2024届湖南省湘潭县凤凰中学数学高一下期末达标测试试题含解析

2024届湖南省湘潭县凤凰中学数学高一下期末达标测试试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．直线l：的倾斜角为（）A． B． C． D．2．如图，两个正方形和所在平面互相垂直，设、分别是和的中点，那么：①；②平面；③；④、异面.其中不正确的序号是（）A．① B．② C．③ D．④3．已知函数，当时，取得最小值，则等于（）A．9 B．7 C．5 D．34．直线经过点和，则直线的倾斜角为（）A． B． C． D．5．在中，，则此三角形解的情况是()A．一解 B．两解 C．一解或两解 D．无解6．棱长都是1的三棱锥的表面积为（）A． B． C． D．7．命题“”的否定是（）A．, B．,C．, D．,8．在边长为的正方形内有一个半径为1的圆，向正方形中随机扔一粒豆子（忽略大小，视为质点），若它落在该圆内的概率为，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为（）A． B． C． D．9．已知等差数列的公差d＞0，则下列四个命题：①数列是递增数列；②数列是递增数列；③数列是递增数列；④数列是递增数列；其中正确命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．410．已知等比数列的前项和为，若，，则数列的公比()A． B． C．或 D．以上都不对二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，M为B1C1中点，连接A1B，D1M，则异面直线A1B和D1M所成角的余弦值为________________________．12．在矩形中，，现将矩形沿对角线折起，则所得三棱锥外接球的体积是________.13．在平面直角坐标系中，在轴、轴正方向上的投影分别是、，则与同向的单位向量是__________．14．直线过点且倾斜角为,直线过点且与垂直,则与的交点坐标为____15．已知等边，为中点，若点是所在平面上一点，且满足，则__________.16．某课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为4，12，8，若用分层抽样抽取6个城市，则丙组中应抽取的城市数为_______．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．某中学从高三男生中随机抽取n名学生的身高，将数据整理，得到的频率分布表如表所示：组号分组频数频率第1组50.05第2组a0.35第3组30b第4组200.20第5组100.10合计n1.00（1）求出频率分布表中的值，并完成下列频率分布直方图；（2）为了能对学生的体能做进一步了解，该校决定在第1，4，5组中用分层抽样取7名学生进行不同项目的体能测试，若在这7名学生中随机抽取2名学生进行引体向上测试，求第4组中至少有一名学生被抽中的概率.18．随着高校自主招生活动的持续开展，我市高中生掀起了参与数学兴趣小组的热潮.为调查我市高中生对数学学习的喜好程度，从甲、乙两所高中各自随机抽取了40名学生，记录他们在一周内平均每天学习数学的时间，并将其分成了6个区间：、、、、、，整理得到如下频率分布直方图：（1）试估计甲高中学生一周内平均每天学习数学的时间的中位数甲（精确到0.01）；（2）判断从甲、乙两所高中各自随机抽取的40名学生一周内平均每天学习数学的时间的平均值甲与乙及方差甲与乙的大小关系（只需写出结论），并计算其中的甲、甲（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.19．已知各项均为正数的等比数列满足：，且，．(Ⅰ)求数列的通项公式；(Ⅱ)求数列的前n项和.20．如图，已知点P在圆柱OO1的底面⊙O上，分别为⊙O、⊙O1的直径，且平面．（1）求证：；（2）若圆柱的体积，①求三棱锥A1﹣APB的体积．②在线段AP上是否存在一点M，使异面直线OM与所成角的余弦值为？若存在，请指出M的位置，并证明；若不存在，请说明理由．21．设数列是等差数列，其前n项和为；数列是等比数列，公比大于0，其前项和为．已知，，，．（1）求数列和数列的通项公式；（2）设数列的前n项和为，若对任意的恒成立，求实数m的取值范围．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解题分析】

由直线的斜率，又，再求解即可.【题目详解】解：由直线l：，则直线的斜率，又，所以，即直线l：的倾斜角为，故选：C.【题目点拨】本题考查了直线倾斜角的求法，属基础题.2、D【解题分析】

