那么符合条件的三角形有()A．1个B．2个C．3个D．0个△ABC的三内角A，B，C成等差数列，且AB=1，BC=4，那么该三角形面积为A．B．2C．2D．4在△ABC中，，，c=20，那么边a的长为A． B．C．D．中，,,那么A．B．C．D．的内角、、所对的边分别是，，．假设，那么角的大小是；在△ABC中，a＝3eq\r(2)，b＝2eq\r(3)，cosC＝eq\f(1,3)，那么△ABC的面积为________．如图，从高为米的气球上测量铁桥()的长.如果测得桥头的俯角是，桥头的俯角是，那么桥长为米．在中，,那么_____________.在中,那么___________________.三角形的一边长为14，这条边所对的角为，另两边之比为8：5，那么这个三角形的面积为_________．某学习小组进行课外研究性学习，为了测量不能到达的A、B两地，他们测得C、D两地的直线距离为，并用仪器测得相关角度大小如图所示，那么A、B两地的距离大约等于〔提供数据：，结果保存两个有效数字〕在中，假设，那么的形状一定是〔二〕解答在中，分别是角的对边，且.〔1〕求角的大小；〔2〕假设，求的面积.解：〔1〕法一：由正弦定理得………1分将上式代入…3分即即∵………5分∵∵B为三角形的内角，∴.………6分法二：由余弦定理相应给分〔2〕将代入余弦定理…7分，∴……………10分∴.……………12分锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为,假设〔1〕求B的大小；〔2〕求的取值范围.解：〔1〕由，根据正弦定理得，所以，由为锐角三角形得．5分〔2〕．9分由为锐角三角形且知，10分，所以．12分由此有，所以，的取值范围为．13分在△ABC中，角A,B,C的对边分别是，假设〔1〕求角B的大小;〔2〕求边c.解：〔1〕由题知那么且A为钝角4分由正弦定理得，所以8分〔2〕整理得解得12分在锐角三角形中，边a、b是方程x2－2EQ\r(,3)x+2=0的两根，角A、B满足2sin(A+B)－EQ\r(,3)=0，求角C的度数，边c的长度及△ABC的面积.解：由2sin(A+B)－EQ\r(,3)=0，得sin(A+B)=EQ\F(\r(,3),2),∵△ABC为锐角三角形∴A+B=120°,C=60°…………4分又∵a、b是方程x2－2EQ\r(,3)x+2=0的两根，∴a+b=2EQ\r(,3),a·b=2,∴c2=a2+b2－2a·bcosC=(a+b)2－3ab=12－6=6,∴c=EQ\r(,6),…………8分S△ABC=EQ\F(1,2)absinC=EQ\F(1,2)×2×EQ\F(\r(,3),2)=EQ\F(\r(,3),2)…………12分在△ABC中，分别为角A，B，C所对的三边，〔=1\*ROMANI〕求角A；〔=2\*ROMANII〕假设，求的值.解：(1)由，……3分又,∴。……6分(2)，……8分∴。……………10分∵。………12分锐角中，内角的对边分别是，且，,的面积等于,求边长和.解：，2分,代入得6分10分∴12分在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且bsinA=acosB．(1)求角B的大小；(2)假设a=4，c=3，D为BC的中点，求AD的长度．分别为三个内角的对边，且.〔Ⅰ〕求角的大小；〔Ⅱ〕假设，，求的面积.解：〔Ⅰ〕∴3分∴6分〔Ⅱ〕代入，得9分∴12分在中，角所对的边分别为，且成等比数列.〔Ⅰ〕假设，,求的值；〔Ⅱ〕求角的取值范围.解：〔Ⅰ〕∵成等比数列，∴2分∵∴4分联立方程组，解得6分〔Ⅱ〕8分∵，∴10分∴12分在中，角的对边分别为，且满足.〔Ⅰ〕求角；〔Ⅱ〕求的面积.解：〔Ⅰ〕……………2分即……………4分.……………6分〔Ⅱ〕由余弦定理，得：即…………8分即，解得或……………10分∴由或……………12分如下图，某河段的两岸可视为平行，为了测量该河段的宽度，在河段的一岸边选取两点A，B，观察对岸的点C，测得∠CAB＝75°，∠CBA＝45°，且AB＝100m．求该河段的宽度．解：∵∠CAB＝75°，∠CBA＝45°，∴∠ACB＝180°－∠CAB－∠CBA＝60°.由正弦定理得＝，∴BC＝.………………6分如图，过点B作BD垂直于对岸，垂足为D，那么BD的长就是该河段的宽度．在Rt△BDC中，∵∠BCD＝∠CBA＝45°，sin∠BCD＝，∴BD＝BCsin45°＝·sin45°＝×＝m，……..10分∴该河段的宽度为m.………..12分设的内角,,所对的边长分别为,,,且,．〔Ⅰ〕当时,求的值；〔Ⅱ〕当的面积为时,求的值．解:〔Ⅰ〕因为,所以………………2分由正弦定理,可得………………4分所以………………5分〔Ⅱ〕因为的面积,,所以,………………7分由余弦定理,得,即………………10分所以,,所以,………………13分在△ABC中，角A、B、C所对边分别为a，b，c，，且最长边的边长为．求：(Ⅰ)角C的正切值及其大小；(Ⅱ)△ABC最短边的长．解：(Ⅰ)tanC＝tan[π－〔A＋B〕]＝－tan〔A＋B〕……4分∵，∴……6分(Ⅱ)∵0<tanB<tanA，∴A、B均为锐角,那么B<A，又C为钝角，∴最短边为b，最长边长为c……8分由，解得……10分由，∴………………13分二、数列〔一〕选填在各项都为正数的等比数列中，首项，前三项和为，那么=A．32 B.24 等比数列的前n项和，假设，那么A.72B.81C.90D.99在等差数列中，假设=4，，那么该数列的公差d等于A.1B.C.-2D.3在等差数列中，有，那么该数列的前13项之和为A．24B.52C.56D.104设等差数列的前项和为,且>,<,那么,,．．．,中最大的是〔〕A． B．C． D．数列{}的前n项和=-1〔a是不为0的常数〕，那么数列{}〔〕A.一定是等差数列B.一定是等比数列C.或者是等差数列或者是等比数列D.既不是等差数列也不是等比数列等比数列中，各项都是正数，且3，成等差数列，那么A．1 B． C．3 D．各项不为0的等差数列，满足，数列是等比数列，且〔〕 A．2 B．4 C．8 D．16是等差数列，，，那么该数列前项和等于()．A．64 B．80 C．110 D．120设等差数列的前项和为,且>,<,那么,,．．．,中最大的是〔〕A．B．C．D．在正项等比数列{an}中，a2a8=16，那么a5的值为A．8B．6C．4D．2{an}为等差数列，假设<-1且其前n项和Sn有最大值，那么使得Sn>0的n的最大值为A．16B．15C．9D．8设成等比数列，其公比为2，那么的值为A．1B．C．D．