2023届贵州省六校联盟高三实用性联考（四）数学试题（理）（解析版）

高级中学精品试卷PAGEPAGE1贵州省六校联盟2023届高三实用性联考（四）数学试题（理）一､选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设，，，求（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由已知可得，，所以.故选：B．2.已知复数满足（为虚数单位），则复数的共轭复数的虚部为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，所以所以复数的共轭复数的虚部为，故选：C．3.从某班名同学中选出人参加户外活动，利用随机数表法抽取样本时，先将名同学按、、、进行编号，然后从随机数表第一行的第列和第列数字开始往右依次选取两个数字，则选出的第个同学的编号为（）0347437386369647366146986371629774246292428114572042533237321676（注：表中的数据为随机数表第一行和第二行）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗从随机数表第一行第列和第列数字开始往右依次选：、、、，选出的第个同学的编号为，故选：D．4.公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率的值的范围：，为纪念祖冲之在圆周率的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就.某小学教师为帮助同学们了解“祖率”，让同学们把小数点后的7位数字进行随机排列，整数部分3不变，那么可以得到小于3.14的不同数字的个数有（）A.240 B.360 C.600 D.720〖答案〗A〖解析〗小于3.14的不同数字的个数有两类：第一类：3.11开头的，剩余5个数字全排列有种；第二类：3.12开头的，剩余5个数字全排列有种.根据分类加法计数原理可知，共种.故选：A．5.已知直线、、与平面、，下列命题正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则〖答案〗D〖解析〗A.若，则或异面，故A不正确；B.缺少垂直于交线这个条件，不能推出，故B不正确；C.由垂直关系可知，或相交，或是异面，故C不正确；D.因为，所以平面内存在直线，若，则，且，所以，故D正确.故选：D6.已知，，则（）A.-7 B. C.7 D.〖答案〗A〖解析〗因为，所以，所以，所以，所以.故选：A．7.已知等比数列的前项和为，若，，则（）A.16 B.64 C.112 D.32〖答案〗D〖解析〗设的公比为，由已知，可得，解得，所以.故选：D．8.某地病毒暴发，全省支援，需要从我市某医院某科室的4名男医生（含一名主任医师）､5名女医生（含一名主任医师）中分别选派3名男医生和2名女医生，则在有一名主任医师被选派的条件下，两名主任医师都被选派的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗记“选派3名男医生和2名女医生，有一名主任医生被选派”为事件A，则，记“选派3名男医生和2名女医生，两名主任医师都被选派”为事件B,则，故选：D9.中，角的对边分别是，，.若这个三角形有两解，则的取值范围是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由正弦定理可得，.要使有两解，即有两解，则应有，且，所以，所以.故选：B．10.已知椭圆的右焦点为，过点且斜率为1的直线交椭圆于两点.若的中点坐标为，则的方程为（）A. B.C D.〖答案〗D〖解析〗设，则，由已知有，，作差得，则，所以，解得，则的方程为.故选：D．11.已知，满足，则的最小值为（）A. B. C.1 D.〖答案〗B〖解析〗如图，过点作点关于线段的对称点，则.设，则有，解得，所以.设，则，所以，又，所以点到轴的距离为，所以，可视为线段上的点到轴的距离和到的距离之和.过作轴，显然有，当且仅当三点共线时，和有最小值.过点作轴，则即为最小值，与线段的交点，即为最小值时的位置.因为，所以的最小值为.故选：B．12.已知函数的定义域均为，且，若的图象关于直线对称，且，则（）A.5 B.4 C.3 D.0〖答案〗C〖解析〗∵的图象关于直线对称，∴，由知，，，∴，即，∴是偶函数，∴，即，由知，，即，∴，∴，所以，从而，即，所以的周期为，∵，∴，∵，∴，即，，故选：C．二､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知向量，且，则__________.〖答案〗〖解析〗因为，所以，又因为，所以解得．故〖答案〗为：14.若实数满足约束条件，则的最大值为__________.