2023届重庆市普高三模拟调研(三)数学试题（解析版）

高级中学精品试卷PAGEPAGE1重庆市2023届普高三模拟调研(三)数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设复数满足，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗设，则，，.故选：B.2.若p是q的必要不充分条件，q的充要条件是r，则r是p的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗p是q的必要不充分条件，q的充要条件是r，则有则，又由，可得,则r是p的充分不必要条件.故选：A.3.设全集，集合A，B是U的非空子集，且，则下面一定正确的是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗对于A：当，时，满足，A错误；对于B：当，时，满足，B错误；对于C：，，，C正确；对于D：当，时，满足，D错误；4.某同学参加知识竞赛，位评委给出的分数为，则该组分数的第百分位数为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗将位评委给出的分数按照从小到大顺序排序为：，，该组数据的第百分位数为.故选：D.5.已知等差数列的前项和为，，，则（）A.63 B.92 C.117 D.145〖答案〗B〖解析〗设等差数列的公差为，由已知得，解得，.故选：B.6.函数的图象大致为（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由，可得，则定义域为，则，，则为偶函数，其图像关于y轴轴对称，排除选项CD；又，则排除选项B，正确选项为A.故选：A.7.已知直线：上存在点A，使得过点A可作两条直线与圆：分别切于点M，N，且，则实数m的取值范围是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由可得，圆心，半径，过点A可作两条直线与圆：分别切于点M，N，连接，如图，由知，，又，所以，由题意，只需直线上存在与圆心距离为的点即可，即圆心到直线的距离，解得，故选：C8.在直三棱柱中，，，点在线段上运动，E，F分别为，中点，则下列说法正确的是（）A.平面 B.当为中点时，AP与BC成角最大C.当为中点时，AP与成角最小 D.存在点，使得〖答案〗C〖解析〗由题意得，两两垂直，不妨令以C为原点，分别以所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系.则选项A：当点P与点B重合时，由为梯形的两个腰，可得相交，则直线平面位置关系为相交.判断错误；选项B：设AP与BC成角为，,由，可得当时，即两点重合时，，AP与BC成角为.判断错误；选项C：设AP与成角为，由，可得又，在单调递减，则当即中点时，AP与成角最小.判断正确；选项D：,由，解得（舍），则不存在点，使得.判断错误.故选：C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知，将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则（）A.在区间上是增函数B.的一条对称轴为C.的一个对称中心为D.在区间上只有2个极值点〖答案〗BD〖解析〗将函数的图象向右平移个单位得到函数，对于A：当时，，在上不是单调函数，故在区间上不是单调函数，A错误；对于BC：，是的一条对称轴，B正确，C错误；对于D：当时，，在上有两个极值点，故在区间上只有2个极值点，D正确.故选：BD.10.已知点，，曲线C上存在M点，满足，则曲线C可以是（）A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗由，，可得,中点坐标为，又由，可得M点在直线上.选项A：由整理得，则，则直线与椭圆有公共点，则椭圆上存M点满足.判断正确；选项B：由整理得，则，则直线与双曲线没有公共点，则双曲线上不存在M点满足.判断错误；选项C：由整理得，则，则直线与抛物线有公共点，则抛物线上存在M点满足.判断正确；选项D：圆的圆心坐标为，半径为2，由，可得直线与圆相交，则圆上存在M点满足.判断正确.故选：ACD11.已知函数，则下列说法正确的是（）A.的定义域为B.在上的值域为C.若在上单调递减，则D.若，则在定义域上单调递增〖答案〗AC〖解析〗选项A：由得，则的定义域为.判断正确；选项B：，由，可得，则，当时，，则在上的值域为；当时，，，即在上的值域为；当时，，，即在上的值域为.综上，当时，在上的值域为；当时，在上的值域为；当时，在上的值域为.判断错误；选项C：，若在上单调递减，则，解之得.判断正确；选项D：，则时，在和上单调递增.判断错误.故选：AC12.若实数，满足，则（）A. B.C. D.〖答案〗BC〖解析〗,当时，，当且仅当或时等号成立，得，当时，，当且仅当或时等号成立，得，当时，由可得或综合可得，故C正确，D错误；，当时，，故A错误，B正确；故选：BC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.一个不透明的袋子中有10个大小、材质一样的小球，其中有个红球，其余为黑球，从中不放回地先后各摸一个球出来，若第2次摸得红球的概率为，则________．〖答案〗〖解析〗由题意，不透明的袋子中有个红球，个黑球，当第1次摸出的是红球时，第2次莫得红球的概率为；当第1次摸出的是黑球时，第2次莫得红球的概率为，因为第2次摸得红球的概率为，即，解得.故〖答案〗为：.14.已知曲线在点处的切线与曲线在点处的切线互相垂直，则________．〖答案〗〖解析〗由曲线得，，曲线在点处的切线斜率为，曲线得，由已知可得，解得.故〖答案〗为：.15.