数列的通项公式为，假设其图像上存在点在可行域内，那么的取值范围为〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕设数列的前n项和，那么的值为(A)15(B)16(C)49(D)64在等比数列中，假设，那么的值为(A)9 (B)1 (C)2 (D)3设等比数列的前项和为，那么，在数列中(A)任一项均不为零(B)必有一项为零(C)至多一项为零(D)任一项不为零或有无穷多项为零数列是等差数列，，，那么〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕数列的通项公式，那么数列的前10项和为〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕等差数列中，假设，那么该数列前2023项的和为〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕数列为等比数列，为其前项和，，那么公比〔A〕〔B〕〔C〕或〔D〕或等差数列，为其前项和，假设，且，那么〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕等差数列的前项和为，且，那么公差等于〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕设等比数列的前项和为，假设，那么〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕等比数列的和为定值，且公比为，令，那么的取值范围为A. B. C. D.等差数列中，，使得的最大正整数为A. B.C. D.随着市场的变化与生产本钱的降低，每隔年计算机的价格降低，那么年价格为元的计算机到年价格应为A.元 B.元 C.元 D.元数列{an}的通项an＝n2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos2\f(nπ,3)－sin2\f(nπ,3)))，其前n项和为Sn，那么S30为()A．470B．490C．495D．510数列{an}的通项an＝eq\f(n,n2＋90)，那么数列{an}中的最大值是()A．3eq\r(10)B．19C.eq\f(1,19)D.eq\f(\r(10),60)设数列{an}满足：a1＝2，an＋1＝1－eq\f(1,an)，记数列{an}的前n项之积为Tn，那么T2013的值为()A．－eq\f(1,2)B．－1C.eq\f(1,2)D．2数列{an}的前4项分别为2,0,2，0，…，那么以下各式不可以作为数列{an}的通项公式的一项为哪一项()A．an＝1＋(－1)n＋1B．an＝2sineq\f(nπ,2)C．an＝1－cosnπD．an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2，n为奇数，,0，n为偶数))等差数列的前n项和，假设，，那么=A．153B．182 C．242 D．数列的通项公式，那么数列的前10项和为A．B．C．D．为等比数列，是它的前项和。假设，且与2的等差中项为，那么等于A.31B.32C.33D.34一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18，那么它的第2项为A．4 B．8C．D．数列的通项公式，那么数列的前10项和为A．B．C．D．等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，假设=，那么=A． B． C．D．假设等比数列满足，那么前项=_____；数列{an}的前n项和为Sn＝n2－n＋1，它的通项公式an=________．数列中，，点且满足，那么.三个数成等比数列，那么公比_______________.数列{an}满足：an=(-1)nn，Sn为数列{an}的前n项和，那么S2023=．等差数列的前n项和为Sn,且，.记，如果存在正整数M，使得对一切正整数n，都成立.那么M的最小值是.,假设那么设等差数列的前项和为，假设那么.数列的前n项和满足，那么=.〔二〕解答数列的各项均为正数，为其前项和，对于任意的满足关系式.(1)求数列的通项公式；(2)设数列的通项公式是，前项和为，求证：对于任意的正数，总有.(1)解由得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2Sn＝3an－3，,2Sn－1＝3an－1－3))(n≥2)．……………2分故2(Sn－Sn－1)＝2an＝3an－3an－1，即an＝3an－1(n≥2)．故数列{an}为等比数列，且公比q＝3.……………4分又当n＝1时，2a1＝3a1－3，∴a1＝3.∴an＝3n.……………6分(2)证明∵bn＝eq\f(1,n(n＋1))＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1).……………8分∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,3)))＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋1)))…………10分＝1－eq\f(1,n＋1)<1.……………12分各项均为正数的数列，满足〔〕，且.〔1〕求数列的通项公式；〔2〕设,假设的前n项和为，求;〔3〕在〔2〕的条件下，求使成立的正整数n的最小值.解：〔1〕∵，∴,∵数列{}的各项均为正数，∴，∴，即〔〕，所以数列{}是以2为公比的等比数列.3分∵，∴数列{}的通项公式.6分〔2〕由〔1〕及=得，，8分∵，∴eq\o\ac(○,1)∴②②-eq\o\ac(○,1)得，=……………11分〔3〕要使S>50成立，只需2n+1-2>50成立，即2n+1>52，n5∴使S>50成立的正整数n的最小值为5.……………13分等差数列的前项和为，，〔1〕求数列的通项公式；〔2〕设，求数列的前n项和.解:〔1〕设的公差为d,那么3分即,解得,6分.8分(2)10分12分等差数列{}的前n项和记为Sn.〔1〕求通项；〔2〕假设Sn=242，求n.〔1〕由得方程组解得所以〔2〕由得方程解得等差数列的公差大于0，且是函数的两个零点，数列的前n项的和为，且．〔Ⅰ〕求数列，的通项公式；〔Ⅱ〕记,求证：．∴数列是等比数列，∴…………………8分〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知………………9分∴，即∴故………12分数列的前项和为.〔I〕求数列的通项公式；〔II〕假设，求数列的前项和解：〔I〕当时，，……3分当时，也适合上式，………5分∴.………………6分〔II〕由〔I〕知，.……8分==.…………12分设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，。〔=1\*ROMANI〕求，的通项公式；〔=2\*ROMANII〕求数列的前n项和．解：〔1〕设的公差为，的公比为，那么依题意有且由，解得，．∴，…5分．………………6分〔2〕．