高中数学必修二《第八章 立体几何初步》复习教案

高中数学必修二《第八章立体几何初步》复习教案

《8.1基本立体图形》复习教案

第1课时棱柱、棱锥、棱台的结构特征

学习目标核心素养

1.通过对实物模型的观察，归纳认知棱柱、棱

锥、棱台的结构特征.（重点）

通过空间几何体概念的学习，培

2.理解棱柱、棱锥、棱台之间的关系.（难点）

养直观想象、逻辑推理的核心素

3.能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征描述

养.

现实生活中简单物体的结构和有关计算.（易

混点）

【自主预习】

口新知初探1

1.空间几何体

类别多面体旋转体

一条平面曲线（包括直线）绕它所在平面内的

一般地，由若干个平面

定义一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，

多边形围成的几何体

封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体

面果轴~~{

,0

,

图形

Fi

2.棱柱、棱锥、棱台的结构特征

（1）棱柱的结构特征

一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四

定义

边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱

底面：两个互相平行的面；

图示及

侧面：底面以外的其余各面；

相关概::舒

侧棱：相邻侧面的公共边；

念

顶点：侧面与底面的公共顶点

分类按底面多边形的边数分：三棱柱，四棱柱，…

思考1:棱柱的侧面一定是平行四边形吗？

［提示］根据棱柱的概念可知，棱柱侧面一定是平行四边形.

(2)棱柱的分类

直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱.

斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱.

正棱柱：底面是正多边形的直棱柱.

平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱.

(3)棱锥的结构特征

有一面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面

定义

所围成的多面体叫做棱锥

底面：多边形面；

图示及项点

侧校/•\\侧面侧面：有公共顶点的各三角形面；

相关概

Z<k,-\--\c侧棱：相邻侧面的公共边；

//M底面

念AR

顶点：各侧面的公共顶点

按底面多边形的边数分:三棱锥，四棱锥，…，其中三棱锥又叫四面

分类体，底面是正多边形,并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥

叫正棱锥

思考2：有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体一定是棱锥吗？

［提示］不一定.因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是

有一个公共顶点的三角形”.

(4)棱台的结构特征

用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分

定义

叫做棱台

上底面：原棱锥的截面；

东下底面：原棱锥的底面；

图示及相关

岫小A侧面：除上下底面以外的面；

概念

小七/下底而

侧棱：相邻侧面的公共边；

d点

顶点：侧面与上（下）底面的公共顶点

分类由几棱锥截得，如三棱台、四棱台、…

思考3：棱台的上下底面互相平行，各侧棱延长线一定相交于一点吗？

[提示]根据棱台的定义可知其侧棱延长线一定交于一点.

r~^初试身在

1.在三棱锥48"中，可以当作棱锥底面的三角形的个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

D[每个三角形都可以作为底面.]

2.下面说法中，正确的是（）

A.上下两个底面平行且是相似的四边形的几何体是四棱台

B.棱台的所有侧面都是梯形

C.棱台的侧棱长必相等

D.棱台的上下底面可能不是相似图形

B[由棱台的结构特点可知，A、C、D不正确.故B正确.]

3.下面属于多面体的是（填序号）.

①建筑用的方砖；②埃及的金字塔；③茶杯；④球.

①②[①②属于多面体，③④属于旋转体.]

【合作探究】

出型L棱柱的结构特征

【例1】（D下列命题中，正确的是（）

A.有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱

B.棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面

C.棱柱的侧面是平行四边形，但底面不是平行四边形

D.棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形

(2)如图所示，长方体48屹

①这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？

②用平面形沏/把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗?

若是，请指出它们的底面.

(DD［由棱柱的定义可知，只有D正确，分别构造图形如下：

①②③

图①中平面被Q与平面4AG〃平行，但四边形/版与4AG〃不全等，故

A错；图②中正六棱柱的相对侧面/的4与友暇名平行，但不是底面，B错；图

③中直四棱柱底面力腼是平行四边形，C错，故选D.］

(2)［解］①长方体是四棱柱.因为它有两个平行的平面口与平面4身。〃，

其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行，这符合棱柱的

定义.

