【等价无穷小在求函数极限上的应用探究4700字】

等价无穷小在求函数极限上的应用研究TOC\o"1-2"\h\u242391前言 1318842无穷小与等价无穷小的概念 1242462.1无穷小的定义 1293542.2等价无穷小的概念 2323623等价无穷小的性质及代换定理 2244503.1常见的等价无穷小 2239673.2等价无穷小的性质 2132583.3等价无穷小的代换定理 3250184等价无穷小在求函数极限中的应用 583914.1等价无穷小在,型的应用 5149664.2对不定式极限型的计算 852694.3在判别函数反常积分的中的应用 10198804.4等价无穷小在求变上限积分极限中的应用 11218374.5等价无穷小在求和差函数极限中的应用 12189945结束语 156836参考文献 16等价无穷小在求函数极限上的应用摘要：用等价无穷小作代换是计算极限的一种常用、方便、有效的方法,如在求函数极限中,对式子出现无穷小之比、幂指函数、变上限积分与和差函数等情况,我们就可以分析是否能利用等价无穷小代换,以达到极限求解中化繁为简,化难为易的目的.在本文中介绍了等价无穷小量的代换定理,它可以解决所求函数是乘积因子、代数和以及未定式的极限等问题,并给出了等价无穷小量代换定理的详细证明,进一步说明等价无穷小在求函数极限中的方便与快捷.关键词：函数极限;等价无穷小;替换;应用.等价无穷小在求函数极限上的应用1前言PAGEREF_Ref39905010\h我们熟知等价无穷小是高等数学中基本的概念之一,同时又是高等数学的重要组成部分,因此它的应用的深入发展对于数学的发展具有及其深远的意义与影响.等价无穷小量代换是指在极限运算过程中,将一些无穷小量用与其等价的无穷小量来替代,从而达到简化计算的目的REF_Ref39905010\r\h[1].利用等价无穷小量求极限,只对所求极限式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来代替,而对极限式中的相加或相减部分则不能随意替代REF_Ref29211\r\h[2].等价无穷小替换在求函数极限时有着重要的地位,无穷小是现代数学中极为重要的一个基本概念之一,是重要的数学思想元素.在求极限的方法中,等价无穷小替换法是一个非常有效的方法,它能使做题步骤大大简化,但是初学者在学习这种方法时总会产生很多的疑惑,因为大多数高等数学教材中总是提到:等价无穷小一般只能在乘除中替换,在加减中替换有时会出错(加减时可以整体代换,不能单独代换或分别代换)REF_Ref29276\r\h[3]REF_Ref29276\r\h.而在实际应用中,却又感到还有一些其他情形似乎可以使用.所以,本论文提供了等价无穷小的概念、替换定理、在各类函数上的应用,扩大了适用范围,并解决等价无穷小的应用条件、泰勒公式之间的联系和应用以及无穷小的各阶运算,甚至利用等价无穷小判别非负函数反常积分和正项级数的收敛问题.研究等价无穷小量在求极限中的应用有助于人们更系统,更全面的认识等价无穷小量在数学计算中的作用.利用等价无穷小代换来计算极限是一常用且非常有效的基本方法REF_Ref30416\r\h[4].用它可以求到某些用其它方法难以求到的极限问题,达到化繁为简目的.所以,本题的深入研究是很有必要的.2无穷小与等价无穷小的概念2.1无穷小的定义无穷小的定义是以极限的形式来定义的,设在某内有定义,若则称为当时的无穷小量REF_Ref39905010\r\h[1].2.2等价无穷小的定义设当时,与均为无穷小量.若,则称与是当时的等价无穷小量.记作.例如因为,,所以当时,都是等价无穷小量,即.注：其实所谓“等价”就是无穷小量与趋于的速度“基本相当”.[12]3等价无穷小的性质及代换定理3.1常见的等价无穷小常见的等价形式有：时,,,,,,.3.2等价无穷小的性质设,,,,均为同一自变量变化过程中的无穷小量.性质1若,,且存在,则.性质1给出了等价无穷小量的商的极限的一种等价求法REF_Ref30857\r\h[5].用它可以将一些复杂的无穷小量的商的极限通过等价替换简化成比较简单易求的无穷小量的商的极限REF_Ref30857\r\h[5].性质2若,,则.性质2说明等价无穷小具有传递性.