…7分，=1\*GB3①………8分，②………9分由②－①得………………10分===．…12分数列{an}是等差数列且a2=3，a4=5；数列{bn}的前n项和为Sn，且2Sn=3bn-3(nN*)．(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)求数列{anbn}的前n项和Tn.曲线C：的离心率为．(1)求an，(2)令，，求证：Tn<1．数列是等差数列，且，.〔Ⅰ〕求数列的通项公式；〔Ⅱ〕令，求数列前项和公式.解：〔Ⅰ〕设等差数列的公差为，由题意可得解得2分∴4分〔Ⅱ〕设的前项和为6分①②－②得10分化简得12分数列的前项和，.〔Ⅰ〕求数列的通项公式；〔Ⅱ〕设求数列的前项和.解：〔Ⅰ〕2分，∴∴4分∴是从第二项开始起的等比数列∴6分〔Ⅱ〕当时，7分当时，8分∴当时，9分当时，，11分令，∴12分在数列中，.〔Ⅰ〕求；〔Ⅱ〕设，求证：为等比数列；〔Ⅲ〕求的前项积.解：〔Ⅰ〕1分2分〔Ⅱ〕5分∴为等比数列，公比为6分〔Ⅲ〕设数列的前项和为8分∴，10分∴12分等差数列的首项，公差，且分别是正数等比数列的项.〔Ⅰ〕求数列与的通项公式；〔Ⅱ〕设数列对任意均有…成立，设的前项和为，求.数列前n项和为,且(Ⅰ)求数列的通项公式；(Ⅱ)假设,设,求数列的前n项和.解(1)时，………………2分时，………5分检验，上式对成立。∴………6分(2)…………………7分①②①-②，得：………………10分整理得：……12分数列{an}的前n项和Sn满足Sn＋1＝kSn＋2(n∈N*)，且a1＝2，a2＝1.(1)求k的值；〔2〕求证{Sn－4}为等比数列；(3)是否存在正整数m，n，使得eq\f(Sn－m,Sn＋1－m)<eq\f(1,2)成立？假设存在，求出这样的正整数；假设不存在，请说明理由．解：(1)由条件Sn＋1＝kSn＋2(n∈N*)，得S2＝kS1＋2，即a1＋a2＝ka1＋2，∵a1＝2，a2＝1，∴2＋1＝2k＋2，得k＝.………………4分〔2〕定义证明数列{Sn－4}是首项为－2，公比为的等比数列．∴Sn－4＝(－2)·n－1，即Sn＝4(n∈N*)．………………8分(3)由不等式<，得<，即<.令t＝2n(4－m)，那么不等式变为<，解得2<t<6，即2<2n(4－m)<6.………………10分假设存在正整数m，n，使得上面的不等式成立，由于2n为偶数，4－m为整数，那么只能是2n(4－m)＝4，∴或解得或于是，存在正整数m＝2，n＝1或m＝3，n＝2，使得<成立．………………13分数列的前项和为，,．(Ⅰ)求；〔Ⅱ〕求数列的通项；〔III〕求数列的前项和．解：(Ⅰ)；……………1分……………2分〔Ⅱ〕，，，…3分相减得，…4分,即……………5分对于也满足上式……………6分数列是首项为2，公比为的等比数列，…7分．……8分〔III〕……………9分……………10分相减得，…11分………12分…13分……………14分数列的前项和为，．〔Ⅰ〕求数列的通项公式；〔Ⅱ〕设求数列的前项和．解：〔Ⅰ〕当时，，∴2分当时，∴∴5分∴数列是首项为2，公比为2的等比数列∴7分〔Ⅱ〕9分11分∴13分数列的首项a1＝5，an＋1＝2an＋1，n∈N*.(1)证明：数列{an＋1}是等比数列；(2)求的通项公式以及前n项和。〔1〕，都成立…………4分又……………………5分所以数列{＋1}是首项为6，公比为2的等比数列．………………6分〔2〕由(1)得＋1＝6·2n－1，所以＝6·2n－1－1，………………8分于是Sn＝＝6·2n－n－6.…………12分三、不等式〔一〕选填变量满足约束条件,假设目标函数的最大值是A．6B．3C. D．1在以下函数中，最小值是的是A.B.C.D.不等式组表示的区域为D，点P(0，－2)，Q(0，0)，那么A.PD，且QD B.PD，且Q∈DC.P∈D，且QD D.P∈D，且Q∈D点(0，0)和点(1，1)在直线x+y=a的两侧，那么a的取值范围是A．a<0或a>2B．0≤a≤2C．a=2或a=0D．0<a<2假设M=x2+y2+1，N=2(x+y-1)，那么M与N的大小关系为A．M>NB．M<NC．M=ND．不能确定假设<0，那么以下不等式中，正确的有①a<b<0②|a|>|b|③<1④>2A．1个B．2个C．3个D．4个以下函数中，最小值为4的函数是()假设集合A={}，B＝{<0}，且，那么实数的取值范围是()A．1<<2B．1≤≤2C．1<<3D．1≤≤3设，，那么以下不等式成立的是A.B.C.D.假设变量x，y满足约束条件，那么目标函数z=x-2y的最大值是A．2B．4C．5D．6且，那么〔A〕有最大值2〔B〕有最大值4〔C〕有最小值3〔D〕等于4不等式的解集为(A)(B)(C)(D)矩形的边长满足，那么矩形面积的最大值为(A)3(B)6(C)8(D)9假设关于的不等式的解集为，那么实数的取值范围为(A)(B)(C)(D)不等式的解集为，那么实数的值为〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕，那么以下不等关系正确的选项是〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕点满足条件，那么的最小值为A. B.C.- D.不等式对一切R恒成立，那么实数的取值范围是 A. B. C. D.不等式f(x)＝ax2－x－c>0的解集为{x|－2<x<1}，那么函数y＝f(－x)的图象为图中的()给出以下命题：①a>b⇒ac2>bc2；②a>|b|⇒a2>b2；③a>b⇒a3>b3；④|a|>b⇒a2>b2.其中正确的命题是()A．①②B．②③C．③④D．①④且，那么A．有最大值2B．等于4C．有最小值3D．有最大值4变量x，y满足那么的最小值是A．4B．3C．2D．1不在<6表示的平面区域内的一个点是A.〔0，0〕 B.〔1，1〕 C.〔0，2〕 D.〔2，0〕变量x，y满足那么的最小值是A．4B．3C．2D．1且，那么A．有最大值2B．等于4C．有最小值3D．有最大值4集合，，那么______；实数x，y满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋6≥0，,x＋y≥0，,x≤3，))假设z＝ax＋y的最大值为3a＋9，最小值为3a－3，那么实数a的取值范围为________．不等式的解集为．设满足约束条件，假设目标函数的最大值为，那么的最小值为________________.正数满足，那么的最小值为_____________.设满足约束条件,那么的最大值为________________.假设不等式组表示的平面区域是一个三角形，那么的取值范围是_______.设变量x、y满足约束条件，那么目标函数的最小值为_______________.设变量x、y满足约束条件，那么目标函数的最小值为_______________.假设lgx+lgy=1，那么的最小值为____.