高中数学 必修四 知识点总结

必修四知识点总结

《必修四知识点总结》

第一章：三角函数知识要点

一、任意角和弧度制

正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角

2、象限角：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。

k360第二象限角的集合为：第一象限角的集合为：k360k36090,k90k360180,kZ

第三象限角的集合为：k360180k360270,k第四象限角的集合为：k360270k360360,k

终边在x轴上的角的集合为：k180,k

终边在y轴上的角的集合为：k18090,k终边在坐标轴上的角的集合为：k90,k

与角终边相同的角的集合为：k360,k

3、弧度制：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．半径为r的圆的圆心角所对弧的长为l，则角的弧度数的绝对值是

lr180（1）弧度制与角度制的换算公式：2360，1，157.3180

（2）若扇形的圆心角为为弧度制，半径为r，弧长为l，周长为C，面积为S，则

11lr，C2rl，Slrr2．22

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二、任意角的三角函数的定义：

设点P

x,y是角终边上异于原点的任一点，

rOP

sin

则yxy;costanx0.rrx

★三角函数在各象限的符号：（一全正、二正弦、三正切、四余弦）

★各象限角的三角函数线：sin，cos，tan．

三、同角的三角函数关系：

平方关系：sincos1；22

商数关系：sintank,kZ（用于切化弦）cos2

2变形应用：sinxcosx12sinxcosx（正余弦“三兄妹—sinxcosx、sinxcosx”

的内存联系-----“知一求二”）

★特别提醒：平方关系一般为隐含条件，直接运用。注意“1”的代换

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四、诱导公式：

sin(x)sinxsin(2kx)sinxsin(x)sinxⅠ）cos(2kx)cosxⅡ）cos(x)cosxⅢ）cos(x)cosxtan(x)tanxtan(2kx)tanxtan(x)tanx

sin(x)sinxsin()cos)cos22Ⅳ）cos(x)cosxⅤ）Ⅵ）

tan(x)tanx)sin)sin22

十字决：“奇变偶不变，符号看象限”

说明：⑴将“”始终视为锐角；。

⑵“奇，偶”指的是除外的角是90或

的奇数倍或偶数倍；2

⑶“变，不变”指的是函数名的变或不变；

⑷“符号”指的是原函数的正负号，看象限指的是“”内整体角所在的象限。

特殊角的三角函数值：

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五、三角函数的图像及其性质

1、周期函数定义：对于函数f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f(xT)f(x)都成立，那么就把函数f(x)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。（注意：并非所有函数都有最小正周期，如：常数函数）①ysinx与ycosx的周期是.

2②ysin(x)或ycos(x)（0）的周期T.

③yAtan(x)的周期为T

2、正弦、余弦、正切函数的图像及其性质（见下页表格）

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六、函数yAsin(x)的图像和性质

(1)几个物理量：A-----振幅；f

1

-----频率（周期的倒数）；x-----相位；-----初相；T

(2)函数yAsin(x)表达式的确定：A由最值确定；由周期确定；由图象上的特殊点确定；

(3)函数yAsin(x)图象的画法：

①“五点法”------设Xx，令X＝0，

2

,,

3

,2求出相应的x值，计算得出五点的坐标，描2

点后得出图象；②图象变换法：这是作函数简图常用方法。用“五点法”画yAsinx的图像：

(4)图像的变换：由ysinx变换得到yAsinx(A0,0)

0,向左平移个单位

ysinx1ysinx0,向右平移个单位

ysinxysinx

A1,纵坐标伸长为原来的A倍，横坐标不变

ysinxyAsinx0A1,纵坐标缩短为原来的A倍，横坐标不变

1,横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变

1

01,倍，纵坐标不变

1

ysinx2ysinx

1,横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变

1

01,横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变

1

ysinxysinxsinx

A1,纵坐标伸长为原来的A倍，横坐标不变

ysinxyAsinx0A1,横坐标缩短为原来的A倍，横坐标不变

0,图像向左平移个单位

0,图像向右平移个单位

(5)函数yAsinx的性质：

将x看做整体，利用复合函数的性质处理与yAsinx有关的问题.

