2022-2023学年湖北省武汉市新洲区部分学校高二下学期期中考试数学试题

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▁▃▅▇█参*考*答*案█▇▅▃▁一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．D2．B3．C4．A5．C6．B7．.B8．A二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．全对得5分，少选得2分，多选、错选不得分）9．BC．10．AC11．BD12．BCD.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．14．6或7；1215．16．四、解答题（本大题共6小题，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）17．(本小题满分10分)解：（1）将5个不同的球放入编号为1，2，3，4，5的5个不同的盒中，每个球有5种放法，则5个球有种不同的放法；5分（2）①将5个球分为4组，有种分组方法，②恰有1个空盒，则有且仅有2个球进了同一个盒子，在5个盒子中任选4个，放入四组球，有种情况，则共计种不同的放法．5分18．(本小题满分12分)解：(1)设为常数项，则有，即，所以，常数项为第项，且．6分(2)因为展开式中，常数项是其各项系数最大的项,所以第6项是系数最大的项，所以有由（1）得，同理由（2）得，，所以．6分19．(本小题满分12分)解：（1）由，，又，，所以，所以，，是等差数列.而，，，6分（2）因为，所以，即6分20．(本小题满分12分)（1）证明：如图，连接，交于点，连接，由于四边形是平行四边形，所以是的中点．因为是的中点，所以．又因为平面，平面，所以平面．6分（2）解：如图，取的中点，连接，，根据和都是正三角形，得，．又平面平面，平面平面，所以平面，于是．以为坐标原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系．设，则，，，．所以，，．设平面的法向量为，则，即，令，则，，所以．设平面的法向量，则，即，令，则，，所以．设二面角的大小为，由图易知为锐角，则，因此二面角的余弦值为．6分21．(本小题满分12分)解：（1）因为，所以，又，所以，，即，所以椭圆的标准方程为4分（2）因为，所以，所以，设直线的方程为，，，，，由得，由△得，，，直线方程为，所以，直线与之间的距离为，所以四边形的面积，令，则，令，则，故当时，即时，四边形面积最大值为16；9分又因为，，所以，故直线与的斜率之积是定值，且定值为．12分22．(本小题满分12分)解：（1）当时，，所以，又，，所以所求切线方程为，即．4分（2），所以，5分当时，由，得，由，得，所以g(x)在区间(0,1)内单调递减，在区间内单调递增，所以若g(x)有两个不同的零点，则必有，即；当时，，因为，当时，，所以，所以，所以g(x)在区间内各有一个零点，故满足题意；8分当时，因为，所以g(x)在区间内单调递减，所以g(x)至多有一个零点，不符合题意；9分当时，因为当时，，当时，，所以g(x)在区间内单调递减，在区间内单调递增，在区间内单调递减，所以g(x)的极小值为，所以g(x)至多有一个零点，不符合题意；10分当时，因为当时，，当时，，所以g(x)在区间内单调递减，在区间内单调递增，在区间内单调递减，所以g(x)的极小值为，11分所以g(x)至多有一个零点，不符合题意．综上，的取值范围是．12分湖北省武汉市新洲区部分学校2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题

▁▃▅▇█参*考*答*案█▇▅▃▁一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．D2．B3．C4．A5．C6．B7．.B8．A二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．全对得5分，少选得2分，多选、错选不得分）9．BC．10．AC11．BD12．BCD.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．14．6或7；1215．16．四、解答题（本大题共6小题，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）17．(本小题满分10分)解：（1）将5个不同的球放入编号为1，2，3，4，5的5个不同的盒中，每个球有5种放法，则5个球有种不同的放法；5分（2）①将5个球分为4组，有种分组方法，②恰有1个空盒，则有且仅有2个球进了同一个盒子，在5个盒子中任选4个，放入四组球，有种情况，则共计种不同的放法．5分18．(本小题满分12分)解：(1)设为常数项，则有，即，所以，常数项为第项，且．6分(2)因为展开式中，常数项是其各项系数最大的项,所以第6项是系数最大的项，所以有由（1）得，同理由（2）得，，所以．6分19．(本小题满分12分)解：（1）由，，又，，所以，所以，，是等差数列.而，，，6分（2）因为，所以，即6分20．(本小题满分12分)（1）证明：如图，连接，交于点，连接，由于四边形是平行四边形，所以是的中点．因为是的中点，所以．又因为平面，平面，所以平面．6分（2）解：如图，取的中点，连接，，根据和都是正三角形，得，．又平面平面，平面平面，所以平面，于是．以为坐标原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系．设，则，，，．所以，，．设平面的法向量为，则，即，令，则，，所以．设平面的法向量，则，即，令，则，，所以．设二面角的大小为，由图易知为锐角，则，因此二面角的余弦值为．6分21．(本小题满分12分)解：（1）因为，所以，又，所以，，即，所以椭圆的标准方程为4分（2）因为，所以，所以，设直线的方程为，，，，，由得，由△得，，，直线方程为，所以，直线与之间的距离为，所以四边形的面积，令，则，令，则，故当时，即时，四边形面积最大值为16；9分又因为，，所以，故直线与的斜率之积是定值，且定值为．12分22．(本小题满分12分)解：（1）当时，，所以，又，，所以所求切线方程为，即．4分（2），所以，5分当时，由，得，由，得，所以g(x)在区间(0,1)内单调递减，在区间内单调递增，所以若g(x)有两个不同的零点，则必有，即；当时，，因为，当时，，所以，所以，所以g(x)在区间内各有一个零点，故满足题意；8分当时，因为，所以g(x)在区间内单调递减，所以g(x)至多有一个零点，不符合题意；9分当时，因为当时，，当时，，所以g(x)在区间内单调递减，在区间