②用平面比沏/把这个长方体分成两部分，其中一部分，有两个平行的平面

83〃与平面⑶M其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平

行，这符合棱柱的定义，所以是三棱柱，可用符号表示为三棱柱BBMCCN同理，

另一部分也是棱柱，可以用符号表示为四棱柱ABMArDCND,.

规律方法

有关棱柱结构特征问题的解题策略：

(1)有关棱柱概念辨析问题应紧扣棱柱定义：

①两个面互相平行；

②其余各面是四边形；

③相邻两个四边形的公共边互相平行.求解时，首先看是否有两个面平行,

再看是否满足其他特征.

(2)多注意观察一些实物模型和图片便于反例排除.

领跟踪训练.

1.下列关于棱柱的说法箱送的是()

A.所有棱柱的两个底面都平行

B.所有的棱柱一定有两个面互相平行，其余每相邻面的公共边互相平行

C.有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体一定是棱柱

D.棱柱至少有五个面

C[对于A、B、D,显然是正确的；对于C,棱柱的定义是这样的：有两个

面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，

由这些面围成的几何体叫做棱柱，显然题中漏掉了“并且每相邻两个四边形的公

共边都互相平行”这一条件，因此所围成的几何体不一定是棱柱.如图所示的几

何体就不是棱柱，所以C错误.]

鼠类型2——、-棱锥、棱-台--的--结-构--特-征------

【例2】(1)下列关于棱锥、棱台的说法：

①棱台的侧面一定不会是平行四边形；

②棱锥的侧面只能是三角形；

③由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；

④棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.

其中正确说法的序号是.

(2)判断如图所示的几何体是不是棱台，为什么？

⑴①②③[①正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形;②正确,

由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形；③正确，由四个面围成的封闭图形只

能是三棱锥；④错误，如图所示，四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥.］

(2)［解］①②③都不是棱台.因为①和③都不是由棱锥所截得的，故①③

都不是棱台，虽然②是由棱锥所截得的，但截面不和底面平行，故不是棱台，只

有用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分才是棱台.

规律方法

关于棱锥、棱台结构特征题目的判断方法：

(1)举反例法

结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法

不正确.

(2)直接法

棱锥棱台

定底面只有一个面是多边形，此面即为底面两个互相平行的面，即为/氐面

看侧棱相交于一点延长后相交于一点

2.如图所示，观察以下四个几何体，其中判断正确的是()

A.①是棱台B.②是圆台

C.③是棱锥D.④不是棱柱

C［图①中的几何体不是由棱锥截来的，且上、下底面不是相似的图形，所

以①不是棱台；图②中的几何体上、下两个面不平行，所以②不是圆台；图③中

的几何体是棱锥.图④中的几何体前、后两个面平行，其他面是平行四边形，且

每相邻两个平行四边形的公共边平行，所以④是棱柱.故选C.］

沙型3多面体的表面展开图

［探究问题］

1.棱柱的侧面展开图是什么图形？正方体的表面展开图又是怎样的？

［提示］棱柱的侧面展开图是平行四边形；正方体的表面展开图如图:

(不止一种)

2.棱台的侧面展开图又是什么样的？

［提示］棱台的侧面展开图是多个相连的梯形.

［例3］(1)某同学制作了一个对面图案均相同的正方体礼品盒，如图所

示，则这个正方体礼品盒的平面展开图应该为(对面是相同的图案)()

［思路探究］(1)正方体的平面展开图今以其中一个面不动把其他面展开.

(2)常见几何体的定义与结构特征,空间想象或动手制作平面展开图进行实

践.

⑴A［由选项验证可知选A.］

(2)［解］图①中，有5个平行四边形，而且还有两个全等的五边形，符合

棱柱特点；图②中，有5个三角形，且具有共同的顶点，还有一个五边形，符合

棱锥特点；图③中，有3个梯形，且其腰的延长线交于一点，还有两个相似的三

角形，符合棱台的特点.把平面展开图还原为原几何体，如图所示：所以①为五

棱柱，②为五棱锥，③为三棱台.