取的中点，连接，，连接，，由线面垂直的判定和性质可判断①；由三角形的中位线定理，以及线面平行的判定定理可判断②③④．【题目详解】解：取的中点，连接，，连接，，正方形和所在平面互相垂直，、分别是和的中点，可得，，平面，可得，故①正确；由为的中位线，可得，且平面，可得平面，故②③正确，④错误．故选：D．【题目点拨】本题主要考查空间线线和线面的位置关系，考查转化思想和数形结合思想，属于基础题．3、B【解题分析】

先对函数进行配凑，使得能够使用均值不等式，再利用均值不等式，求得结果.【题目详解】因为故当且仅当，即时，取得最小值.故，则.故选：B.【题目点拨】本题考查均值不等式的使用，属基础题；需要注意均值不等式使用的条件.4、D【解题分析】

算出直线的斜率后可得其倾斜角.【题目详解】设直线的斜率为，且倾斜角为，则，根据，而，故，故选D.【题目点拨】本题考查直线倾斜角的计算，属于基础题.5、B【解题分析】由题意知，，，，∴，如图：∵，∴此三角形的解的情况有2种，故选B．6、A【解题分析】

三棱锥的表面积为四个边长为1的等边三角形的面积和，故，故选A.7、B【解题分析】

含有一个量词的命题的否定，注意“改量词，否结论”.【题目详解】改为，改成，则有：.故选：B.【题目点拨】本题考查含一个量词的命题的否定，难度较易.8、A【解题分析】

通过几何概型可得答案.【题目详解】由几何概型可知，则.【题目点拨】本题主要考查几何概型的相关计算，难度中等.9、B【解题分析】

对于各个选项中的数列，计算第n+1项与第n项的差，看此差的符号，再根据递增数列的定义得出结论．【题目详解】设等差数列，d＞0∵对于①，n+1﹣n＝d＞0，∴数列是递增数列成立，是真命题．对于②，数列，得，，所以不一定是正实数，即数列不一定是递增数列，是假命题．对于③，数列，得，，不一定是正实数，故是假命题．对于④，数列，故数列是递增数列成立，是真命题．故选：B．【题目点拨】本题考查用定义判断数列的单调性，考查学生的计算能力，正确运用递增数列的定义是关键，属于基础题．10、C【解题分析】

根据和可得，解得结果即可.【题目详解】由得，所以，所以，所以，解得或故选：C.【题目点拨】本题考查了等比数列的通项公式的基本量的运算，属于基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、.【解题分析】

连接、，取的中点，连接，可知，且是以为腰的等腰三角形，然后利用锐角三角函数可求出的值作为所求的答案．【题目详解】如下图所示：连接、，取的中点，连接，在正方体中，，则四边形为平行四边形，所以，则异面直线和所成的角为或其补角，易知，由勾股定理可得，，为的中点，则，在中，，因此，异面直线和所成角的余弦值为，故答案为．【题目点拨】本题考查异面直线所成角的余弦值的计算，求解异面直线所成的角一般利用平移直线法求解，遵循“一作、二证、三计算”，在计算时，一般利用锐角三角函数的定义或余弦定理求解，考查计算能力，属于中等题．12、【解题分析】

取的中点，连接，三棱锥外接球的半径再计算体积.【题目详解】如图，取的中点，连接.由题意可得，则所得三棱锥外接球的半径，其体积为.故答案为【题目点拨】本题考查了三棱锥的外切球体积，计算是解题的关键.13、【解题分析】

根据题意得出，再利用单位向量的定义即可求解.【题目详解】由在轴、轴正方向上的投影分别是、，可得，所以与同向的单位向量为，故答案为：【题目点拨】本题考查了向量的坐标表示以及单位向量的定义，属于基础题.14、【解题分析】