正数满足，那么的最大值为______.假设不等式的解集是，那么的值为.〔二〕解答据市场分析,广饶县驰中集团某蔬菜加工点,当月产量在10吨至25吨时,月生产总本钱〔万元〕可以看成月产量〔吨〕的二次函数.当月产量为10吨时,月总本钱为20万元；当月产量为15吨时,月总本钱最低为17.5万元.〔1〕写出月总本钱〔万元〕关于月产量〔吨〕的函数关系；〔2〕该产品销售价为每吨1.6万元,那么月产量为多少时,可获最大利润；〔3〕当月产量为多少吨时,每吨平均本钱最低,最低本钱是多少万元？解：〔1〕〔〕……………2分将x=10，y=20代入上式得，20=25a+17.5，解得〔〕……………4分〔2〕设最大利润为那么……6分因为，所以月产量为23吨时，可获最大利润12.9万元.……………8分〔3〕……10分当且仅当，即时上式“=〞成立.…11分故当月产量为20吨时，每吨平均本钱最低，最低本钱为1万元.……………12分云南省镇雄县高坡村发生山体滑坡，牵动了全国人民的心，为了安置广阔灾民，救灾指挥部决定建造一批简易房,每间简易房是地面面积为100，墙高为3的长方体样式，简易房屋顶每1的造价为500元，墙壁每1的造价为400元.问怎样设计一间简易房的地面的长与宽，能使一间简易房的总造价最低？最低造价是多少？解：设地面的长为m,宽为2分那么总造价6分所以，当且仅当时，即x=10m时，y取得最小值.10分答：设计地面长宽均为10m时，造价最低，为98000元。12分二次函数.〔1〕假设对任意有恒成立，求实数的取值范围；〔2〕讨论函数在区间上的单调性；〔3〕假设对任意的，有恒成立，求实数的取值范围.解：〔1〕对任意恒成立…………2分解得的范围是〔2〕，其图象是开口向上的抛物线，对称轴方程为，讨论：=1\*GB3①当即时，在区间上单调递增；=2\*GB3②当即时，在区间上单调递减，在区间上单调递增；=3\*GB3③当即时，在区间上单调递增.〔3〕由题知，，，由〔2〕，或或解得某投资商到一开发区投资72万元建起了一座蔬菜加工厂，经营中，第一年支出12万元，以后每年支出增加4万元，从第一年起每年蔬菜销售收入50万元.设表示前n年的纯利润总和，〔f〔n〕=前n年的总收入–前n年的总支出–投资额72万元〕.〔=1\*ROMANI〕该厂从第几年开始盈利？〔=2\*ROMANII〕该厂第几年年平均纯利润到达最大？并求出年平均纯利润的最大值.解：由题意知……4分〔1〕由…………7分由知，从第三年开始盈利.…………8分〔2〕年平均纯利润…10分当且仅当n=6时等号成立.…………11分年平均纯利润最大值为16万元，即第6年，投资商年平均纯利润到达最大，年平均纯利润最大值16万元……12分山东省第23届省运会将于2023年在我市召开,为响应市政府减排降污号召，某设备制造厂2023年初用72万元购进一条车用尾气净化设备生产线，并立即投入生产．该生产线第一年维修保养费用12万元，从第二年开始，每年所需维修保养费用比上一年增加4万元，该生产线使用后，每年的年收入为50万元，设该生产线使用x年后的总盈利额为y万元．(1)写出y与x之间的函数关系式；(前x年的总盈利额=前x年的总收入-前x年的总维修保养费用-购置设备的费用)(2)从第几年开始，该生产线开始盈利(总盈利额为正值)；(3)到哪一年，年平均盈利额能到达最大值?此时工厂共获利多少万元?某生产企业于年初用98万元购进一套先进的生产线，并投入营运，第一年固定投入12万元，从第二年开始，包括维修保养在内，每年投入均比上一年增加4万元，该生产线投入运营后每年的收入为50万元，设投入生产年后，该生产线的盈利总额为万元.(Ⅰ)写出关于的函数关系式；(Ⅱ)该生产线几年后取得利润额的最大值？并求出该最大值？(Ⅲ)假设该企业方案在年平均利润取得最大值时淘汰该生产线，应在几年后淘汰？解：〔Ⅰ〕依题意，每年的投入是以12为首项，4为公差的等差数列，1分∴4分〔Ⅱ〕5分∴当时，所以，该生产线10年后取得利润的最大值102万.6分〔Ⅲ〕9分当且仅当时，即时等号成立11分所以按照方案，该生产线应该在7年后淘汰.12分设为正实数，函数.〔Ⅰ〕假设，求的取值范围；〔Ⅱ〕求的最小值；(Ⅲ)假设，求不等式的解集.解：〔Ⅰ〕假设，那么………2分〔Ⅱ〕当时，因为对称轴，所以……4分当时，因为对称轴，所以综上.………6分(Ⅲ)时，得，当即时，不等式的解为；………8分当△>0即时，得讨论：当时，解集为;………10分当时，解集为.………11分分17.〔本小题12分〕(1)函数y＝a1－x(a>0，a≠1)的图象恒过定点A，假设点A在直线mx＋ny－1＝0(m，n>0)上，求eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)的最小值；(2)假设正数a，b满足ab＝a＋b＋3，求ab的取值范围．17.解：(1)∵y＝a1－x(a>0，a≠1)的图象恒过定点A，∴A(1,1)．……………..2分又点A在直线mx＋ny－1＝0(m>0，n>0)上，∴m＋n＝1(m>0，n>0)．∴＋＝(m＋n)·＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当m＝n＝时，等号成立，∴＋的最小值为4…………6分(2)∵ab＝a＋b＋3，又a，b∈(0，＋∞)，∴ab≥2＋3.设＝t>0，………..…..8分∴t2－2t－3≥0.∴t≥3或t≤－1(舍去)．∴ab的取值范围是[9，＋∞)．…………..12分四、常用逻辑用语〔一〕选填以下命题是真命题的是A．“假设x=0，那么xy=0”的逆命题；B．“假设x=0，那么xy=0”C．“假设x>1，那么x>2”的逆否命题；D．“假设x=2，那么(x-2)(x-1)=0”x>0，那么“a=4"是“x+≥4”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件以下命题中为真命题的是①“假设，那么不全为零〞的否命题；②“等腰三角形都相似〞的逆命题；③“假设，那么不等式的解集为R〞的逆否命题。 A．①B．①③C．②③D．①②③命题，，那么：____________.“〞是“直线与圆相切〞的()．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件给出两个命题：的充要条件是为正实数；奇函数的图象一定关于原点对称，那么以下命题是假命题的是()．A．B．C．∧D．∨命题“如果都是奇数，那么必为奇数〞的逆否命题是〔A〕如果是奇数，那么都是奇数〔B〕如果不是奇数，那么不都是奇数〔C〕如果都是奇数，那么不是奇数〔D〕如果不都是奇数，那么不是奇数“〞是“〞的(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件以下四个命题是假命题的为(A)(B)(C)(D)命题，命题.