［母题探究］

1.将本例(1)中改为：水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上

面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的平面展开图(图中数字写在

正方体的外表面上)，若图中“0”上方的“2”在正方体的上面，则这个正方体

的下面是()

C.快D.乐

［将图形折成正方体知选B.］

将本例(2)的条件改为：一个几何体的平面展开图如图所示.

(1)该几何体是哪种几何体？

⑵该几何体中与“祝”字面相对的是哪个面？“你”字面相对的是哪个

面？

［解］(1)该几何体是四棱台.

⑵与“祝”相对的面是“前”，与“你”相对的面是“程”.

规律方法

多面体展开图问题的解题策略

(1)绘制展开图：绘制多面体的表面展开图要结合多面体的几何特征，发挥

空间想象能力或者是亲手制作多面体模型.在解题过程中，常常给多面体的顶点

标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其表面展

开图.

(2)由展开图复原几何体：若是给出多面体的表面展开图，来判断是由哪一

个多面体展开的，则可把上述过程逆推.同一个几何体的表面展开图可能是不一

样的，也就是说，一个多面体可有多个表面展开图.

口■课堂小结工

1.在理解的基础上，要牢记棱柱、棱锥、棱台的定义，能够根据定义判断

几何体的形状.

2.棱柱、

上底面缩小

为一个点

顶点拓展为与//-

底面平行但不xL

全等的上底面棱锥

【课堂达标练习】

1.判断正误

⑴棱柱的侧面都是平行四边形.()

(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥.()

⑶用一平面去截棱锥底面和截面之间的部分叫棱台.()

［答案］⑴V(2)X(3)X

2.有一个多面体，共有四个面围成，每一个面都是三角形，则这个几何体

为()

A.四棱柱B.四棱锥

C.三棱柱D.三棱锥

D[根据棱锥的定义可知该几何体是三棱锥.]

3.下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是()

ABCD

D[A,B,C中底面多边形的边数与侧面数不相等.]

4.一个棱柱至少有个面，顶点最少的一个棱台有条侧棱.

53[面最少的棱柱是三棱柱，它有5个面；顶点最少的一个棱台是三棱

台，它有3条侧棱.]

5.画一个三棱台，再把它分成：

(1)一个三棱柱和另一个多面体；

(2)三个三棱锥，并用字母表示.

[解]画三棱台一定要利用三棱锥.

(D如图①所示，三棱柱是棱柱A'B'C-AT，另一个多面体是

B'CCBB"C".

⑵如图②所示，三个三棱锥分别是4'比；

B'-A'BC,C-A'B'C.

第2课时圆柱、圆锥、圆台、球与简单组合体的结构特征

学习目标核心素养

1.了解圆柱、圆锥、圆台、球的定义.通过学习有关旋转体的结

2.掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征.(重点)构特征，培养直观想象、逻

3.认识简单组合体的结构特征，了解简单组合体辑推理、数学运算的数学素

的两种基本构成形式.（重点、易混点）养.

【自主预习】

H新知初探Q

1.圆柱的结构特征

以矩形的一边所在直线为旋转轴,其余三边旋转一周所围成的旋

定义

转体叫做圆柱

轴：旋转轴叫做圆柱的轴;

3轴底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面;

4匕工》底面

图不及相关侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面;

：侧面

概念用母线圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置，平行于

冲式底面

轴的边;

柱体：圆柱和棱柱统称为柱体

2.圆锥的结构特征

以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴,其余两边旋转一周形

定义

成的面所围成的旋转体叫做圆锥

轴：旋转轴叫做圆锥的轴;

图示及落轴底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面:

侧面7!\

相关概母线侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面;

念底面।母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边;

锥体：棱锥和圆锥统称锥体

3.圆台的结构特征

定义用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面与截面之间部分叫做圆台

轴：圆锥的轴；

底面金，

底面：圆锥的底面和截面;

图示及相

侧面：圆锥的侧面在底面与截面之间的部分;

关概念

母线：圆锥的母线在底面与截面之间的部分:

底面

台体：棱台和圆台统称为台体

思考1:用平面去截圆锥一定会得到一个圆锥和一个圆台？

［提示］不一定.只有当平面与圆锥的底面平行时，才能截得一个圆锥和一

个圆台.