由于等价无穷小具有反身性、对称性,所以我们可以对等价无穷小进行一个分类以便进行很好地应用REF_Ref30857\r\h[5].运用极限的运算法则,可以得到以下更重要的结论:性质3若,,且,（1）当时,;（2）当时.证明：当时,.所以.同理可证当时,.3.3等价无穷小的代换定理定理1.1设在自变量的某一变化过程中,,,,都是无穷小量.若,为同一过程中的另一函数,且,则.（2）若,,为同一个过程中的另一函数,且存在,则也存在,且.证明：（1）因为,所以.(2)因为.所以.定理1.2设在自变量的某一变化过程中,及都是无穷小量.（1）若,且存在,则有.（2）若且存在,则有.（3）若,且存在,则有.证明：（1）因为,又因为,故上式等于,所以,同理可证得（2）成立.由（1）可得,故（3）成立.定理1.3设均为同一过程中的无穷小量,且...定理1.4设均为同一过程中的无穷小量,且,且,则..定理1.5设为同一过程中的无穷小量.若,则.证明：因为为同一过程中的无穷小量,所以,又因为,所以.定理1.6设为同一过程中的无穷小量,且,.证明：由于为同一过程中的无穷小量,且,由定理2.5有：.定理1.3至1.6在许多求极限函数的计算中可以起到简化的作用.[5]4等价无穷小在求函数极限中的应用4.1等价无穷小在,型的应用4.1.1计算,型极限的引理,定理引理设函数,在的某个去心邻域内均有非零导数,且满足下列条件：;当,>0时,=1证明由洛比达法则;;=,证毕如果我们能熟记一些符合定理条件的一些无穷小量,则在求某些,型的极限时将很方便REF_Ref31046\r\h[6].如时,等,均为无穷小量,有所以，由上述式子,我们可以很清晰的发现,,,.我们只要熟记这些等价无穷小,就能简化我们的运算量,方便快捷.4.1.2利用等价无穷小关系化简,型极限的应用例1求下列函数的极限解：（1）原式（其中,）（2）原式（3）原式（4）原式（5）原式（6）原式（其中）上述例题都是等价无穷小在求,型的函数极限的应用.其实求函数极限是具有很强的技巧性的,在求极限的运算中,合理利用无穷小量等价的关系,这大大简化了,型的极限运算REF_Ref31523\r\h[7].所以,熟记一些常见的等价无穷小量,对我们快速计算一些极限,是很有必要的.4.2对不定式极限型的计算4.2.1对型未定式计算的定理及注意定理2若在同一极限过程中,a,b是无穷小且则.该定理表明,对型未定式可以施行等价无穷小替换来计算极限.但是需注意这种替换只限于整个分子（分母）及其乘积因子,当分子或分母为代数和时,对其中的项却不能随意作等价无穷小替换REF_Ref31624\r\h[8].例如：求极限时,,,如果直接对原式作无穷小替换将导致错误的结果：原式=（正确结果为）4.2.2等价无穷小在不定式极限型的中的应用例2已知当时,有,,求解：原式=这里运用到的性质有等价无穷小的对称性,已知,根据等价无穷小的对称性,则有,那么这一极限的计算就能变得简单.例3计算极限使用等价无穷小,当时，，上式等于本题运用一般的方法进行运算是十分繁琐的,但是只要合理的运用等价无穷小进行替换,运算难度就大大降低了.例4计算极限解：因为它是型,按以前的求极限方法,它是不能用等价无穷小来代替,所以先选择用洛必达法则计算很显然,这个题目如果直接用洛比达法则求解太繁琐,我们考虑函数中使用等价无穷小进行化简REF_Ref31918\r\h[9].注意到：当时，有;所以，原极限可见,对一些无法直接使用等价无穷小的极限式直接使用洛比达法则,会容易造成计算量大的问题,但是如果我们通过对函数式做一个合适的构造变换,再使用等价无穷小,就很容易求得答案了REF_Ref32026\r\h[10].4.3在判别函数反常积分的中的应用假如在瑕积分判别收敛问题中,被积函数很复杂且以零为瑕点.在积分区域上积分函数不变,改变符号,即为恒正或恒负.这时我们可利用等价无穷小找一个简单且容易判别收敛或发散的被积函数去代替原来复杂的函数.如下面例题例5判别反常积分的收敛性解：当,即时它是定积分;当时,它是瑕积分,瑕点为,由于,根据定理11.6推论3,当.即且时,瑕积分收敛;当,即且时,瑕积分发散.