山东省即墨一中2024届数学高一下期末学业质量监测模拟试题含解析

山东省即墨一中2024届数学高一下期末学业质量监测模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思是“有一个人走378里，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地．”请问第三天走了（）A．60里 B．48里 C．36里 D．24里2．已知数列是等比数列，若，且公比，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．3．四边形，，，，则的外接圆与的内切圆的公共弦长（）A． B． C． D．4．已知为锐角，且满足，则（）A． B． C． D．5．函数的单调减区间为()A．(kπ﹣，kπ]，(k∈Z) B．(kπ﹣，kπ]，(k∈Z)C．(kπ﹣，kπ+]，(k∈Z) D．(kπ+，kπ+]，(k∈Z)6．已知直线与圆C相切于点，且圆C的圆心在y轴上，则圆C的标准方程为（）A． B．C． D．7．已知函数的最小正周期为，将该函数的图象向左平移个单位后，得到的图象对应的函数为偶函数，则的图象（）A．关于点对称 B．关于直线对称C．关于点对称 D．关于直线对称8．已知是第二象限角,（）A． B． C． D．9．已知三棱锥的所有顶点都在球的求面上，是边长为的正三角形，为球的直径，且，则此棱锥的体积为（）A． B． C． D．10．使函数是偶函数，且在上是减函数的的一个值是()A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．设，，，则，，从小到大排列为______12．数列的前项和为，若对任意，都有，则数列的前项和为________13．已知，均为单位向量，它们的夹角为，那么__________．14．已知，则与的夹角等于___________.15．在ΔABC中，a比c长4，b比c长2，且最大角的余弦值是-12，则16．在正方体中，是的中点，连接、，则异面直线、所成角的正弦值为_______.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数（I）求的值（II）求的最小正周期及单调递增区间.18．设数列的前项和.已知.（1）求数列的通项公式；（2）是否对一切正整数，有？说明理由.19．的内角，，的对边分别为，，，为边上一点，为的角平分线，，．（1）求的值：（2）求面积的最大值．20．数列中，且满足.（1）求数列的通项公式；（2）设，求；⑶设，是否存在最大的整数，使得对任意，均有成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.21．各项均不相等的等差数列前项和为，已知，且成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解题分析】

根据题意得出等比数列的项数、公比和前项和，由此列方程，解方程求得首项，进而求得的值.【题目详解】依题意步行路程是等比数列，且，，，故，解得，故里.故选B.【题目点拨】本小题主要考查中国古典数学文化，考查等比数列前项和的基本量计算，属于基础题.2、C【解题分析】

由可得，结合可得结果.【题目详解】，，，，，，故选C.【题目点拨】本题主要考查等比数列的通项公式，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.3、C【解题分析】

以为坐标原点，以为轴，轴建立平面直角坐标系，求出的外接圆与的内切圆的方程，两圆方程相减可得公共弦所在直线方程，求出弦心距，进而可得公共弦长.【题目详解】解：以为坐标原点，以为轴，轴建立平面直角坐标系，过作交于点，则，故，则为等边三角形，故，的外接圆方程为，①的内切圆方程为，②①-②得两圆的公共弦所在直线方程为:,的外接圆圆心到公共弦的距离为，公共弦长为，故答案为：C.【题目点拨】本题考查两圆公共弦长的求解，关键是要求出两圆的公共弦所在直线方程，将两圆方程作差即可得到，是中档题.4、D【解题分析】

由，得，，即可得到本题答案.【题目详解】由，得，所以，，所以.故选：D【题目点拨】本题主要考查两角和的正切公式的应用以及特殊角的三角函数值.5、C【解题分析】

根据复合函数的单调性，得到函数的减区间，即为的增区间，且，根据三角函数的图象与性质，即可求解.【题目详解】由题意，函数在定义域上是减函数，根据复合函数的单调性，可得函数的减区间，即的增区间，且，则，得，则函数的单调递减区间为，故选C.【题目点拨】本题主要考查了对数函数及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记对数函数的性质，以及三角函数的图象与性质，根据复合函数的单调性进行判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.6、C【解题分析】

先代入点可得，再根据斜率关系列式可得圆心坐标，然后求出半径，写出标准方程．【题目详解】将切点代入切线方程可得：，解得，设圆心为，所以，解得，所以圆的半径，所以圆的标准方程为．故选：．【题目点拨】本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题．7、A【解题分析】

由周期求出，按图象平移写出函数解析式，再由偶函数性质求出，然后根据正弦函数的性质判断．【题目详解】由题意，平移得函数式为，其为偶函数，∴，由于，∴．，，．∴是对称中心．故选：A.【题目点拨】本题考查求三角函数的解析式，考查三角函数的对称性的奇偶性．掌握三角函数图象变换是基础，掌握三角函数的性质是解题关键．8、A【解题分析】cosα＝±＝±，又∵α是第二象限角，∴cosα＝－.9、A【解题分析】

根据题意作出图形：设球心为O，过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1⊥平面ABC，延长CO1交球于点D，则SD⊥平面ABC．∵CO1=，∴，∴高SD=2OO1=，∵△ABC是边长为1的正三角形，∴S△ABC=，∴．考点：棱锥与外接球，体积．【名师点睛】本题考查棱锥与外接球问题，首先我们要熟记一些特殊的几何体与外接球（内切球）的关系，如正方体（长方体）的外接球（内切球）球心是对角线的交点，正棱锥的外接球（内切球）球心在棱锥的高上，对一般棱锥来讲，外接球球心到名顶点距离相等，当问题难以考虑时，可减少点的个数，如先考虑到三个顶点的距离相等的点是三角形的外心，球心一定在过此点与此平面垂直的直线上．如直角三角形斜边中点到三顶点距离相等等等．10、B【解题分析】