4.球的结构特征

以半圆的直径所在直线为旋转轴,旋转一周形成的旋转体叫做球

定义

体，简称球

球心：半圆的圆心叫做球的球心;

半径：连接球心和球面上任意一点的线段叫做球

图示及相关

的半径；

概念

丁&径直径：连接球面上两点并且经过球心的线段叫做

球的直径

思考2：球能否由圆面旋转而成？

［提示］能.圆面以直径所在的直线为旋转轴，旋转半周形成的旋转体即为

球.

5.简单组合体的结构特征

(1)简单组合体的定义：由简单几何体组合而成的几何体.

(2)简单组合体的两种基本形式：

［由简单几何体拼接而成

简单组合体〈

I由简单几何体截去或挖去一部分而成.

初试身医m

1.圆锥的母线有()

A.1条B.2条C.3条D.无数条

D［由圆锥的结构特征知圆锥的母线有无数条.］

2.下列图形中是圆柱的是.

②［根据圆柱的概念可知只有②是圆柱.］

3.下列给出的图形中，绕给出的轴旋转一周(如图所示)，能形成圆台的

是.（填序号）

①［根据定义，①形成的是圆台，②形成的是球，③形成的是圆柱，④形

成的是圆锥.］

4.下图由哪些简单几何体构成？

［解］①是由两个四棱锥拼接而成的，②是由一个六棱柱和一个圆柱拼接而

成的.

【合作探究】

心型1旋转体的缜构特征

【例1】（1）下列说法不正确的是（）

A.圆柱的侧面展开图是一个矩形

B.圆锥过轴的截面是一个等腰三角形

C.直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥

D.圆台平行于底面的截面是圆面

（2）给出下列命题：

①圆柱的母线与它的轴可以不平行；

②圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线都可以

构成直角三角形；

③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线;

④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的.

其中正确的是（）

A.①②B.②③C.①③D.②④

(DC(2)D[(1)由圆锥的概念知，直角三角形绕它的一条直角边所在直线

旋转一周所围成的几何体是圆锥.强调一定要绕着它的一条直角边，即旋转轴为

直角三角形的一条直角边所在的直线，因而C错.

(2)由圆柱、圆锥、圆台的定义及母线的性质可知②④正确，①③错误.]

规律方法

简单旋转体判断问题的解题策略

(1)准确掌握圆柱、圆锥、圆台和球的生成过程及其结构特征是解决此类概

念问题的关键.

(2)解题时要注意两个明确：

①明确由哪个平面图形旋转而成.

②明确旋转轴是哪条直线.

1.给出下列说法：①圆柱的底面是圆面；②经过圆柱任意两条母线的截面

是一个矩形面；③圆台的任意两条母线的延长线可能相交，也可能不相交；④夹

在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体.其中说法正确的是.(填

序号)

①②[①正确，圆柱的底面是圆面;

②正确，如图所示，经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；

③不正确，圆台的母线延长相交于一点；

④不正确，圆柱夹在两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体.]

艮类型2简单组合体的结构特征

【例2】如图①②所示的图形绕虚线旋转一周后形成的立体图形分别是由

哪些简单几何体组成的？

①②

［思路探究］先将平面图形割补成三角形、梯形、矩形，再旋转识别几何体.

［解］旋转后的图形如图所示.其中图①是由一个圆柱aa和两个圆台OA,

““组成的；图②是由一个圆锥aa,一个圆柱及一个圆台aa中挖去圆锥

aa组成的.

观律方法

旋转体形状的判断方法：

(1)判断旋转体形状的关键是轴的确定，看是由平面图形绕哪条直线旋转所

得，同一个平面图形绕不同的轴旋转，所得的旋转体一般是不同的.

(2)在旋转过程中观察平面图形的各边所形成的轨迹，应利用空间想象能力,

或亲自动手做出平面图形的模型来分析旋转体的形状.

(3)要熟练掌握各类旋转体的结构特征.

2.如图，48为圆弧8c所在圆的直径，/历1仁45°.将这个平面图形绕直

线旋转一周，得到一个组合体，试说明这个组合体的结构特征.