那么命题是命题的〔A〕充分不必要条件〔B〕必要不充分条件〔C〕充要条件〔D〕既不充分也不必要条件假设，那么“〞是方程“〞表示双曲线的〔A〕充分不必要条件〔B〕必要不充分条件〔C〕充要条件〔D〕既不充分也不必要条件以下选项中与点位于直线的同一侧的是〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕假设“〞为真命题，那么以下命题一定为假命题的是〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕以下命题为真命题的是〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕命题，那么的否认形式为 A. B. C. D.以下命题中，真命题是()A．∃x0∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，sinx0＋cosx0≥2B．∀x∈(3，＋∞)，x2>2x＋1C．∃x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋x0＝－1D．∀x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，tanx>sinx“a＝b〞是“直线y＝x＋2与圆(x－a)2＋(y－b)2＝2相切〞的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件“〞是“〞的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件假设函数f〔x〕和g〔x〕的定义域、值域都是R，那么不等式f〔x〕>g〔x〕有解的充要条件是A．x∈R，f〔x〕>g〔x〕B．有无穷多个x〔x∈R〕，使得f〔x〕>g〔x〕C．x∈R，f〔x〕>g〔x〕D．{x∈R|f〔x〕≤g〔x〕}=设命题甲:的解集是实数集；命题乙:,那么命题甲是命题乙成立的A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既非充分又非必要条件以下命题中，真命题的有________。〔只填写真命题的序号〕①假设那么“〞是“〞成立的充分不必要条件；②假设椭圆的两个焦点为，且弦过点，那么的周长为③假设命题“〞与命题“或〞都是真命题，那么命题一定是真命题；④假设命题：，，那么：．假设函数f〔x〕和g〔x〕的定义域、值域都是R，那么不等式f〔x〕>g〔x〕有解的充要条件是A．x∈R，f〔x〕>g〔x〕B．有无穷多个x〔x∈R〕，使得f〔x〕>g〔x〕C．x∈R，f〔x〕>g〔x〕D．{x∈R|f〔x〕≤g〔x〕}=“a＜1〞是“〞的〔〕条件A．必要不充分B．充分不必要C．充分必要D．既不充分也不必要假设命题：，，那么：__；命题“〞的否认是．〔二〕解答命题：实数满足，其中，命题：实数满足或，且是的必要不充分条件，求的取值范围.解：设A＝{x|x2－4ax＋3a2＜0(a＜0)}＝{x|3a＜x＜B＝{x|x2－x－6≤0或x2＋2x－8＜0}＝{x|x2－x－6＜0}∪{x|x2＋2x－8＞0}＝{x|－2≤x≤3}∪{x|x＜－4或x＞2}＝{x|x＜－4或x≥－2}.…5分因为p是q的必要不充分条件，所以推不出p，由得……………8分或…………10分即－eq\f(2,3)≤a＜0或a≤－4.……………12分命题：方程的图象是焦点在轴上的双曲线；命题：方程无实根；又为真，为真，求实数的取值范围.解：∵方程是焦点在y轴上的双曲线，∴，即.故命题：；…………3分∵方程无实根，∴，即，∴.故命题：.…6分∵又为真，为真，∴真假.………………8分即，此时；……11分综上所述：.……12分，，设：函数在上单调递减；q：曲线与x轴交于不同的两点，如果p且q为假命题，p或q为真命题,求实数a的取值范围.解：由题意知p与q中有且只有一个为真命题，…………2分当0<a<1时，函数在〔0，+∞〕上单调递减；当，函数在〔0，+∞〕上不是单调递减；曲线与x轴交于两点等价于，即a<或a>.……4分〔1〕假设p正确，q不正确，即函数在〔0，+∞〕上单调递减，曲线与x轴不交于两点，故a∈，即a∈.………7分〔2〕假设p不正确，q正确，即函数在〔0,+∞〕上不是单调递减，曲线与x轴交于两点，因此a∈〔1,+∞〕∩〔〔0,〕∪〔,+∞〕〕，即a∈〔，+∞〕.……………10分综上，a取值范围为[，1)∪(，+∞).…………12分命题p：不等式4x2+4(m-2)x+1>0在R上恒成立；命题q：方程表示焦点在y轴上的椭圆．假设“且q"为真，求m的取值范围．命题：关于的不等式的解集为空集；命题：函数没有零点，假设命题为假命题，为真命题，求实数的取值范围.解：对于命题：∵的解集为空集∴，解得4分对于命题：没有零点等价于方程没有实数根①当时，方程无实根符合题意②当时，解得∴8分由命题为假命题，为真命题可知，命题与命题有且只有一个为真如下图所以的取值范围为12分给定两个命题,：对任意实数都有恒成立；：.如果∨为真命题，∧为假命题，求实数的取值范围．解：命题：恒成立当时，不等式恒成立，满足题意2分当时，，解得4分∴6分命题：解得8分∵∨为真命题，∧为假命题∴，有且只有一个为真，10分-10-10024如图可得或12分命题方程在上有解；命题不等式恒成立，假设命题“〞是假命题，求的取值范围．解：假设正确，易知知．的解为或．…………2分假设方程在上有解，只需满足或．…………4分即．……………6分假设正确，即不等式恒成立，那么有得．……………9分假设是假命题，那么都是假命题，有……………12分所以的取值范围是．……………13分给定两个命题,：对任意实数都有恒成立；：．如果∨为真命题，∧为假命题，求实数的取值范围．解：命题：恒成立当时，不等式恒成立，满足题意2分当时，，解得4分∴6分命题：解得9分∵∨为真命题，∧为假命题∴，有且只有一个为真，11分如图可得或13分命题p：方程x2－(2＋a)x＋2a＝0在[－1,1]上有且仅有一解；命题q：存在实数x使不等式x2＋2ax＋2a≤0成立．假设命题“p∧q〞是真命题，求a的取值范围．解：由x2－(2＋a)x＋2a＝0，得(x－2)(x－a)＝0，∴x＝2或x＝a…………………..2分又方程x2－(2＋a)x＋2a＝0在[－1,1]上有且仅有一解，∴－1≤a≤1.……….4分∵存在实数x满足不等式x2＋2ax＋2a≤0，∴Δ＝4a2－8a≥0，解得a≤0或a≥2.……….8分又∵命题“p∧q〞是真命题，∴命题p和命题q都是真命题．…………….10分∴a的取值范围为{a|－1≤a≤0}．………..12分五、圆锥曲线〔一〕选填设双曲线的一条渐近线与抛物线只有一个公共点，那么双曲线的离心率为〔〕〔A〕(B)(C)(D)椭圆的半焦距等于〔〕A．B．C．D．设双曲线的焦点在轴上，两条渐近线为，那么该双曲线的离心率〔〕A． B． C． D．方程与在同一坐标系中的大致图象是〔〕抛物线上一点的横坐标为4，那么点与抛物线焦点的距离为()A.2B.3 C.4D.