在上述例题中我们可以看到即当时,,我们利用了把复杂的瑕积分判敛转化为简单容易判别收敛的瑕积分.4.4等价无穷小在求变上限积分极限中的应用常用的变上限积分的等价无穷小有（当时）：,,,,,,,,显然上述等式可以用洛比塔法则直接证明,我们可以看到被积函数之间的等价无穷小关系,由此我们可得,将被积函数用等价无穷小代换后的变上限积分仍是等价无穷小REF_Ref32170\r\h[11].定理3若当存在,,则.证明：由此定理还可以得出如下结论,例如：例6求解：原式在此题的计算中,如果我们采用的是一般方法直接求积分,再求极限的话,那么运算过程和运算量是可想而知,而此题中我们结合题目巧妙应用到等价无穷小,,,使得计算变得简单而快速.例7求解：原式此题的运算中,我们运用到的等价无穷小有,,.在这两个例题中,我们通过观察,巧妙地应用了常用的变上限积分的等价形式,使得原本复杂繁琐的求变上限积分极限,变得清晰明了,更加便捷.4.5等价无穷小在求和差函数极限中的应用定理4若在同一极限过程中,有等价无穷小则当时,（存在或为无穷大）当时,（存在或为无穷大）证明仅证（1）,同理可证（2）因,得.又因,得再由定理,可知（存在或为无穷大）例8解因时,我们可知且故由定理有，原式==例9解：因时,故由定理，有原式=上述两个例题我们若是采用洛必达法则进行计算,求导的过程,可能就会变得繁琐且容易出错,我们不妨依据题目条件恰当使用等价无穷小代换,进而实现简化运算,方便快捷.定理5若在同一极限过程中,有等价无穷小,则定理7若在同一极限过程中,有等价无穷小，则例10解因时,，故由定理，原式本题无论是采用一般方法还是洛必达法则,我们都需要考虑其可行性与正确性,且并不能简化运算过程与计算难度,但如若根据题目,巧妙运用等价无穷小进行代换,便能大大简化运算过程,降低运算难度REF_Ref32307\r\h[12].在求极限过程中,初学者往往对问题直接计算,造成计算量大,甚至死路一条,若平时学习注意积累一些必要的素材,对极限问题按所掌握的素材进行构造性的转换,利用等价无穷小进行化简,再结合洛比达法则,就很容易得答案了REF_Ref32307\r\h[12].从而有效地提高学生思维的开放性,增强其解决复杂问题的信心,激发学生学习高等数学的兴趣REF_Ref32441\r\h[13].5结束语函数极限的计算是《高等数学》中的一个非常重要内容,而等价无穷小量的替换又是函数极限运算中的一个重要的方法REF_Ref32441\r\h[13].通过对等价无穷小量的运用,特别是结合洛必达法则一起使用时,可以使求解函数极限的问题变得更加快速简单便捷.所以说,如果想要使解决函数极限这类问题变得不再棘手,就要求我们充分的了解等价无穷小量的性质,对其进行推广和应用,不断积累经验,那么就会得到意想不到的效果REF_Ref32637\r\h[14].此外,在求解函数极限这类问题时要注意的是：如果分子（或分母）是乘积的话,这时就可以直接利用等价无穷小量进行替换;如果分子（或分母）是加减运算的话,是不能将其中的一项单独替换的,要么整体进行替换,要么化成乘积因子就可以单独替换了REF_Ref32695\r\h[15].对于这两种情况,可以只对分子（或分母）进行替换,也可以分子和分母同时替换,不会影响题目的结果.参考文献金亚东,朱鹏.无穷小在求极限中的若干应用[J].信息系统工程,2018(03):86-87.解大鹏.等价无穷小性质及应用的教学拓展研究[J].合肥师范学院学报,2017,35(03):39-42.马艳丽,聂东明.等价无穷小替换在求极限中的应用及推广[J].玉溪师范学院学报,2017,33(04):15-19.祝安.等价无穷小在求函数极限中的应用及推广[J].课程教育研究,2017(14):146-147.张辉,李应岐,方晓峰.谈等价无穷小在求极限中的应用[J].科技资讯,2015,13(29):122-123.裴海杰,杜宛娟.等价无穷小量代换求函数极限的深度拓展[J].西华师范大学学报(自然科学版),2015,36(02):188-191+194.隋欣.等价无穷小在求极限中的应用[J].科教文汇(下旬刊),2014(12):47-48.刘明鼎.等价无穷小在含积分上限函数中的应用[J].牡丹江大学学报,2013,22(07):128-130.潘学功.等价无穷小在求函数极限中的应用刍议[J].化工管理,2013(02):88+90.孟庆人.谈等价无穷小的替换求函数的极限[J].产业与科技论坛,2012,11(23)