K

D...乎

B

［解］如图所示，这个组合体是由一个圆锥和一个半球体拼接而成的.

转型3几何体中的计算问题

［探究问题］

1.圆柱、圆锥、圆台平行于底面的截面是什么样的图形？

［提示］圆面.

2.圆柱、圆锥、圆台过轴的截面是什么样的图形？

［提示］分别为矩形、等腰三角形、等腰梯形.

3.经过圆台的任意两条母线作截面，截面是什么图形？

［提示］因为圆台可以看成是圆锥被平行于底面的平面所截得到的几何体，

所以任意两条母线长度均相等，且延长后相交，故经过这两条母线的截面是以这

两条母线为腰的等腰梯形.

【例3】如图所示，用一个平行于圆锥S0底面的平面截这个圆锥，截得

圆台上、下底面的面积之比为1：16,截去的圆锥的母线长是3cm,求圆台0,0

的母线长.

［思路探究］过圆锥的轴作截面图，利用三角形相似解决.

［解］设圆台的母线长为/cm,由截得的圆台上、下底面面积之比为1：16,

可设截得的圆台的上、下底面的半径分别为r,4r,过轴SO作截面，如图所示.

s

则△SO'A'SXSOA,SA'=3cm.

^,,SA'O'A',,3r1

所以所以r市r=否=7

解得/=9(cm),即圆台的母线长为9cm.

［母题探究］

1.把本例的条件换为“圆台两底面半径分别是2cm和5cm,母线长是34Tb

cm”，则它的轴截面的面积是.

63cm2［画出轴截面，如图，过/作4月_8。于机

贝U8仁5—2=3(cm),AM==9(cm),

(4+10)X9

"T")四边形ABCD-£一

63(cm2).］

2.把本例的条件换为“一圆锥的母线长为6,底面半径为3,把该圆锥截一

圆台，截得圆台的母线长为4”,则圆台的另一底面半径为.

1［作轴截面如图，

2

r6-41

则§=丁=勺，所以r=L]

规律方法

1.简单旋转体的轴截面及其应用

(1)简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特

征的关键量.

(2)在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思

想.

2.与圆锥有关的截面问题的解决策略

(1)画出圆锥的轴截面.

(2)在轴截面中借助直角三角形或三角形的相似关系建立高、母线长、底面

圆的半径长的等量关系，求解便可.

1.圆柱、圆锥、圆台的关系如图所小.

上底面缩小

为一点.

顶点拓展为

与底面平行

但不全等的

上底面阀锥

2.处理台体问题常采用还台为锥的补体思想.

3.处理组合体问题常采用分割思想.

4.重视圆柱、圆锥、圆台的轴截面在解决几何量中的特殊作用，切实体会

空间几何平面化的思想.

【课堂达标练习】

1.判断正误

(1)直角三角形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥.()

(2)夹在圆柱的两个平行平面之间的几何体是圆柱.()

(3)圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台.()

(4)半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球.()

［答案］⑴X⑵X(3)X⑷X

2.圆柱的母线长为10,则其高等于()

A.5B.10

C.20D.不确定

B［圆柱的母线长和高相等.］

3.下面几何体的截面一定是圆面的是()

A.圆台B.球C.圆柱D.棱柱

B［截面可以从各个不同的部位截取，截得的截面都是圆面的几何体只有

球.］

4.指出如图①②所示的图形是由哪些简单几何体构成的.

①②

［解］分割原图，使它的每一部分都是简单几何体.图①是由一个三棱柱和

一个四棱柱拼接而成的简单组合体.

图②是由一个圆锥和一个四棱柱拼接而成的简单组合体.

《8.2立体图形的直观图》复习教案

学习目标核心素养

1.了解“斜二测画法”的概念并掌握斜

通过学习空间几何体直观图的画法，

二测画法的步骤.（重点）

培养直观想象、逻辑推理、数学运算

2.会用斜二测画法画出一些简单平面图

的数学素养.