〖答案〗〖解析〗画出约束条件所以表示的平面区域，如图所示，则目标函数，即为平面区域内一点与定点连线的斜率，由图形可知，当直线过两点时，斜率最大，即取得最大值，又由，解得，即，此时，即的最大值为.故〖答案〗为：.15.在实际生活中，常常要用到如图①所示的“直角弯管”.它的制作方法如下：如图②，用一个与圆柱底面所成角为的平面截圆柱，将圆柱截成两段，再将这两段重新拼接就可以得到“直角弯管”.在制作“直角弯管”时截得的截口是一个椭圆，若将圆柱被截开的一段（如图③的侧面沿着圆柱的一条母线剪开，并展开成平面图形，则截口展开形成的图形恰好是某正弦型函数的部分图象（如图④）.记该正弦型函数的最小正周期为，若椭圆的长轴长为，则__________.〖答案〗〖解析〗设圆柱底面圆的半径为，因为椭圆截面与底面的夹角为，若椭圆的长轴长为，则，即，正弦型函数的最小正周期为圆柱的侧面展开图的底边边长，即圆柱的底面圆的周长，所以．故〖答案〗为：．16.已知双曲线的左､右顶点分别为，直线与双曲线交于不同的两点，设直线的斜率分别为，则当取得最小值时，双曲线的离心率__________.〖答案〗〖解析〗由双曲线，可得，设，则，且，所以，则，令，则，则，可得在上为减函数，在上为增函数，所以当时，最小，此时.故〖答案〗为：.三､解答题（共70分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知等差数列与等比数列满足，，，且既是和的等差中项，又是其等比中项.（1）求数列和的通项公式；（2）令，求证：.（1）解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为.由已知可得，所以，，所以因为既是和的等差中项，又是其等比中项，即，代入已知整理可得，解得，即，所以.（2）证明：由（1）可知，，所以.因为，故．18.据世界田联官方网站消息，原定于2023年5月日在中国广州举办的世界田联接力赛延期至2025年4月至5月举行.据了解，甲､乙､丙三支队伍将会参加2025年4月至5月在广州举行的米接力的角逐.接力赛分为预赛､半决赛和决赛，只有预赛､半决赛都获胜才能进入决赛.已知甲队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和；乙队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和；丙队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和.（1）甲､乙､丙三队中，谁进入决赛的可能性最大；（2）设甲､乙､丙三队中进入决赛的队伍数为，求的分布列.解：（1）甲队进入决赛的概率为，乙队进入决赛的概率为，丙队进入决赛的概率为，显然乙队进入决赛的概率最大，所以乙进入决赛的可能性最大．（2）由（1）可知：甲､乙､丙三队进入决赛的概率分别为，的可能取值为，，，，，所以的分布列为：012319.如图，已知正方体的棱长为，分别为的中点.（1）已知点满足，求证四点共面；（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.（1）证明：如图1，取中点，连接.因为分别是的中点，所以，且，所以是平行四边形，所以.因为，所以.又，所以，所以是的中点.又因为是的中点，所以，所以，所以四点共面．（2）解：如图2，以点为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，所以，，，设平面的一个法向量为，由可得，，取，则是平面的一个法向量.设平面的一个法向量为，由可得，，取，则是平面的一个法向量.所以，，所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为．20.平面内动点与定点的距离和它到定直线的距离之比是.（1）求点的轨迹的方程；（2）过点作两条互相垂直的直线分别交轨迹于点和，求四边形面积的最小值.解：（1）设，由题意有且，化简得，即．（2）当其中一条直线的斜率不存在时，则、一条为长轴长、另一条为过的通径长，令，则，可得，故通径长为，而长轴长为，易得．当直线的斜率存在且不为0时，设直线的斜率为，则直线为，，化简整理得，设，则，，，则直线的斜率为，同理，，令，则，当，即时等号成立，而，则四边形面积的最小值为.21.已知函数.（1）若在点处的切线方程为，求实数的值；（2）设，在（1）的条件下，若满足，求证：.（1）解：，即切点为，该点处的斜率．则，故．（2）证明：由（1）知．则等价于，故设，则，所以当时，，所以在上单调递增，所以，即当时，，因为，所以，当且仅当时取等号，所以，即．令，则，当，则在上为增函数．因为，所以，又，由于，即，则，即．请考生在第22､23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．