位移、速度、加速度

第二节位移速度加速度第二节位移、速度、加速度为了与引起物体运动的原因联系起来，物理学家引入了位移、速度和加速度等概念来描述运动性质，从而为研究物体的运动规律奠定基础。一、位移和路程１、位移

Displacement

设在时刻t质点在A处，它的位矢为r(t)，经过△t时间该质点在B处，此时位矢为r(t+△t)，则质点在△t时间内位置矢量的变化量△r

称为质点的位移矢量、简称位移。

r=r(t+

t)－r(t)

在直角坐标系中:

r=

xi+

yj+

zk２、路程

Distance

图中所示曲线AB的长度称为质点经过的路程

s，它是标量。在SI中位移和路程的单位都为米(m)。

r(t)xzyr(t+△t)AB△so△r

二、速度和速率１、平均速度

Average

velocity平均速度v=

r/

t=[r(t+

t)－r(t)]/

t=

x/

ti+

y/

tj+

z/

tk

=vx

i+

vy

j+

vz

k

因为

t是标量，故平均速度v

的方向与

r的方向相同。平均速度的大小：|v|=(vx2+vy2+vz2)1/2

２、速度

Velocity

瞬时速度、简称速度：

v=lim

t→0

r/

t=dr/dt

速度方向为所在点轨迹的切线方向，并指向质点前进的一方在直角坐标系中

v=dx/dti+dy/dt

j+

dz/dt

k

速度分量

vx=dx/dt,vy

=dy/dt,vz

=dz/dt

速度的大小：|v|=(vx2+vy2+vz2)1/2

３、速率Speed

平均速率：v=

s/

t

速率：v=lim

t→0

s/

t=ds/dt

平均速率和速率是标量，而平均速度和速度是矢量，它们是两个不同的概念。但在

t趋于0极限情况下，因路程

s和位移大小|r|相等，所以速度的大小和速率相等，即

v=lim

t→0

s

/

t=lim

t→0|

r|/

t=|v|一般说来：v不等于dr/dt，v

也不等于|v

|在SI中，速度和速率的单位均为米/秒(m/s).

例1-2质点沿半径为R的圆周作匀速率运动，每t秒转一圈，求在2t时间间隔中，其平均速度的大小与平均速率。解：因质点在

t=2t间隔中转了二圈，路程

s=4πR，

位移

r=0，所以

|v|=|

r/

t|=0

v=

s/

t=4πR/2t

=2πR/t

三、加速度Acceleration1.平均加速度:a=

v/

t=[(v(t+

t)-v(t)]/

t

它是平行于

v的矢量。2.加速度:a=lim

t→0

v/

t=dv/dt=d2r/dt2

加速度与速度的瞬时变化的方向相同。由于速度是顺轨迹曲线弯曲的方向而改变的，故加速度永远指向曲线凹的方向.在直角坐标中:a=dvx/dti+dvy/dt

j+dvz/dt

k=ax

i+ay

j+az

k

加速度的大小：a=|a|=(ax2+ay2+az2)1/2

在SI中加速度的单位为米/秒2(m/s2)

例1-2有一质点沿x轴作直线运动为

x(t)=4.5t2-2t3(SI)，试求:(1)第2秒内的平均速度v，(2)第2秒末的速度v，(3)第2秒内经过的路程

s及平均速率v，(4)第2秒末的加速度a。解:(1)vx

=

x/

t=[x(2)-x(1)]/(2-1)=(4.5×22－2×23)－(4.5－2)=-0.5m/s

v=-0.5im/s

(2)vx

=dx/dt

=d(4.5t2-2t3)/dt

=9t－6t2｜t=2

=9×2－6×22

=-6m/s

v=-6im/s

(3)当质点作直线运动发生来回运动时，必须先求出质点反向运动的时间，即vx

=0时刻，这样分段考虑才能正确求得一段时间内质点经过的路程。根据vx

=9t－6t2=0，可求出

t1=0

或t2=1.5s由此可求得质点在第2秒内经过的路程为：

s=|x(1.5)－x(1)|+|x(2.0)－x(1.5)|=2.25(m)

平均速率为:v=

s/

t=2.25/1=2.25(m/s)

vx

=9t-6t2

(4)加速度

ax=dvx/dt

=9-12t|t=2=9-12×2

=-15

(m/s2)

因为加速度与速度方向相同，所以质点在２秒末作加速运动。

３、切向加速度和法向加速度有时我们根据需要把加速度分解二个分量：(1)切向加速度

Tangentialacceleration

平行于质点运动轨迹的加速度切线分量at(2)法向加速度

Normalacceleration

平行于质点运动轨迹的加速度法线分量an

这样建立的坐标系称为

自然坐标系Pv(t)Ono下面我们作详细分析。

质点作曲线运动时，其速度方向与曲线的切线方向相同。

PQ曲线为一质点的路程，若此质点在P点的速度为v(t)，经过dt时间后质点移到Q点，其速度变为v(t+dt)。

质点的速度增量dv

可被分解成一沿切线的分量和一沿法线的分量。QPv(t)v(t+dt)Oρdθno

dv

沿切线分量为dt时间内质点的速率改变量dv；若d

为速度在dt时间内转过的角度，dv

沿法线的分量为

vd

。

设曲线在P点的切向单位矢量为to

，法向的单位矢量为no，则dv可写成:

dv=dv

to

+vd

nov(t)dvv(t+dt)dvvdθQPv(t)v(t+dt)Oρdθno

因为P点与Q点无限接近，故PQ弧可视为一圆弧的一段，此圆的半径称为曲线在P点的曲率半径。图中P点与Q点的法线相交于O点，这一交点即为PQ弧的曲率中心。OP或OQ的长度ρ即为曲率半径。因质点由P点移到Q点费时dt，故PQ弧的长度为vdt，而弧长为ρd，v(t)dvv(t+dt)dvvdθQPv(t)v(t+dt)Oρdθno

dv=dv

to

+vd

no所以vdt=ρd

故d

/dt=v/ρ将上式两边除以dt可得质点在P点的加速度

a=dv/dt

=dv/dtto

+vd

/dt

no

=dv/dt

to+

v2/ρno

dv/dt为沿切向分量，故称为质点的切向加速度at，其值等于速率