形和立体图形的直观图.（难点）

【自主预习】

新知初.探G

1.斜二测画法

我们常用斜二测画法画空间图形及水平放置的平面图形的直观图.斜二测画

法是一种特殊的平行投影画法.

2.平面图形直观图的画法及要求

思考1：相等的角在直观图中还相等吗？

［提示］不一定.例如正方形的直观图为平行四边形.

3.空间几何体直观图的画法

(1)与平面图形的直观图相比，只是多画一个与x轴、y轴都垂直的二轴，

直观图中与之对应的是心轴；

(2)平面x'0'［表示水平平面,平面心平z'和x'O'z'表示竖直平

面；

(3)已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长

度都不变.

(4)成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线.

思考2：空间几何体的直观图唯一吗？

［提示］不唯一.作直观图时，由于选轴的不同，画出的直观图也不同.

i.初,试身壬

1.长方形的直观图可能为下图中的哪一个()

0^7/3口二

①②③④⑤

A.①②B.①②③

C.②⑤D.③④⑤

C［由斜二测画法知，平行线依然平行，但是直角不再是直角，所以②⑤正

确.］

2.梯形的直观图是()

A.梯形B.矩形

C.三角形D.任意四边形

A［斜二测画法中平行性保持不变，故梯形的直观图仍是梯形.］

3.在用斜二测画法画水平放置的△/a'时，若N4的两边平行于x轴、y轴，

则在直观图中，N"=.

45°或135°［因为//的两边平行于x轴、y轴，故N4=90°,在直观

图中，按斜二测画法规则知Nx‘O'y'=45°或135°,即N/'=45°或

135°.］

【合作探究】

平面图形的直观图

［例1］(1)如图所示，一个水平放置的正方形力腼，它在直角坐标系Xa

中，点6的坐标为(2,2),则在用斜二测画法画出的正方形的直观图4B'CD'

中，顶点8,到x'轴的距离为.

(2)用斜二测画法画出图中五边形/纪定的直观图.

因为。'A'=B'C=1,AB'Cx'=45°,

所以顶点8'到x'轴的距离为IXsin450=手.］

(2)［解］画法：①在下图①中作轴于G,作码x轴于〃

②在图②中画相应的V轴与V轴，两轴相交于点。'，使Nx'O'y'=

45°.

③在图②中的/轴上取B'=0B,O'G'=0G,

O'C=0C,O'H'=0H,y'轴上取O'E'阳

分别过G'和〃作V轴的平行线，并在相应的平行线上取G'⑷=初,

,,1

〃D'=严；

④连接4B',A'E',E'D',D'C,并擦去辅助线G'A',

HF,x'轴与/轴，便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图

A'B'CD'E'(如图③).

①②

规律6法

画平面图形的直观图的技巧：

(1)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取恰当的坐标系是关键，一般

要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点.

(2)画平面图形的直观图，首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变)，与坐

标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段.

Q跟踪训练

1.画水平放置的直角梯形的直观图，如图所示.

oB

［解］(1)在已知的直角梯形W中，以底边如所在直线为X轴，垂直于

出的腰切所在直线为y轴建立平面直角坐标系.画相应的X,轴和V轴，使

ZyO'y'=45°,如图①②所示.

D'C

O'B'

在/轴上截取O'D'=%£>,过点〃'作

(2)在/轴上截取。'B'=0B,

X’轴的平行线/，在/上沿X,轴正方向取点。'使得〃'C=%连接夕C,

如图②.

（3）擦去辅助线，所得四边形O'B'CD'就是直角梯形皿的直观图.如

图③.

卫型2画空间几何体的直观图

［例2］画正六棱柱（底面是正六边形，侧棱垂直于底面）的直观图.（底

面边长尺寸不作要求，侧棱长为2cm）

［思路探究］先画轴，再利用斜二测画法，画出两个底面，连线成图，擦去

多余的线.

［解］画法：（1）画轴.画V轴、/轴、z，轴，使Nx'O'y'=45°（或

135°）,Nx'O'z'=90°.

（2）画底面.根据/轴，/轴，画正六边形的直观图力比汨;：

（3）画侧棱.过/、B、C、D、E、6各点分别作z’轴的平行线，在这些平行

线上分别截取A4'、BB'.CC、DD'、EF、FF都等于侧棱长2cm.