〖选修4-4：坐标系与参数方程〗22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，）且曲线经过坐标原点，以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求的极坐标方程；（2）点极坐标为为上的一点，且满足，求．解：（1）由曲线的参数方程消去参数后得，的普通方程为，由曲线过原点且得；故的普通方程为，把，代入得的极坐标方程为．（2）由题意，在极坐标系中，点在曲线上，设．在中，由余弦定理有，即，化简得．故或．〖选修4-5：不等式选讲〗23.已知函数.（1）解不等式;（2）若,对任意,存在,使得成立,求实数的取值范围.解：（1）由,当时,,得,即;当时,,得成立,即;当时,,得,即;综上,不等式的解集是.（2）对任意的,存在,使得成立,等价于对任意的,存在,使得成立,即的值域是的值域的子集,,当且仅当,即时,等号成立,所以的值域为,因为,所以的值域为,所以,解得.所以取值范围是.贵州省六校联盟2023届高三实用性联考（四）数学试题（理）一､选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设，，，求（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由已知可得，，所以.故选：B．2.已知复数满足（为虚数单位），则复数的共轭复数的虚部为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，所以所以复数的共轭复数的虚部为，故选：C．3.从某班名同学中选出人参加户外活动，利用随机数表法抽取样本时，先将名同学按、、、进行编号，然后从随机数表第一行的第列和第列数字开始往右依次选取两个数字，则选出的第个同学的编号为（）0347437386369647366146986371629774246292428114572042533237321676（注：表中的数据为随机数表第一行和第二行）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗从随机数表第一行第列和第列数字开始往右依次选：、、、，选出的第个同学的编号为，故选：D．4.公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率的值的范围：，为纪念祖冲之在圆周率的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就.某小学教师为帮助同学们了解“祖率”，让同学们把小数点后的7位数字进行随机排列，整数部分3不变，那么可以得到小于3.14的不同数字的个数有（）A.240 B.360 C.600 D.720〖答案〗A〖解析〗小于3.14的不同数字的个数有两类：第一类：3.11开头的，剩余5个数字全排列有种；第二类：3.12开头的，剩余5个数字全排列有种.根据分类加法计数原理可知，共种.故选：A．5.已知直线、、与平面、，下列命题正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则〖答案〗D〖解析〗A.若，则或异面，故A不正确；B.缺少垂直于交线这个条件，不能推出，故B不正确；C.由垂直关系可知，或相交，或是异面，故C不正确；D.因为，所以平面内存在直线，若，则，且，所以，故D正确.故选：D6.已知，，则（）A.-7 B. C.7 D.〖答案〗A〖解析〗因为，所以，所以，所以，所以.故选：A．7.已知等比数列的前项和为，若，，则（）A.16 B.64 C.112 D.32〖答案〗D〖解析〗设的公比为，由已知，可得，解得，所以.故选：D．8.某地病毒暴发，全省支援，需要从我市某医院某科室的4名男医生（含一名主任医师）､5名女医生（含一名主任医师）中分别选派3名男医生和2名女医生，则在有一名主任医师被选派的条件下，两名主任医师都被选派的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗记“选派3名男医生和2名女医生，有一名主任医生被选派”为事件A，则，记“选派3名男医生和2名女医生，两名主任医师都被选派”为事件B,则，故选：D9.中，角的对边分别是，，.若这个三角形有两解，则的取值范围是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由正弦定理可得，.要使有两解，即有两解，则应有，且，所以，所以.故选：B．10.已知椭圆的右焦点为，过点且斜率为1的直线交椭圆于两点.若的中点坐标为，则的方程为（）A. B.C D.〖答案〗D〖解析〗设，则，由已知有，，作差得，则，所以，解得，则的方程为.故选：D．