山东省淄博市淄川区般阳中学2024届数学高一第二学期期末经典模拟试题含解析

山东省淄博市淄川区般阳中学2024届数学高一第二学期期末经典模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值是（）A． B． C． D．2．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A． B．C． D．3．已知点，直线方程为，且直线与线段相交，求直线的斜率k的取值范围为（）A．或 B．或C． D．4．已知实数满足且，则下列选项中不一定成立的是（）A． B． C． D．5．已知圆经过点，且圆心为，则圆的方程为A． B．C． D．6．若关于的方程有且只有两个不同的实数根，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．7．一个人连续射击三次，则事件“至少击中两次”的对立事件是（）A．恰有一次击中 B．三次都没击中C．三次都击中 D．至多击中一次8．若将函数的图象向左平移个单位长度，平移后的图象关于点对称，则函数在上的最小值是A． B． C． D．9．一个正方体内接于一个球，过球心作一个截面，如图所示，则截面的可能图形是（）A．①③④ B．②④ C．②③④ D．①②③10．在ΔABC中，a,b,c分别为A,B,C的对边，如果a,b,c成等差数列，B=30°，ΔABC的面积为32，那么b=A．1+32 B．1+3 C．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知，，，，则________.12．已知是内的一点，，，则_______；若，则_______.13．已知正三棱柱木块，其中，，一只蚂蚁自点出发经过线段上的一点到达点，当沿蚂蚁走过的最短路径，截开木块时，两部分几何体的体积比为______.14．已知等差数列中，，，则该等差数列的公差的值是______.15．已知中，，则面积的最大值为_____16．已知点及其关于原点的对称点均在不等式表示的平面区域内，则实数的取值范围是____．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．说：“绿水青山就是金山银山”.某地相应号召，投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，2018年投入1000万元，以后每年投入将比上一年减少，本年度当地旅游业收入估计为500万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上一年增加.（1）设年内（2018年为第一年）总投入为万元，旅游业总收入为万元，写出、的表达式；（2）至少到哪一年，旅游业的总收入才能超过总投入.（参考数据：，，）18．某市地铁全线共有四个车站，甲、乙两人同时在地铁第1号车站（首发站）乘车，假设每人自第2号站开始，在每个车站下车是等可能的，约定用有序实数对表示“甲在号车站下车，乙在号车站下车”（Ⅰ）用有序实数对把甲、乙两人下车的所有可能的结果列举出来；（Ⅱ）求甲、乙两人同在第3号车站下车的概率；（Ⅲ）求甲、乙两人在不同的车站下车的概率．19．设甲、乙、丙三个乒乓球协会分别选派3，1，2名运动员参加某次比赛，甲协会运动员编号分别为，，，乙协会编号为，丙协会编号分别为，，若从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛.（1）用所给编号列出所有可能抽取的结果；（2）求丙协会至少有一名运动员参加双打比赛的概率；（3）求参加双打比赛的两名运动员来自同一协会的概率.20．已知数列的前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）已知，记（且），是否存在这样的常数，使得数列是常数列，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；（3）若数列，对于任意的正整数，均有成立，求证：数列是等差数列.21．对于三个实数、、，若成立，则称、具有“性质”.（1）试问：①，0是否具有“性质2”；②（），0是否具有“性质4”；（2）若存在及，使得成立，且，1具有“性质2”，求实数的取值范围；（3）设，，，为2019个互不相同的实数，点（）均不在函数的图象上，是否存在，且，使得、具有“性质2018”，请说明理由.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解题分析】

由题意知两直线互相垂直，根据直线分别求出定点与定点，再利用基本不等式，即可得出答案。【题目详解】直线过定点，直线过定点,又因直线与直线互相垂直，即即，当且仅当时取等号故选A【题目点拨】本题考查直线位置关系，考查基本不等式，属于中档题。2、C【解题分析】

先通过三视图找到几何体原图，再求几何体的体积得解.【题目详解】由题得该几何体是一个边长为4的正方体挖去一个圆锥（圆锥底面在正方体上表面上，圆锥顶部朝下），所以几何体体积为.故选：C【题目点拨】本题主要考查三视图还原几何体原图，考查组合体体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3、A【解题分析】

先求出线段的方程，得出，在直线的方程中得到，将代入的表达式，利用不等式的性质求出的取值范围．【题目详解】易求得线段的方程为，得，由直线的方程得，当时，，此时，；当时，，此时，．因此，实数的取值范围是或，故选A．【题目点拨】本题考查斜率取值范围的计算，可以利用数形结合思想，观察倾斜角的变化得出斜率的取值范围，也可以利用参变量分离，得出斜率的表达式，利用不等式的性质得出斜率的取值范围，考查计算能力，属于中等题．4、D【解题分析】