先根据辅助角公式化简，再根据奇偶性及在在上是减函数为减函数即可算出的范围。【题目详解】由题意得：因为是偶函数，所以，又因为在的减区间为，,在上是减函数，所以当时满足,选B.【题目点拨】本题主要考查了三角函数的性质：奇偶性质、单调性以及辅助角公式。型为奇函数，为偶函数。其中辅助角公式为。属于中等题。二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】

首先利用辅助角公式，半角公式，诱导公式分别求出，，的值，然后结合正弦函数的单调性对，，排序即可.【题目详解】由题知，，，因为正弦函数在上单调递增，所以.故答案为：.【题目点拨】本题考查了辅助角公式，半角公式，诱导公式，正弦函数的单调区间，属于基础题.12、【解题分析】

根据数列的递推公式，求得，再结合等差等比数列的前项和公式，即可求解，得到答案.【题目详解】由题意，数列满足，…①，…②由①-②，可得，即当时，，所以，则数列的前项和为.【题目点拨】本题主要考查了数列的递推关系式的应用，以及等差、等比数列的前项和的应用，其中解答中熟练应用熟练的递推公式得到数列的通项公式，再结合等差、等比数列的前项和公式的准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.13、.【解题分析】分析：由，均为单位向量，它们的夹角为，求出数量积，先将平方，再开平方即可的结果.详解：∵，故答案为.点睛：平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）.14、【解题分析】

利用再结合已知条件即可求解【题目详解】由，即，故答案为：【题目点拨】本题考查向量的夹角计算公式，在考题中应用广泛，属于中档题15、15【解题分析】

由a比c长4，b比c长2，用c表示出a与b，可得出a为最大边，即A为最大角，可得出cosA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，同时利用余弦定理表示出cosA，将表示出的a与b代入，并根据最大角的余弦值，得到关于c的方程，求出方程的解得到c的值，然后由b，c及sinA的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．【题目详解】根据题意得：a=c+4，b=c+2，则a为最长边，∴A为最大角，又cosA=-12，且∴A=120cos整理得：c2-c-6=0，即(c−3)(解得：c=3或c=−2(舍去)，∴a=3+4=7，b=3+2=5，则△ABC的面积S=12bcsinA=15故答案为：153【题目点拨】余弦定理一定要熟记两种形式：（1）a2=b2+16、【解题分析】

作出图形，设正方体的棱长为，取的中点，连接、，推导出，并证明出，可得出异面直线、所成的角为，并计算出、，可得出，进而得解.【题目详解】如下图所示，设正方体的棱长为，取的中点，连接、，为的中点，则，，且，为的中点，，，在正方体中，且，则四边形为平行四边形，，所以，异面直线、所成的角为，在中，，，.因此，异面直线、所成角的正弦值为.故答案为：.【题目点拨】本题考查异面直线所成角的正弦值的计算，考查计算能力，属于中等题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（I）2；（II）的最小正周期是，.【解题分析】

（Ⅰ）直接利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的值．（Ⅱ）直接利用函数的关系式，求出函数的周期和单调区间．【题目详解】（Ⅰ）f（x）＝sin2x﹣cos2xsinxcosx，＝﹣cos2xsin2x，＝﹣2，则f（）＝﹣2sin（）＝2，（Ⅱ）因为．所以的最小正周期是．由正弦函数的性质得，解得，所以，的单调递增区间是．【题目点拨】本题主要考查了三角函数的化简，以及函数的性质，是高考中的常考知识点，属于基础题，强调基础的重要性；三角函数解答题中，涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等考点时，都属于考查三角函数的性质，首先应把它化为三角函数的基本形式即，然后利用三角函数的性质求解．18、（1）；（2）对一切正整数，有.【解题分析】

（1）运用数列的递推式，结合等差数列的定义和通项公式，可得所求；（2）对一切正整数n，有，考虑当时，，再由裂项相消求和，即可得证。【题目详解】（1）当时，两式做差得，，当时，上式显然成立，。（2）证明：当时，可得由可得即有<则当时，不等式成立。检验时，不等式也成立，综上对一切正整数n，有。【题目点拨】本题考查数列递推式，考查数列求和，考查裂项法的运用，确定数列的通项是关键．19、（1）（2）3【解题分析】

（1）由，，根据三角形面积公式可知，，再根据角平分线的定义可知，到，的距离相等，所以，即可求出；（2）先根据（1）可得，，由平方关系得，再根据三角形的面积公式，可化简得，然后根据基本不等式即可求出面积的最大值．【题目详解】（1）如图所示：因为，所以．又因为为的角平分线，所以到，的距离相等，所以所以．（2）由（1）及余弦定理得：所以，又因为所以，所以又因为且，故所以，当且仅当即时取等号．所以面积的最大值为．【题目点拨】本题主要考查正余弦定理在解三角形中的应用，三角形面积公式的应用，以及利用基本不等式求最值，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．20、（1）；（2）（3）7.【解题分析】

（1）由可得为等差数列，从而可得数列的通项公式；（2）先判断时数列的各项为正数，时数列各项为负数，分两种情况讨论分别利用等差数列求和公式求解即可；（3）求得利用裂项相消法求得，由可得结果.【题目详解】（1）由题意，，为等差数列，设公差为，由题意得，.（2）若时，时，，故.（3），若对任意成立，的最小值是，对任意成立，的最大整数值是7,即存在最大整数使对任意，均有【题目点拨】本题主要考查等差数列的通项公式与求和公式，以及裂项相消法求和，属于中档题.裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其