通过题意，求出两直线方程，联立方程即可得到交点坐标.【题目详解】根据题意可知，因此直线为：，由于直线与垂直，故，所以，所以直线为：，联立两直线方程，可得交点.【题目点拨】本题主要考查直线方程的相关计算，难度不大.15、0【解题分析】

利用向量加、减法的几何意义可得，再利用向量数量积的定义即可求解.【题目详解】根据向量减法的几何意义可得：,即,所以.故答案为：0【题目点拨】本题考查了向量的加、减法的几何意义以及向量的数量积，属于基础题.16、2【解题分析】

根据抽取6个城市作为样本，得到每个个体被抽到的概率,用概率乘以丙组的数目，即可得到结果.【题目详解】城市有甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为4,12,8.

本市共有城市数24,用分层抽样的方法从中抽取一个容量为6的样本，

每个个体被抽到的概率是，丙组中对应的城市数8，则丙组中应抽取的城市数为,故答案为2.【题目点拨】本题主要考查分层抽样的应用以及古典概型概率公式的应用，属于基础题.分层抽样适合总体中个体差异明显，层次清晰的抽样，其主要性质是，每个层次，抽取的比例相同.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）直方图见解析；（2）.【解题分析】

（1）由题意知，0.050，从而n＝100，由此求出第2组的频数和第3组的频率，并完成频率分布直方图．（2）利用分层抽样，35名学生中抽取7名学生，设第1组的1位学生为，第4组的4位同学为,第5组的2位同学为，利用列举法能求出第4组中至少有一名学生被抽中的概率．【题目详解】（1）由频率分布表可得，所以，；（2）因为第1，4，5组共有35名学生，利用分层抽样，在35名学生中抽取7名学生，每组分别为：第1组；第4组；第5组.设第1组的1位学生为，第4组的4位同学为,第5组的2位同学为.则从7位学生中抽两位学生的基本事件分别为：一共21种.记“第4组中至少有一名学生被抽中”为事件，即包含的基本事件分别为：一共3种，于是所以，.【题目点拨】本题考查概率的求法，考查频率分布直方图、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18、（1）；（2）甲乙，甲乙，甲=，甲=【解题分析】

（1）根据每组小矩形的面积确定中位数所在区间，即可求解；（2）根据直方图特征即可判定甲乙，甲乙，根据平均数和方差的公式分别计算求值.【题目详解】（1）由甲高中频率分布直方图可得：第一组频率0.1，第二组频率0.2，第三组频率0.3，所以中位数在第三组，甲；（2）根据两个频率分布直方图可得：甲乙，甲乙甲=甲=【题目点拨】此题考查频率分布直方图，根据两组直方图特征判断中位数和方差的大小关系，求中位数，平均数和方差，关键在于熟练掌握相关数据的求法，准确计算得解.19、(Ⅰ)(Ⅱ)【解题分析】

（I）由得出，可得公比为2，再求出后可得；（II）由（I）得，则，可用错位相减法求．【题目详解】解：(Ⅰ)因为所以即.由因为所以，公比所以(Ⅱ)由(Ⅰ)知，，所以.所以因为所以所以【题目点拨】本题考查等比数列的通项公式，考查错位相减法求和．数列求和根据数列的通项公式可采取不同的方法，一般有公式法、分组求和法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等．20、（1）见解析；（2）①，②见解析【解题分析】

（1）根据，得出平面，故而；（2）①根据圆柱的体积计算，根据计算，，代入体积公式计算棱锥的体积；②先证明就是异面直线与所成的角，然后根据可得，故为的中点．【题目详解】（1）证明：∵P在⊙O上，AB是⊙O的直径，平面又，平面，又平面，故．（2）①由题意，解得，由，得，，∴三棱锥的体积．②在AP上存在一点M，当M为AP的中点时，使异面直线OM与所成角的余弦值为．证明：∵O、M分别为的中点，则，就是异面直线OM与所成的角，又，在中，．∴在AP上存在一点M，当M为AP的中点时，使异面直线OM与所成角的余弦值为．【题目点