2024届湖南省宁乡一中等部分中学高一数学第二学期期末学业质量监测试题含解析

2024届湖南省宁乡一中等部分中学高一数学第二学期期末学业质量监测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．用区间表示不超过的最大整数，如，设，若方程有且只有3个实数根，则正实数的取值范围为（）A． B． C． D．2．已知，则=（）A． B． C． D．3．函数是().A．周期为的偶函数 B．周期为的奇函数C．周期为的偶函数 D．周期为奇函数4．下图所示的几何体是由一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为质点的圆锥面得到，现用一个垂直于底面的平面去截该几何体、则截面图形可能是（）A．（1）（2） B．（2）（3） C．（3）（4） D．（1）（4）5．用长为4，宽为2的矩形做侧面围成一个圆柱，此圆柱轴截面面积为（）A．8 B． C． D．6．圆与圆的位置关系为（）A．内切 B．相交 C．外切 D．相离7．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，a2+a4+a6＝12，则S7＝（）A．20 B．28 C．36 D．48．若直线始终平分圆的周长，则的最小值为（）A． B．5 C．2 D．109．在中，，，，，则（）A．或 B． C． D．10．正方体中，的中点为，的中点为，则异面直线与所成的角是()A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知x，y满足，则z＝2x+y的最大值为_____.12．已知向量、的夹角为，且，，则__________．13．函数的图像可由函数的图像至少向右平移________个单位长度得到．14．将二进制数110转化为十进制数的结果是_____________.15．根据党中央关于“精准脱贫”的要求，石嘴山市农业经济部门派3位专家对大武口、惠农2个区进行调研，每个区至少派1位专家，则甲，乙两位专家派遣至惠农区的概率为_____．16．______．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．如图，在中，，角的平分线交于点，设，其中．（1）求；（2）若，求的长．18．某中学高二年级的甲、乙两个班中，需根据某次数学预赛成绩选出某班的5名学生参加数学竞赛决赛，已知这次预赛他们取得的成绩的茎叶图如图所示，其中甲班5名学生成绩的平均分是83，乙班5名学生成绩的中位数是1．（1）求出x，y的值，且分别求甲、乙两个班中5名学生成绩的方差、，并根据结果，你认为应该选派哪一个班的学生参加决赛？（2）从成绩在85分及以上的学生中随机抽取2名．求至少有1名来自甲班的概率．19．已知角的终边经过点.（1）求的值；（2）求的值.20．设全集是实数集，集合，．（1）若，求实数的取值范围；（2）若，求．21．已知数列满足，，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解题分析】

由方程的根与函数交点的个数问题，结合数形结合的数学思想方法，作图观察y＝{x}的图象与y＝﹣kx+1的图象有且只有3个交点时k的取值范围，即可得解.【题目详解】方程{x}+kx﹣1＝0有且只有3个实数根等价于y＝{x}的图象与y＝﹣kx+1的图象有且只有3个交点，当0≤x＜1时，{x}＝x，当1≤x＜2时，{x}＝x﹣1，当2≤x＜3时，{x}＝x﹣2，当3≤x＜4时，{x}＝x﹣3，以此类推如上图所示，实数k的取值范围为：k，即实数k的取值范围为：（，]，故选A．【题目点拨】本题考查了方程的根与函数交点的个数问题，数形结合的数学思想方法，属中档题．2、C【解题分析】由得：，所以，故选D.3、B【解题分析】因，故是奇函数，且最小正周期是，即，应选答案B．点睛：解答本题时充分运用题设条件，先借助二倍角的余弦公式的变形，将函数的形式进行化简，然后再验证函数的奇偶性与周期性，从而获得问题的答案．4、D【解题分析】

根据圆锥曲线的定义和圆锥的几何特征，分截面过旋转轴时和截面不过旋转轴时两种情况，分析截面图形的形状，最后综合讨论结果，可得答案．【题目详解】根据题意，当截面过旋转轴时，圆锥的轴截面为等腰三角形，此时（1）符合条件；当截面不过旋转轴时，圆锥的轴截面为双曲线的一支，此时（4）符合条件；故截面图形可能是（1）（4）；故选：D．【题目点拨】本题考查的知识点是旋转体，圆锥曲线的定义，关键是掌握圆柱与圆锥的几何特征.5、B【解题分析】

分别讨论当圆柱的高为4时，当圆柱的高为2时，求出圆柱轴截面面积即可得解.【题目详解】解：当圆柱的高为4时，设圆柱的底面半径为，则，则，则圆柱轴截面面积为，当圆柱的高为2时，设圆柱的底面半径为，则，则，则圆柱轴截面面积为，综上所述，圆柱的轴截面面积为，故选：B.【题目点拨】本题考查了圆柱轴截面面积的求法，属基础题.6、B【解题分析】试题分析：两圆的圆心距为，半径分别为，，所以两圆相交．故选C．考点：圆与圆的位置关系．7、B【解题分析】