与双曲线有共同的渐近线，且经过点P〔1，4〕的双曲线方程为 〔〕 A． B． C． D．椭圆方程,双曲线的焦点是椭圆的顶点,顶点是椭圆的焦点,那么双曲线的离心率〔〕A．B．C．2 D．3双曲线与椭圆的离心率互为倒数，那么〔〕A．B．C．D．一个动圆与定圆：相内切，且与定直线：相切，那么此动圆的圆心的轨迹方程是〔〕A．B．C．D．直线与曲线的交点个数为〔〕A．0B．1C．2D．3双曲线的渐近线为，且双曲线的焦点与椭圆的焦点相同，那么双曲线方程为〔〕 A． B． C． D．对于方程〔〕的曲线C，以下说法错误的选项是A．时，曲线C是焦点在y轴上的椭圆B．时，曲线C是圆C．时，曲线C是双曲线D．时，曲线C是椭圆设抛物线的焦点为F，准线为,P为抛物线上一点,PA⊥,A为垂足．如果直线AF的斜率为,那么|PF|等于A．B.8C.D.4、是椭圆的两个焦点，假设椭圆上存在点P使，那么A.B.C.D.设点是以为左、右焦点的双曲线左支上一点，且满足，那么此双曲线的离心率为〔〕A．B．C．D．椭圆+＝1(a>b>0)的离心率是，那么的最小值为〔〕yOxA．B．1C．D．2yOxBADC如图，椭圆的四个顶点BADC的四边形为菱形，假设菱形的内切圆恰好过焦点，那么椭圆的离心率是A．B．C．D．双曲线的实轴长和焦距分别为A．B．C．D．直线与双曲线仅有一个公共点，那么实数的值为A．1B．-1C直线与直线的距离为，那么的值为 A． B． C．10 D．假设双曲线的焦距为10，点在其渐近线上，那么双曲线的方程为A． B． C． D．方程表示的图形是 A．两条直线B．两条双曲线C．两个点 D．一条直线和一条双曲线直线与轴交于点，与直线交于点，椭圆以为左顶点，以为右焦点，且过点，当时，椭圆的离心率的范围是A．B．C．D．双曲线与抛物线有一个公共的焦点，且两曲线的一个交点为，假设，那么双曲线的渐近线方程为.A．B．C．D．设F是抛物线C1：(p＞0)的焦点，点A是抛物线与双曲线C2：(a＞0，b＞0)的一条渐近线的一个公共点，且AF⊥x轴，那么双曲线的离心率为()．A．2B．C．D．抛物线焦点坐标是 A．(，0)B．(，0) C．(0,)D．(0,)椭圆与双曲线有相同的焦点，那么的值是 A．B．1或－2 C．1或D．1方程，它们所表示的曲线可能是A．B． C．D．抛物线关于直线对称的抛物线的焦点坐标是〔〕A.(1,0)B.C.(0,1)D.设F是抛物线C1：(p＞0)的焦点，点A是抛物线与双曲线C2：(a＞0，b＞0)的一条渐近线的一个公共点，且AF⊥x轴，那么双曲线的离心率为()．A．2B．C．D．椭圆的焦距等于(A)1(B)2(C)(D)4抛物线的准线方程为，那么的值为(A)(B)(C)(D)倾斜角为60o的直线l过抛物线y2=4x的焦点F，且与该抛物线相交于A、B两点，那么|AB|等于A．B．C．D．16M为椭圆上一点，Fl为椭圆的一个焦点且|MF1|=2，N为MF1的中点，O为坐标原点，那么|ON|等于A．2B．4C．6D．8抛物线的焦点是〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕椭圆的长轴长是短轴长的倍，那么椭圆的离心率等于〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕设是双曲线的两个焦点，是上一点，假设，且的最小内角为，那么的离心率为A. B.C. D.准线为的抛物线的标准方程为〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕直线l:x－2y+2=0过椭圆的左焦点F和一个顶点B,那么该椭圆的离心率为〔〕 A. B. C. D.抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，抛物线的准线与轴的交点为，点在抛物线上且，那么△的面积为〔〕A．4B．8 C．16D的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．不充分不必要条件假设是过椭圆中心的一条弦，是椭圆上任意一点，且与两坐标轴均不平行，分别表示直线的斜率，那么＝()A、B、C、D、设P是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,9)＝1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x－2y＝0，F1，F2分别是双曲线的左，右焦点，假设|PF1|＝3，那么|PF2|＝()A．1或5B．6C．7D．9设F1，F2是椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线x＝eq\f(3a,2)上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，那么E的离心率为()A.eq\f(1,2)B.eq\f(2,3)C.eq\f(3,4)D.eq\f(4,5)抛物线的焦点F与双曲的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上且，那么A点的横坐标为(A)(B)3(C)(D)4设椭圆的左、右焦点分别为是上的点，，那么椭圆的离心率为A．B．C．D．设抛物线的焦点为F，准线为,P为抛物线上一点,PA⊥,A为垂足．如果直线AF的斜率为,那么|PF|等于A．B.8C.D.4、是椭圆的两个焦点，假设椭圆上存在点P使，那么A.B.C.D.与圆及圆都外切的动圆的圆心在A.一个圆上B.一个椭圆上C.双曲线的一支上D.一条抛物线上设P是双曲线EQ\f(x2,a2)－\f(y2,b2)＝1(a＞0,b＞0)上的点，F1、F2是焦点，双曲线的离心率是EQ\f(5,4)，且∠F1PF2＝90°，△F1PF2面积是9，那么a+b＝〔〕A.4B.5C.6D.7椭圆的一个焦点坐标是A．〔3，0〕B．〔0，3〕C．〔0，1〕D．〔1，0〕双曲线的渐近线的方程是〔〕A．B．C．D．设椭圆的左、右焦点分别为是上的点，，那么椭圆的离心率为A．B．C．D．假设是2和8的等比中项，那么圆锥曲线的离心率是〔〕 A． B． C．或 D．如果方程表示双曲线，那么实数的取值范围是〔〕A.B.或C.D.或抛物线的焦点坐标为〔〕A.〔0，〕 B.〔，0〕 C.〔0,4〕 D.〔0,2〕假设抛物线的焦点在圆上，那么．假设抛物线的焦点坐标为〔1,0〕那么准线方程为_____；假设抛物线x2＝ay过点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,4)))，那么点A到此抛物线的焦点的距离为________．过点且和抛物线相切的直线方程为.双曲线的渐近线方程为____________________.