广东省深圳市南山区南头中学2024届数学高一第二学期期末学业水平测试试题含解析

广东省深圳市南山区南头中学2024届数学高一第二学期期末学业水平测试试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．某学校有教师200人，男学生1200人，女学生1000人，现用分层抽样的方法从全体师生中抽取一个容量为n的样本，若女学生一共抽取了80人，则n的值为（）A．193 B．192 C．191 D．1902．若{an}是等差数列，且a1＋a4＋a7＝45，a2＋a5＋a8＝39，则a3＋a6＋a9＝()A．39 B．20 C．19.5 D．333．半径为，中心角为的弧长为（）A． B． C． D．4．下列两个变量之间的关系不是函数关系的是（）A．出租车车费与出租车行驶的里程B．商品房销售总价与商品房建筑面积C．铁块的体积与铁块的质量D．人的身高与体重5．甲.乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度.跑步速度均相同，则（）A．甲先到教室 B．乙先到教室C．两人同时到教室 D．谁先到教室不确定6．若关于x，y的方程组无解，则（）A． B． C．2 D．7．设等差数列的前n项和为，若，则()A．3 B．4 C．5 D．68．已知，都是实数，那么“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件9．下列函数中同时具有性质：①最小正周期是，②图象关于点对称，③在上为减函数的是（）A． B．C． D．10．如果点位于第四象限，则角是（）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．函数的值域为__________．12．已知向量夹角为，且，则__________．13．若实数满足不等式组则的最小值是_____.14．夏季某座高山上的温度从山脚起每升高100米降低0.8度，若山脚的温度是36度，山顶的温度是20度，则这座山的高度是________米15．已知圆C的方程为，一定点为A(1,2)，要使过A点作圆的切线有两条，则a的取值范围是____________16．_____________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知，且，向量，.（1）求函数的解析式，并求当时，的单调递增区间；（2）当时，的最大值为5，求的值；（3）当时，若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.18．在中，已知角的对边分别为，且.（1）求角的大小；（2）若，，求的面积.19．已知以点为圆心的圆C被直线截得的弦长为．（1）求圆C的标准方程：（2）求过与圆C相切的直线方程：（3）若Q是直线上的动点，QR，QS分别切圆C于R，S两点．试问：直线RS是否恒过定点？若是，求出恒过点坐标：若不是，说明理由．20．设等差数列的前项和为，且（是常数，），.（1）求的值及数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和为.21．在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，三点满足.（1）求值；（2）已知若的最小值为，求的最大值.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解题分析】

按分层抽样的定义，按比例计算．【题目详解】由题意，解得．故选：B.【题目点拨】本题考查分层抽样，属于简单题．2、D【解题分析】

根据等差数列的通项公式，纵向观察三个式子的项的脚标关系，可巧解.【题目详解】由等差数列得：所以同理：故选D.【题目点拨】本题考查等差数列通项公式，关键纵向观察出脚标的特殊关系更妙，属于中档题.3、D【解题分析】

根据弧长公式，即可求得结果.【题目详解】，.故选D.【题目点拨】本题考查了弧长公式，属于基础题型.4、D【解题分析】

根据函数的概念来进行判断。【题目详解】对于A选项，出租车车费实行分段收费，与出租车行驶里程成分段函数关系；对于B选项，商品房的销售总价等于商品房单位面积售价乘以商品房建筑面积，商品房销售总价与商品房建筑面积之间是一次函数关系；对于C选项，铁块的质量等于铁块的密度乘以铁块的体积，铁块的体积与铁块的质量是一次函数关系；对于D选项，有些人又高又瘦，有些人又矮又胖，人的身高与体重之间没有必然联系，因人而异，D选项中两个变量之间的关系不是函数关系。故选：D。【题目点拨】本题考查函数概念的理解，充分理解两个变量之间是“一对一”或“多对一”的形式，考查学生对这些概念的理解，属于基础题。5、B【解题分析】

设两人步行，跑步的速度分别为，（）．图书馆到教室的路程为，再分别表示甲乙的时间，作商比较即可.【题目详解】设两人步行、跑步的速度分别为，（）．图书馆到教室的路程为．则甲所用的时间为：．乙所用的时间，满足+，解得．则＝＝＝1．∴．故乙先到教室．故选：B．【题目点拨】本题考查了路程与速度、时间的关系、基本不等式的性质，属于基础题．6、A【解题分析】

由题可知直线与平行,再根据平行公式求解即可.【题目详解】由题,直线与平行,故.故选：A【题目点拨】本题主要考查了二元一次方程组与直线间的位置关系,属于基础题.7、C【解题分析】

由又，可得公差，从而可得结果.【题目详解】是等差数列又，∴公差，，故选C．【题目点拨】本题主要考查等差数列的通项公式与求和公式的应用，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.8、D【解题分析】；，与没有包含关系，故为“既不充分也不必要条件”.9、C【解题分析】