由等差数列的性质计算．【题目详解】由题意，，∴．故选B．【题目点拨】本题考查等差数列的性质，灵活运用等差数列的性质可以很快速地求解等差数列的问题．在等差数列中，正整数满足，则，特别地若，则；．8、B【解题分析】试题分析：把圆的方程化为标准方程得，所以圆心坐标为半径，因为直线始终平分圆的周长，所以直线过圆的圆心，把代入直线得；即，在直线上，是点与点的距离的平方，因为到直线的距离，所以的最小值为，故选B.考点：1、圆的方程及几何性质；2、点到直线的距离公式及最值问题的应用.【方法点晴】本题主要考查圆的方程及几何性质、点到直线的距离公式及最值问题的应用，属于难题.解决解析几何的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将解析几何中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题就是利用几何意义，将的最小值转化为点到直线的距离解答的.9、C【解题分析】

由三角形面积公式可得，进而可得解.【题目详解】在中，，，,，可得，所以，所以【题目点拨】本题主要考查了三角形的面积公式，属于基础题.10、D【解题分析】

首先根据得到异面直线与所成的角就是直线与所成角，再根据即可求出答案.【题目详解】由图知：取的中点，连接.因为，所以异面直线与所成的角就是直线与所成角.因为，所以，.因为，所以，.所以异面直线与所成的角为.故选：D【题目点拨】本题主要考查异面直线所成角，平移找角为解题的关键，属于简单题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、1.【解题分析】

先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，表示直线在轴上的截距，只需求出可行域直线在轴上的截距最大值即可．【题目详解】解：，在坐标系中画出图象，三条线的交点分别是，，，在中满足的最大值是点，代入得最大值等于1．故答案为：1．【题目点拨】本题是考查线性规划问题，本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．12、【解题分析】

根据向量的数量积的应用进行转化即可．【题目详解】，与的夹角为，∴•||||cos4，则，故答案为．【题目点拨】本题主要考查向量长度的计算，根据向量数量积的应用是解决本题的关键．13、【解题分析】试题分析：因为，所以函数的的图像可由函数的图像至少向右平移个单位长度得到．【考点】三角函数图像的平移变换、两角差的正弦公式【误区警示】在进行三角函数图像变换时，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握，无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言，即图像变换要看“变量”变化多少，而不是“角”变化多少．14、6【解题分析】

将二进制数从右开始,第一位数字乘以2的0次幂,第二位数字乘以2的1次幂,以此类推,进行计算即可.【题目详解】,故答案为:6.【题目点拨】本题考查进位制,解题关键是了解不同进制数之间的换算法则,属于基础题.15、【解题分析】

将所有的基本事件全部列举出来，确定基本事件的总数，并确定所求事件所包含的基本事件数，然后利用古典概型的概率公式求出答案．【题目详解】所有的基本事件有：（甲、乙丙）、（乙，甲丙）、（丙、甲乙）、（甲乙、丙）、（甲丙、乙）、（乙丙、甲）（其中前面的表示派往大武口区调研的专家），共个，因此，所求的事件的概率为，故答案为．【题目点拨】本题考查古典概型概率的计算，解决这类问题的关键在于确定基本事件的数目，一般利用枚举法和数状图法来列举，遵循不重不漏的基本原则，考查计算能力，属于基础题．16、【解题分析】

,,故答案为.考点：三角函数诱导公式、切割化弦思想.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）5.【解题分析】

（1）根据求出和的值，利用角平分线和二倍角公式求出，即可求出；（2）根据正弦定理求出，的关系，利用向量的夹角公式求出，可得，正弦定理可得答案【题目详解】解：（1）由，且，，，，则；（2）由正弦定理，得，即，，又，，由上两式解得，又由，得，解得【题目点拨】本题考查了二倍角公式和正弦定理的灵活运用和计算能力，是中档题．18、（3）甲班参加；（4）．【解题分析】

试题分析：（3）由题意知求出x=5，y=4．从而求出乙班学生的平均数为83，分别求出S34和S44，根据甲、乙两班的平均数相等，甲班的方差小，得到应该选派甲班的学生参加决赛．（4）成绩在85分及以上的学生一共有5名，其中甲班有4名，乙班有3名，由此能求出随机抽取4名，至少有3名来自甲班的概率．试题解析：（3）甲班的平均分为，易知．；又乙班的平均分为，∴；∵，，说明甲班同学成绩更加稳定，故应选甲班参加．（4）分及以上甲班有人，设为；乙班有人，设为，从这人中抽取人的选法有：，共种，其中甲班至少有名学生的选法有种，则甲班至少有名学生被抽到的概率为．考点：3．古典概型及其概率计算公式；4．茎叶图．19、（1）；（2）【解题分析】

（1）直接利用任意角的三角函数的定义，求得的值．（2）利用诱导公式化简所给的式子，再把代入，求得结果．【题目详解】解：（1）因为角的终边经过点由三角函数的定义可知．（2）由（1）知，．【题目点拨】本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，属于基础题．20、（1）或（2）当时，；当时，【解题分析】

（1）若，则或，解得实数的取值范围；（2）若则，