在直角坐标系中任给一条直线，它与抛物线交于两点，那么的取值范围为________________.椭圆的离心率等于，且与双曲线有相同的焦距，那么椭圆的标准方程为________________________.以下四个命题：①假设，那么；②，的最小值为；③椭圆比椭圆更接近于圆；④其中真命题的序号为________________.(写出所有真命题的序号)是过抛物线焦点的一条弦，，那么直线的方程为____________________________.假设双曲线的一条渐近线方程为y=2x，那么该双曲线的离心率是．动圆的圆心在抛物线y2=4x上，且动圆恒与直线x+1=0相切，那么动圆必过定点．假设双曲线的离心率为，那么两条渐近线的方程为________________.巳知椭圆的中心在坐标原点，长轴在轴上，离心率为，且上一点到的两个焦点的距离之和为12，那么椭圆的方程为某海域内有一孤岛，岛四周的海平面〔视为平面〕上有一浅水区〔含边界〕，其边界是长轴长为2a，短轴长为2b的椭圆，岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为，且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上，现有船只经过该海域〔船只的大小忽略不计〕，在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为，那么船只已进入该浅水区的判别条件是.点P及抛物线，Q是抛物线上的动点，那么的最小值为．关于双曲线，有以下说法：①实轴长为6；②双曲线的离心率是；③焦点坐标为；④渐近线方程是，⑤焦点到渐近线的距离等于3.正确的说法是.〔把所有正确的说法序号都填上〕双曲线C：eq\f(x2,4)－eq\f(y2,m)＝1的开口比等轴双曲线的开口更开阔，那么实数m的取值范围是________．双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线上，且PF2⊥x轴，那么F2到直线PF1的距离为．直线的倾斜角的余弦值为______________________．如图，某探照灯反光镜的纵切面是抛物线的一局部，光源安装在焦点上，且灯的深度等于灯口直径，且为64，那么光源安装的位置到灯的顶端的距离为____________．给出以下命题： 〔1〕设、为两个定点，为非零常数，，那么动点的轨迹为双曲线； 〔2〕假设等比数列的前项和，那么必有； 〔3〕假设的最小值为2；〔4〕曲线与曲线〔且〕有相同的焦点；〔5〕平面内到定点的距离等于到定直线的距离的点的轨迹是抛物线. 其中正确命题的序号是.〔二〕解答椭圆：的离心率为，右焦点为(，0)．(1)求椭圆的方程；(2)过原点作两条互相垂直的射线，与椭圆交于，两点，求证：点到直线的距离为定值；(3)在〔2〕的条件下，求面积的最大值．解：〔1〕…………3分〔2〕设，，假设k存在，那么设直线AB：y＝kx＋m.由，得……………5分＞0，……………6分有OA⊥OB知x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＝0………8分代入，得4m2＝3k2＋3原点到直线AB的距离d＝当AB的斜率不存在时，,可得，依然成立．所以点O到直线的距离为定值……………10分说明：直接设直线OA的斜率为K相应给分〔3〕＝＝≤4…12分当且仅当，即时等号成立.……………13分当斜率不存在时，经检验|AB|＜2.所以≤综合得：面积的最大值为………14分椭圆C:及直线L:.〔1〕当直线L和椭圆C有公共点时，求实数m的取值范围；〔2〕当直线L被椭圆C截得的弦最长时，求直线L所在的直线方程.解：由方程组消去y，整理得…2分∴△(1)因为直线和椭圆有公共点的充要条件是△，即，解之得(2)设直线L和椭圆C相交于两点A(x1,y1),B(x2,y2)由韦达定理得……8分∴弦长|AB|===，……10分∴当m=0时，|AB|取得最大值，此时直线L方程为．椭圆的右焦点为，为上顶点，为坐标原点，假设△的面积为，且椭圆的离心率为．〔1〕求椭圆的方程；〔2〕是否存在直线交椭圆于，两点，且使点为△的垂心？假设存在，求出直线的方程；假设不存在，请说明理由．解：〔1〕由题意可得，解得，，故椭圆方程为．〔2〕假设存在直线交椭圆于，两点，且为△的垂心，设，因为，，故．于是设直线的方程为，由得．由，得，且,．由题意应有，又，故，得．即．整理得．Ks5u解得或．经检验，当时，△不存在，故舍去．Ks5u当时，所求直线存在，且直线的方程为．EQA,B分别是直线EQy＝\F(\R(,3),3)x和EQy＝－\F(\R(,3),3)x上的两个动点，线段EQAB的长为EQ2\R(,3)，EQP是EQAB的中点．〔1〕求动点EQP的轨迹EQC的方程；〔2〕过点EQQ(1,0)任意作直线EQm〔与EQx轴不垂直〕，设EQm与〔1〕中轨迹EQC交于EQM，EQN两点，与EQy轴交于EQR点．假设EQ\o\ac(\S\UP7(→),RM)＝λEQ\o\ac(\S\UP7(→),MQ)，EQ\o\ac(\S\UP7(→),RN)＝µEQ\o\ac(\S\UP7(→),NQ)，证明：λ+µ为定值．解：〔1〕设，，．∵是线段的中点，∴∵分别是直线和上的点，∴和．∴…………3分又，∴．∴，∴动点的轨迹的方程为．…………5分〔2〕依题意，直线的斜率存在，故可设直线的方程为．…………6分设、、，那么两点坐标满足方程组消去并整理，得，…………8分椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq\f(\r(3),2)，以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T：(x＋2)2＋y2＝r2(r>0)，设圆T与椭圆C交于点M与点N.(1)求椭圆C的方程；(2)求eq\x\to(TM)·eq\x\to(TN)的最小值，并求此时圆T的方程；(3)设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O为坐标原点，求证：eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(OR))·eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(OS))为定值.解：(1)依题意，得a＝2，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2)，∴c＝eq\r(3)，b＝eq\r(a2－c2)＝1；故椭圆C的方程为eq\f(x2,4)＋y2＝1.(3分)(2)方法一：点M与点N关于x轴对称，设M(x1，y1)，N(x1，－y1)，不妨设y1>0.由于点M在椭圆C上，所以yeq\o\al(2,1)＝1－eq\f(x\o\al(2,1),4).