已知，，则________．〖答案〗〖解析〗，，，，若，则，与矛盾，故，，故〖答案〗为：.16.已知为所在平面上一点，若，，则________．〖答案〗〖解析〗.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.设正项数列的前项和为，已知．（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和．解：（1）①，当时，②，①-②得，整理得数列为正项数列，，，又当时，，解得，数列是以1为首项，1为公差的等差数列，；（2）由（1）得，数列的前项和为.18.风力发电是指把风的动能转为电能．2021年前11个月，我国新能源发电量首次突破1万亿千瓦时大关，其中风力发电达到5866.7亿千瓦时．某校物理课题小组通过查阅国家统计局网站，得到2012年至2020年风力发电量数据，如下表：年份201220132014201520162017201820192020年份代码123456789风力发电量（亿千瓦时）955.814121599.81857.72370.72972.33659.74060.34664.7下图为2012年至2020年风力发电量散点图：（1）根据散点图分析与之间的相关关系；（2）根据相应数据计算得，，，求关于的线性回归方程（精确到0.1）．附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．解：（1）根据散点图分析，随着的增大而增大，与之间存在正相关关系，且近似于一条直线．（2），，，，，，关于的线性回归方程为.19.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，．（1）求；（2）若，边上的高线长，求．解：（1）由已知得；（2），，，，，，，，，又，，，，，.20.已知函数，．（1）当时，求在处的切线方程；（2）若时，恒成立，求的取值范围．解：（1）当时，，，所以，又，所以在处的切线方程为，即（2）令，则在上恒成立，则，，，当时，，因为在上单调递增，故存在，当时，，即在上单调递减，所以时，，与题设矛盾，舍去.当时，由可得，故在上单调递增，所以，满足题意.综上，的取值范围为.21.如图，在八面体中，四边形是边长为2的正方形，平面平面，二面角与二面角的大小都是，，．（1）证明：平面平面；（2）设为的重心，是否在棱上存在点，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，求到平面的距离，若不存在，说明理由．（1）证明：因为为正方形，所以，又，，平面，所以平面，所以为二面角的平面角，即，又平面平面，，所以平面，即为二面角的平面角，即，如图建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，即，所以，因为平面，平面，所以平面，又，平面，平面，所以平面，因为，平面，所以平面平面.（2）解：由点在上，设点，其中，点，所以，平面的法向量可以为，设与平面所成角为，则，即，化简得，解得或（舍去），所以存在点满足条件，且点到平面的距离为.22.已知椭圆：的长轴长是短轴长的2倍，直线被椭圆截得的弦长为4．（1）求椭圆的方程；（2）设M，N，P，Q为椭圆上的动点，且四边形MNPQ为菱形，原点О在直线MN上的垂足为点H，求H的轨迹方程．解：（1）由题意可得，则椭圆：，联立，解得或，所以弦长，解得，所以，所以椭圆的方程为，即；（2）因为四边形MNPQ为菱形，所以垂直且平分，设，则，两式相减得，即，设菱形的中心为，若直线的斜率都存在，设直线的斜率分别为，由，得，所以，即，同理，所以，由得，所以，即菱形的中心为原点，则直线的方程为，直线的方程为，联立，解得，所以，同理，因为，所以，所以点在圆上；若直线中有一条直线的斜率不存在，由对称性可知棱形的中心为原点，四点分别为椭圆的顶点，不妨设为右顶点，为上顶点，则，同理可得，点任在圆上，综上所述，H的轨迹方程为.重庆市2023届普高三模拟调研(三)数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设复数满足，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗设，则，，.故选：B.2.若p是q的必要不充分条件，q的充要条件是r，则r是p的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗p是q的必要不充分条件，q的充要条件是r，则有则，又由，可得,则r是p的充分不必要条件.故选：A.3.设全集，集合A，B是U的非空子集，且，则下面一定正确的是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗对于A：当，时，满足，A错误；对于B：当，时，满足，B错误；对于C：，，，C正确；对于D：当，时，满足，D错误；4.某同学参加知识竞赛，位评委给出的分数为，则该组分数的第百分位数为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗将位评委给出的分数按照从小到大顺序排序为：，，该组数据的第百分位数为.故选：D.5.已知等差数列的前项和为，，，则（）A.63 B.92 C.117 D.145〖答案〗B〖解析〗设等差数列的公差为，由已知得，解得，.故选：B.6.函数的图象大致为（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由，可得，则定义域为，则，，则为偶函数，其图像关于y轴轴对称，排除选项CD；又，则排除选项B，正确选项为A.故选：A.7.