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第二章：平面向量知识要点

一、平面向量的有关概念：

（1）向量的定义：既有____大小又有方向_________的量叫做向量.

（2）表示方法：用有向线段来表示向量.有向线段的____长度_____表示向量的大小，用_____箭头所指的方向____表示向量的方向.用字母a，b，„或用AB，BC，„表示.特别提醒：

1)模：向量的长度叫向量的模，记作|a|或|AB|.

2)零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0；零向量的方向不确定.3)单位向量：长度为1个长度单位的向量叫做单位向量.

4)共线向量：方向相同或相反的向量叫共线向量，规定零向量与任何向量共线.5)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫相等的向量.

6)相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量

二、向量的线性运算

1.向量的加法：

（1）定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.

如图，已知向量a，bA，作ABa，BCb，则向量叫做a与b的和，记

作a+b，即a+bABBCAC

B

A

B

(1)

对于零向量与任一向量a，有a00aa

（2）法则：____三角形法则_______，_____平行四边形法则____（3）运算律：，（a+b）+c=a+（b+c）

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2.向量的减法：

（1）定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法.

已知向量a、b，求作向量

∵(ab)+b=a+(b)+b=a+0=a

减法的三角形法则作法：在平面OB=b,则BA=ab

即ab可以表示为从向量b的终点指向向量a（2）法则：____三角形法则_______

3.实数与向量的积：

（1）定义：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，规定：|λa|=|λ||a|.当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ=0时，λa与a平行.

（2）运算律：λ（μa）=（λμ）a，（λ+μ）a=λa+μa，λ（a+b）=λa+λb.

特别提醒：

1)向量的加、减及其与实数的积的结果仍是向量。

2)向量共线定理：

向量b与非零向量a共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使得b=λa，即b∥ab=λa（a≠0）.

三、平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面

(1)我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；

(2)基底不惟一，关键是不共线；

(3)由定理可将任一向量a在给出基底e1、e2的条件下进行分解；

(4)λ1，λ2是被a，e1，e2唯一确定的数量

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四、平面向量的坐标表示

如图，在直角坐标系ab=(x1x2,y1y2)（2）若A(x1,y1)，B(x2,y2)，则ABx2x1,y2y1

（3）若a(x,y)和实数，则a(x,y)

六、向量平行的充要条件的坐标表示

设a=(x1,y1)，b=(x2,y2)其中ba，则a∥b(b)的充要条件是x1y2x2y10

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七、平面向量的数量积

1．两个非零向量夹角的概念

已知非零向量a与b，作OA＝a，OB＝b，则AOB(0)叫a与b的夹角.

特别提醒：求夹角时向量a与向量b要同起点。

2．平面向量数量积（|a||b|cos叫a与b的数量积，记作ab，

即有ab=|a||b|cos

特别提醒：

（1）（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为（2）两个向量的数量积的性质：

设a、b为两个非零向量，

3．“投影”的概念：如图

定义：|b|cos叫做向量b在a特别提醒：

投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当=0时投影为|b|；当=180时投影为|b

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4．平面向量数量积的运算律

交换律：ab=ba

数乘结合律：(a)b=(ab)=a(b)

分配律：(a+b)c=ac+bc

特别提醒：

（1）结合律不成立：abcabc

（2）消去律不成立：abac不能得到bc

（3）ab=0不能得到a=0或b=0

5．平面两向量数量积的坐标表示

已知两个非零向量a(x1,y1)，b(x2,y2)，设i是x轴上的单位向量，j是y轴上的单位向量，

那么ax1iy1j，bx2iy2j所以abx1x2y1y2

6.向量垂直的判定：设a(x1,y1)，b(x2,y2)，则abx1x2y1y20

ab7.两向量夹角的余弦（0）：cos=|a||b|x1x2y1y2

x1y122x2y222

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第三章：三角恒等变换知识要点

一、两角和差的三角函数公式：

（1）sinsincoscossin;