(*)(4分)由T(－2,0)，那么eq\x\to(TM)＝(x1＋2，y1)，eq\x\to(TN)＝(x1＋2，－y1)，∴eq\x\to(TM)·eq\x\to(TN)＝(x1＋2，y1)·(x1＋2，－y1)＝(x1＋2)2－yeq\o\al(2,1)＝(x1＋2)2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x\o\al(2,1),4)))＝eq\f(5,4)xeq\o\al(2,1)＋4x1＋3＝eq\f(5,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1＋\f(8,5)))2－eq\f(1,5).(6分)由于－2<x1<2，故当x1＝－eq\f(8,5)时，eq\x\to(TM)·eq\x\to(TN)取得最小值为－eq\f(1,5).由(*)式，y1＝eq\f(3,5)，故Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8,5)，\f(3,5)))，又点M在圆T上，代入圆的方程得到r2＝eq\f(13,25).故圆T的方程为：(x＋2)2＋y2＝eq\f(13,25).(8分)(3)方法一：设P(x0，y0)，那么直线MP的方程为：y－y0＝eq\f(y0－y1,x0－x1)(x－x0)，令y＝0，得xR＝eq\f(x1y0－x0y1,y0－y1)，同理：xS＝eq\f(x1y0＋x0y1,y0＋y1)，(10分)故xR·xS＝eq\f(x\o\al(2,1)y\o\al(2,0)－x\o\al(2,0)y\o\al(2,1),y\o\al(2,0)－y\o\al(2,1))(**)(11分)又点M与点P在椭圆上，故xeq\o\al(2,0)＝4(1－yeq\o\al(2,0))，xeq\o\al(2,1)＝4(1－yeq\o\al(2,1))，(12分)代入(**)式，得：xR·xS＝eq\f(4(1－y\o\al(2,1))y\o\al(2,0)－4(1－y\o\al(2,0))y\o\al(2,1),y\o\al(2,0)－y\o\al(2,1))＝eq\f(4(y\o\al(2,0)－y\o\al(2,1)),y\o\al(2,0)－y\o\al(2,1))＝4.所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(OR))·eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(OS))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(xR))·eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(xS))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(xR·xS))＝4为定值在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为,右顶点为,设点.〔1〕求该椭圆的标准方程；〔2〕假设是椭圆上的动点，求线段中点的轨迹方程；〔3〕过原点的直线交椭圆于点，求面积的最大值。解：(1)由得椭圆的半长轴a=2,半焦距c=,那么半短轴b=1.又椭圆的焦点在x轴上,∴椭圆的标准方程为(2)设线段PA的中点为M(x,y),点P的坐标是(x0,y0),由x=得x0=2x－1y=y0=2y－又点P在椭圆上,得,∴线段PA中点M的轨迹方程是(3)当直线BC垂直于x轴时,BC=2,因此△ABC的面积S△ABC=1.当直线BC不垂直于x轴时,设该直线方程为y=kx,代入,解得B(,),C(－,－),那么,又点A到直线BC的距离d=,∴△ABC的面积S△ABC=于是S△ABC=由≥－1,得S△ABC≤,其中,当k=－时,等号成立.∴S△ABC的最大值是在平面直角坐标系O中，直线与抛物线＝2相交于A、B两点。〔1〕求证：命题“如果直线过点T〔3，0〕，那么＝3”是真命题；〔2〕写出〔1〕中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由。〔1〕设过点T(3,0)的直线l交抛物线=2x于点A(x1,y1)、B(x2,y2).当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=3,此时,直线l与抛物线相交于A(3,)、B(3,－)，∴当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x－3),其中k≠0.得ky2－2y－6k=0,那么y1y2=－6.又∵x1=y12,x2=y22,∴=x1x2+y1y2==3.综上所述,命题“〞是真命题.〔2〕逆命题是：“设直线l交抛物线y2=2x于A、B两点,如果,那么该直线过点T(3,0).〞…10分，该命题是假命题.例如：取抛物线上的点A(2,2),B(,1),此时=3,直线AB的方程为y=(x+1),而T(3,0)不在直线AB上.yAyABO·Mx离心率为．〔1〕求椭圆方程；〔2〕设椭圆在y轴的正半轴上的焦点为M，又点A和点B在椭圆上，且M分有向线段所成的比为2，求线段AB所在直线的方程．解：〔1〕，，，．所以，所求椭圆方程为〔2〕设，，由题意可知直线AB的斜率存在，设过A，B的直线方程为那么由得故，由M分有向线段所成的比为2，得，……8分消x2得解得，所以，双曲线与椭圆共焦点，且以为渐近线。〔1〕求双曲线方程．〔2〕求过双曲线右焦点且倾斜角为的直线方程〔1〕椭圆的焦点坐标为,设双曲线方程为那么渐近线方程为所以解得那么双曲线方程为〔2〕直线的倾斜角为直线的斜率为，故直线方程为即椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq\f(\r(3),2)，以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T：(x＋2)2＋y2＝r2(r>0)，设圆T与椭圆C交于点M与点N.(1)求椭圆C的方程；(2)求eq\x\to(TM)·eq\x\to(TN)的最小值，并求此时圆T的方程；(3)设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O为坐标原点，求证：eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(OR))·eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(OS))为定值.(1)依题意，得a＝2，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2)，∴c＝eq