（4）成图.顺次连接H、S'、C'、〃、炉、U,并加以整理（去掉辅

助线，将被遮挡的部分改为虚线），就得到正六棱柱的直观图.

规律方法

画空间几何体时，首先按照斜二测画法规则画出几何体的底面直观图，然后

根据平行于z轴的线段在直观图中长度保持不变，画出几何体的各侧面，所以画

空间多面体的步骤可简单总结为：

画轴|—画底面|—画侧棱|—成图

Q跟踪训练

2.用斜二测画法画长、宽、高分别为4cm,3cm,2cm的长方体

ABCD-A'B'CD'的直观图.

［解］画法：(1)画轴.如图，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点0,使Nxa

=45°,NxOz=90°.

(2)画底面.以点。为中点，在x轴上取线段/乂使削=4cm；在y轴上取

3

线段PQ，使PQ=^cm.分别过点"和N作y轴的平行线，过点P和0作x轴的平

行线，设它们的交点分别为儿B,C,D,四边形48⑦就是长方体的底面18口

(3)画侧棱.过4B,C,〃各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分

别截取2cm长的线段A4',BB',CC,DD'.

(4)成图.顺次连接A',B',C,D',并加以整理(去掉辅助线，将被

遮挡的部分改为虚线)，就得到长方体的直观图.

AB

国类型3直观图的还原与计算

［探究问题］

1.如图，△/'B'C是水平放置的△4比斜二测画法的直观图，能否判断

△/a1的形状？

［提示］根据斜二测画法规则知：N/%=90°,故△力a'为直角三角形.

2.若探究1中B'C的"C=6,B'C=4,则力8边的实际长度

是多少？

［提示］由已知得△46。中，4C=6,BC=8,故AB=yjAC+0=10.

3.如图所示，△/B'C是水平放置的△力比1的直观图，则在△力%的三

边及中线4〃中，最长的线段是哪个?

［提示］由直观图可知是以N3为直角的直角三角形，所以斜边AC

最长.

【例3】（1）如图①，RtA^A'B'是一个平面图形的直观图，若O'B'

=小,则这个平面图形的面积是（）

A.1B.y/2C.2y［2D.4^2

（2）如图②所示，梯形464〃是一平面图形/版的直观图.若4〃〃。'/,

2

AR"CD，AE=%CD=2,AD=（y〃=L试画出原四边形，并求原图形的面积.

［思路探究］逆用斜二测画法，还原图形.先定点，再连线得原图形，求面

积.

（DC［由题图知，为直角三角形.B'=^2,：.A'B'=y［2,

O'A'=2.

在原△的8中，0B=yf2,〃=4,

5k力8=5x■X4=2也选C.］

⑵［解］如图，建立直角坐标系初K,在x轴上截取勿=。'D'=l；0C=0'G

=2.

在过点D与y轴平行的直线上截取仅1=2〃4=2.

在过点A与x轴平行的直线上截取AB=A^=2.连接BC,便得到了原图形（如

图）.

由作法可知，原四边形口是直角梯形，上、下底长度分别为13=2,CD

=3,直角腰长度为力大2.

2+3

所以面积为S=f—X2=5.

乙

［母题探究］

1.本例⑵中的条件改为如图所示的直角梯形，ZABC=45°,AB=AD=1,

DC1BC,求原图形的面积.

［解］如图①，在直观图中，过点4作力£1比；垂足为点反则在Rt^/1废'

中，AB=\,N4庞=45°,所以应'=彳、历-.

而四边形力£口为矩形，AD=\,所以比1=力片1.

所以BC=BE+%=^+L

由此可还原原图形如图②，是一个直角梯形.

在原图形中，"D'=1,A'B'=2,8'C=匕-+1,且D'//B'C,

A'B'LB'C,

所以原图形的面积为S=g(/'D'+B'CA'B'=；x[l+l+阴X2

=2+f

2.本例⑴若改为“已知△46。是边长为a的正三角形，求其直观图

△/'B'C的面积”，应如何求？

［解］由斜二测画法规则可知，直观图△/B'C一底边上的高为叩aX,

亚_亚

X2一8口

所以S&Ngc=5XaXa—„a.