已知直线：上存在点A，使得过点A可作两条直线与圆：分别切于点M，N，且，则实数m的取值范围是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由可得，圆心，半径，过点A可作两条直线与圆：分别切于点M，N，连接，如图，由知，，又，所以，由题意，只需直线上存在与圆心距离为的点即可，即圆心到直线的距离，解得，故选：C8.在直三棱柱中，，，点在线段上运动，E，F分别为，中点，则下列说法正确的是（）A.平面 B.当为中点时，AP与BC成角最大C.当为中点时，AP与成角最小 D.存在点，使得〖答案〗C〖解析〗由题意得，两两垂直，不妨令以C为原点，分别以所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系.则选项A：当点P与点B重合时，由为梯形的两个腰，可得相交，则直线平面位置关系为相交.判断错误；选项B：设AP与BC成角为，,由，可得当时，即两点重合时，，AP与BC成角为.判断错误；选项C：设AP与成角为，由，可得又，在单调递减，则当即中点时，AP与成角最小.判断正确；选项D：,由，解得（舍），则不存在点，使得.判断错误.故选：C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知，将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则（）A.在区间上是增函数B.的一条对称轴为C.的一个对称中心为D.在区间上只有2个极值点〖答案〗BD〖解析〗将函数的图象向右平移个单位得到函数，对于A：当时，，在上不是单调函数，故在区间上不是单调函数，A错误；对于BC：，是的一条对称轴，B正确，C错误；对于D：当时，，在上有两个极值点，故在区间上只有2个极值点，D正确.故选：BD.10.已知点，，曲线C上存在M点，满足，则曲线C可以是（）A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗由，，可得,中点坐标为，又由，可得M点在直线上.选项A：由整理得，则，则直线与椭圆有公共点，则椭圆上存M点满足.判断正确；选项B：由整理得，则，则直线与双曲线没有公共点，则双曲线上不存在M点满足.判断错误；选项C：由整理得，则，则直线与抛物线有公共点，则抛物线上存在M点满足.判断正确；选项D：圆的圆心坐标为，半径为2，由，可得直线与圆相交，则圆上存在M点满足.判断正确.故选：ACD11.已知函数，则下列说法正确的是（）A.的定义域为B.在上的值域为C.若在上单调递减，则D.若，则在定义域上单调递增〖答案〗AC〖解析〗选项A：由得，则的定义域为.判断正确；选项B：，由，可得，则，当时，，则在上的值域为；当时，，，即在上的值域为；当时，，，即在上的值域为.综上，当时，在上的值域为；当时，在上的值域为；当时，在上的值域为.判断错误；选项C：，若在上单调递减，则，解之得.判断正确；选项D：，则时，在和上单调递增.判断错误.故选：AC12.若实数，满足，则（）A. B.C. D.〖答案〗BC〖解析〗,当时，，当且仅当或时等号成立，得，当时，，当且仅当或时等号成立，得，当时，由可得或综合可得，故C正确，D错误；，当时，，故A错误，B正确；故选：BC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.一个不透明的袋子中有10个大小、材质一样的小球，其中有个红球，其余为黑球，从中不放回地先后各摸一个球出来，若第2次摸得红球的概率为，则________．〖答案〗〖解析〗由题意，不透明的袋子中有个红球，个黑球，当第1次摸出的是红球时，第2次莫得红球的概率为；当第1次摸出的是黑球时，第2次莫得红球的概率为，因为第2次摸得红球的概率为，即，解得.故〖答案〗为：.14.已知曲线在点处的切线与曲线在点处的切线互相垂直，则________．〖答案〗〖解析〗由曲线得，，曲线在点处的切线斜率为，曲线得，由已知可得，解得.故〖答案〗为：.15.已知，，则________．〖答案〗〖解析〗，，，，若，则，与矛盾，故，，故〖答案〗为：.16.已知为所在平面上一点，若，，则________．〖答案〗〖解析〗.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.设正项数列的前项和为，已知．（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和．解：（1）①，当时，②，①-②得，整理得数列为正项数列，，，又当时，，解得，数列是以1为首项，1为公差的等差数列，；（2）由（1）得，数列的前项和为.18.风力发电是指把风的动能转为电能．2021年前11个月，我国新能源发电量首次突破1万亿千瓦时大关，其中风力发电达到5866.7亿千瓦时．某校物理课题小组通过查阅国家统计局网站，得到2012年至2020年风力发电量数据，如下表：年份201220132014201520162017201820192020年份代码123456789风力发电量（亿千瓦时）955.814121599.81857.72370.72972.33659.74060.34664.7下图为2012年至2020年风力发电量散点图：（1）根据散点图分析与之间的相关关系；（2）根据相应数据计算得，，，求关于的线性回归方程（精确到0.1）．附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．解：（1）根据散点图分析，随着的增大而增大，与之间存在正相关关系，且近似于一条直线．（2），，，，，，关于的线性回归方程为.19.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，．（1）求；（2）若，边上的高线长，求．解：（1）由已知得；（2），，，，，，，，，又，，，，，.20.已知函数，．（1）当时，求在处的切线方程；（2）若时，恒成立，求的取值范围．解：（1）当时，，，所以，又