11.已知，满足，则的最小值为（）A. B. C.1 D.〖答案〗B〖解析〗如图，过点作点关于线段的对称点，则.设，则有，解得，所以.设，则，所以，又，所以点到轴的距离为，所以，可视为线段上的点到轴的距离和到的距离之和.过作轴，显然有，当且仅当三点共线时，和有最小值.过点作轴，则即为最小值，与线段的交点，即为最小值时的位置.因为，所以的最小值为.故选：B．12.已知函数的定义域均为，且，若的图象关于直线对称，且，则（）A.5 B.4 C.3 D.0〖答案〗C〖解析〗∵的图象关于直线对称，∴，由知，，，∴，即，∴是偶函数，∴，即，由知，，即，∴，∴，所以，从而，即，所以的周期为，∵，∴，∵，∴，即，，故选：C．二､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知向量，且，则__________.〖答案〗〖解析〗因为，所以，又因为，所以解得．故〖答案〗为：14.若实数满足约束条件，则的最大值为__________.〖答案〗〖解析〗画出约束条件所以表示的平面区域，如图所示，则目标函数，即为平面区域内一点与定点连线的斜率，由图形可知，当直线过两点时，斜率最大，即取得最大值，又由，解得，即，此时，即的最大值为.故〖答案〗为：.15.在实际生活中，常常要用到如图①所示的“直角弯管”.它的制作方法如下：如图②，用一个与圆柱底面所成角为的平面截圆柱，将圆柱截成两段，再将这两段重新拼接就可以得到“直角弯管”.在制作“直角弯管”时截得的截口是一个椭圆，若将圆柱被截开的一段（如图③的侧面沿着圆柱的一条母线剪开，并展开成平面图形，则截口展开形成的图形恰好是某正弦型函数的部分图象（如图④）.记该正弦型函数的最小正周期为，若椭圆的长轴长为，则__________.〖答案〗〖解析〗设圆柱底面圆的半径为，因为椭圆截面与底面的夹角为，若椭圆的长轴长为，则，即，正弦型函数的最小正周期为圆柱的侧面展开图的底边边长，即圆柱的底面圆的周长，所以．故〖答案〗为：．16.已知双曲线的左､右顶点分别为，直线与双曲线交于不同的两点，设直线的斜率分别为，则当取得最小值时，双曲线的离心率__________.〖答案〗〖解析〗由双曲线，可得，设，则，且，所以，则，令，则，则，可得在上为减函数，在上为增函数，所以当时，最小，此时.故〖答案〗为：.三､解答题（共70分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知等差数列与等比数列满足，，，且既是和的等差中项，又是其等比中项.（1）求数列和的通项公式；（2）令，求证：.（1）解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为.由已知可得，所以，，所以因为既是和的等差中项，又是其等比中项，即，代入已知整理可得，解得，即，所以.（2）证明：由（1）可知，，所以.因为，故．18.据世界田联官方网站消息，原定于2023年5月日在中国广州举办的世界田联接力赛延期至2025年4月至5月举行.据了解，甲､乙､丙三支队伍将会参加2025年4月至5月在广州举行的米接力的角逐.接力赛分为预赛､半决赛和决赛，只有预赛､半决赛都获胜才能进入决赛.已知甲队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和；乙队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和；丙队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和.（1）甲､乙､丙三队中，谁进入决赛的可能性最大；（2）设甲､乙､丙三队中进入决赛的队伍数为，求的分布列.解：（1）甲队进入决赛的概率为，乙队进入决赛的概率为，丙队进入决赛的概率为，显然乙队进入决赛的概率最大，所以乙进入决赛的可能性最大．（2）由（1）可知：甲､乙､丙三队进入决赛的概率分别为，的可能取值为，，，，，所以的分布列为：012319.如图，已知正方体的棱长为，分别为的中点.（1）已知点满足，求证四点共面；（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.（1）证明：如图1，取中点，连接.因为分别是的中点，所以，且，所以是平行四边形，所以.因为，所以.又，所以，所以是的中点.又因为是的中点，所以，所以，所以四点共面．（2）解：如图2，以点为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，所以，，，设平面的一个法向量为，由可得，，取，则是平面的一个法向量.设平面的一个法向量为，由可得，，取，则是平面的一个法向量.所以，，所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为．20.平面内动