Zo1O

3.本例（1）中直观图中a。'/B'的面积与原图形面积之比是多少？

［解］由⑴中直观图可得8〃/*1,

原图形面积为S/^OAB=2^/2.

所以五*=-^=蛆

""S2^24°

规律方法

1.直观图的还原技巧

由直观图还原为平面图的关键是找与X,轴、V轴平行的直线或线段，且

平行于V轴的线段还原时长度不变，平行于V轴的线段还原时放大为直观图

中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可.

2.直观图与原图形面积之间的关系

若一个平面多边形的面积为S,其直观图的面积为S',则有S'=乎5或S

=2巾6.利用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原

图形面积.

工课—Q

1.斜二测画法是联系直观图和原图形的桥梁，可根据它们之间的可逆关系

寻找它们的联系；在求直观图的面积时，可根据斜二测画法，画出直观图，从而

确定其高和底边等，而求原图形的面积可把直观图还原为原图形.

2.在用斜二测画法画直观图时，平行线段仍然平行，所画平行线段之比仍

然等于它的真实长度之比，但所画夹角大小不一定是其真实夹角大小.

【课堂达标练习】

1.判断正误

用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图.

(1)原来相交的仍相交.()

(2)原来垂直的仍垂直.()

(3)原来平行的仍平行.()

(4)原来共点的仍共点.()

［答案］⑴V(2)X(3)V(4)V

2.利用斜二测画法画出边长为3cm的正方形的直观图，正确的是()

3O1-5□□、，口，口

3333

ABCD

C［正方形的直观图应是一个内角为45°的平行四边形，且相邻的两边之

比为2：1,故选C.］

3.如图，平行四边形O'P'Q'R'是四边形a均斤的直观图，若O'P'=3,

O'R'=1,则原四边形神。?的周长为_______.

10［由直观图可知，原图形是矩形勿切?，且如=3,仞?=2.

故原四边形。微?的周长为10.］

4.画出水平放置的四边形仍切(如图所示)的直观图.

［解］⑴过点。作见x轴，垂足为点反如图①所示，画出对应的『轴、

V轴，使Nx'O'y'=45°,如图②所示.

①②③

(2)如图②所示，在『轴上取点8',炉，使得O'B'=0B,O'E'=0E；

在/轴上取一点〃'，使得O'D'=：⑺；过点炉作炉C〃/轴，使夕C

=产

(3)连接8'C,CD',并擦去X,轴与/轴及其他一些辅助线，如图

③所示,

四边形。'B'CD'就是所求的直观图.

《8.3简单几何体的表面积与体积》复习教案

8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积

学习目标核心素养

1.通过对棱柱、棱锥、棱台的研究，掌

1.借助棱柱、棱锥、棱台的表面积、体

握棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的

积的计算，培养数学运算素养.

求法.(重点)

2.通过对棱柱、棱锥、棱台的体积的

2.会求棱柱、棱锥、棱台有关的组合

探究，提升逻辑推理的素养.

体的表面积与体积.(难点、易错点)

【自主预习】

「7新知初探G

1.棱柱、棱锥、棱台的表面积

多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和.

2.棱柱、棱锥、棱台的体积

棱柱的体积公式「=s/?（s为底面面积，力为局）；

棱锥的体积公式上：SMS为底面面积，力为高）；

0

棱台的体积公式/=57（5'+q/w+s.其中，台体的上、下底面面积分

别为S'、S,高为力.

思考：简单组合体分割成几个几何体，其表面积不变吗？其体积呢？

［提示］表面积变大了，而体积不变.

|~^初试身

1.棱长为3的正方体的表面积为（）

A.27B.64C.54D.36

C［根据表面积的定义，组成正方体的面共6个，且每个都是边长为3的正

方形.从而，其表面积为6X32=54.］

2.长方体同一顶点上的三条棱长分别为1,2,3,则长方体的体积与表面积

分别为（）

A.6,22B.3,22C.6,11D.