根据周期公式排除A选项；根据正弦函数的单调性，排除B选项；将代入函数解析式，排除D选项；根据周期公式，将代入函数解析式，余弦函数的单调性判断C选项正确.【题目详解】对于A项，，故A错误；对于B项，，，函数在上单调递增，则函数在上单调递增，故B错误；对于C项，；当时，，则其图象关于点对称；当，，函数在区间上单调递减，则函数在区间单调递减，故C正确；对于D项，当时，，故D错误；故选：C【题目点拨】本题主要考查了求正余弦函数的周期，单调性以及对称性的应用，属于中档题.10、C【解题分析】

由点位于第四象限列不等式，即可判断的正负，问题得解.【题目详解】因为点位于第四象限所以，所以所以角是第三象限角故选C【题目点拨】本题主要考查了点的坐标与点的位置的关系，还考查了等价转化思想及三角函数值的正负与角的终边的关系，属于基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】

本题首先可通过三角恒等变换将函数化简为，然后根据的取值范围即可得出函数的值域．【题目详解】因为，所以.【题目点拨】本题考查通过三角恒等变换以及三角函数性质求值域，考查二倍角公式以及两角和的正弦公式，考查化归与转化思想，是中档题．12、【解题分析】试题分析：的夹角，，，，.考点：向量的运算.【思路点晴】平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用.利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．列出方程组求解未知数.13、4【解题分析】试题分析：由于根据题意x,y满足的关系式，作出可行域，当目标函数z=2x+3y在边界点（2，0）处取到最小值z=2×2+3×0=4，故答案为4.考点：本试题主要考查了线性规划的最优解的运用．点评：解决该试题的关键是解决线性规划的小题时，常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解.14、2000【解题分析】

由题意得，温度下降了，再求出这个温度是由几段100米得出来的，最后乘以100即可.【题目详解】由题意得，这座山的高度为：米故答案为：2000【题目点拨】本题结合实际问题考查有理数的混合运算，解题关键是温度差里有几个0.8，属于基础题.15、【解题分析】

使过A点作圆的切线有两条，定点在圆外，代入圆方程计算得到答案.【题目详解】已知圆C的方程为，要使过A点作圆的切线有两条即点A(1,2)在圆C外：恒成立.综上所述：故答案为：【题目点拨】本题考查了点和圆的位置关系，通过切线数量判断位置关系是解题的关键.16、【解题分析】,故填.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），单调增区间为；（2）或；（3）.【解题分析】试题分析：（Ⅰ）化简，解不等式求得的范围即得增区间（2）讨论a的正负，确定最大值，求a；（3）化简绝对值不等式，转化在上恒成立，即，求出在上的最大值，最小值即得解.试题解析：（1）∵∴∴单调增区间为（2）当时，若，，∴若，，∴∴综上，或.（3）在上恒成立，即在上恒成立，∴在上最大值2，最小值，∴∴的取值范围.点睛:本题考查了平面向量的数量积的应用，三角函数的单调性与最值，三角函数的化简，恒成立问题的处理及分类讨论的数学思想，综合性强.18、（1）；（2）.【解题分析】

（1）利用边角互化思想得，由结合两角和的正弦公式可求出的值，于此得出角的大小；（2）由余弦定理可计算出，再利用三角形的面积公式可得出的面积．【题目详解】（1）∵是的内角，∴且，又由正弦定理：得：，化简得：，又∵，∴；（2）∵，，∴由余弦定理和（1）得，即，可得：，又∵，故所求的面积为.【题目点拨】本题考查正弦定理边角互化的思想，考查余弦定理以及三角形的面积公式，本题巧妙的地方在于将配凑为，避免利用方程思想求出边的值，考查计算能力，属于中等题．19、（1）（2）或（3）直线RS恒过定点【解题分析】

（1）由弦长可得,进而求解即可；（2）分别讨论直线的斜率存在与不存在的情况,再利用圆心到直线距离等于半径求解即可；（3）由QR,QS分别切圆C于R,S两点,可知,在以为直径的圆上,设为,则可得到以为直径的圆的方程,与圆联立可得,由求解即可【题目详解】（1）由题,设点到直线的距离为,则,则弦长,解得,所以圆的标准方程为:（2）当切线斜率不存在时,直线方程为,圆心到直线距离为2,故此时相切；当切线斜率存在时,设切线方程为,即,则,解得,则直线方程为,即,综上,切线方程为或（3）直线RS恒过定点,由题,,则,在以为直径的圆上,设为,则以为直径的圆的方程为:,整理可得,与圆:联立可得:,即,令,解得,故无论取何值时,直线恒过定点【题目点拨】本题考查圆的方程,考查已知圆外一点求切线方程,考查直线恒过定点问题20、(1)；(2)【解题分析】

（1）先令得出，再令，利用作差法得出，于此得出，可由和的值求出等差数列的公差，于此可求出等差数列的通项公式；（2）先求出数列的通项公式，再利用错位相减法求出数列的前项和.【题目详解】（1）因为，所以当时，，解得.当时，，即.解得，所以，解得，则.数列的公差.所以；（2）因为，所以，①，②由①－②可得，所以.【题目点拨】本题考查等差数列通项的求解，考查错位相减法求和，解题时要注意错位相减求和法所适用数列通项的结构类型，要熟练错位相减法求和的基本步骤，难点在于计算量较大，属于中等题．21、（1）（2）1【解题分