由题设条件可以得到，从而可判断A，B中的不等式都是正确的，再把题设变形后可得，从而C中的不等式也是成立的，当，D中的不等式不成立，而时，它又是成立的，故可得正确选项.【题目详解】因为且，故，所以，故A正确；又，故，故B正确；而，故，故C正确；当时，，当时，有，故不一定成立，综上，选D.【题目点拨】本题考查不等式的性质，属于基础题.5、D【解题分析】

先计算圆半径，然后得到圆方程.【题目详解】因为圆经过，且圆心为所以圆的半径为，则圆的方程为.故答案选D【题目点拨】本题考查了圆方程，先计算半径是解题的关键.6、B【解题分析】

方程化为，可转化为半圆与直线有两个不同交点，作图后易得．【题目详解】由得由题意半圆与直线有两个不同交点，直线过定点，作出半圆与直线，如图，当直线过时，，，当直线与半圆相切（位置）时，由，解得．所以的取值范围是．故选：B.【题目点拨】本题考查方程根的个数问题，把问题转化为直线与半圆有两个交点后利用数形结合思想可以方便求解．7、D【解题分析】

根据判断的原则：“至少有个”的对立是“至多有个”.【题目详解】根据判断的原则：“至少击中两次”的对立事件是“至多击中一次”，故选D.【题目点拨】至多至少的对立事件问题，可以采用集合的补集思想进行转化.如“至少有个”则对应“”，其补集应为“”.8、C【解题分析】

由题意得，故得平移后的解析式为，根据所的图象关于点对称可求得，从而可得，进而可得所求最小值．【题目详解】由题意得，将函数的图象向左平移个单位长度所得图象对应的解析式为，因为平移后的图象关于点对称，所以，故，又，所以．所以，由得，所以当或，即或时，函数取得最小值，且最小值为．故选C．【题目点拨】本题考查三角函数的性质的综合应用，解题的关键是求出参数的值，容易出现的错误是函数图象平移时弄错平移的方向和平移量，此时需要注意在水平方向上的平移或伸缩只是对变量而言的．9、A【解题分析】

分别当截面平行于正方体的一个面时，当截面过正方体的两条相交的体对角线时，当截面既不过体对角线也不平行于任一侧面时，进行判定，即可求解.【题目详解】由题意，当截面平行于正方体的一个面时得③；当截面过正方体的两条相交的体对角线时得④；当截面既不过正方体体对角线也不平行于任一侧面时可能得①；无论如何都不能得②.故选A.【题目点拨】本题主要考查了正方体与球的组合体的截面问题，其中解答中熟记空间几何体的结构特征是解答此类问题的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理能力，属于基础题.10、B【解题分析】试题分析：由余弦定理得b2==14ac=32⇒ac=6，因为a  ，  考点：余弦定理；三角形的面积公式．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】

根据已知角的范围分别求出，，利用整体代换即可求解.【题目详解】，，，所以，，，，所以，=故答案为：【题目点拨】此题考查三角函数给值求值的问题，关键在于弄清角的范围，准确得出三角函数值，对所求的角进行合理变形，用已知角表示未知角.12、【解题分析】

对式子两边平方，再利用向量的数量积运算即可；式子两边分别与向量，进行数量积运算，得到关于的方程组，解方程组即可得答案.【题目详解】∵，∴；∵，∴解得：，∴.故答案为：；.【题目点拨】本题考查向量数量积的运算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意将向量等式转化为数量关系的方法.13、【解题分析】

将正三棱柱的侧面沿棱展开成平面，连接与的交点即为满足最小时的点，可知点为棱的中点，即可计算出沿着蚂蚁走过的路径截开木块时两几何体的体积之比.【题目详解】将正三棱柱沿棱展开成平面，连接与的交点即为满足最小时的点.由于，，再结合棱柱的性质，可得，一只蚂蚁自点出发经过线段上的一点到达点，当沿蚂蚁走过的最短路径，为的中点，因为三棱柱是正三棱柱，所以当沿蚂蚁走过的最短路径，截开木块时，两部分几何体的体积比为：.故答案为：.【题目点拨】本题考查棱柱侧面最短路径问题，涉及棱柱侧面展开图的应用以及几何体体积的计算，考查分析问题解决问题能力，是中档题．14、【解题分析】

根据等差数列的通项公式即可求解【题目详解】故答案为：【题目点拨】本题考查等差通项基本量的求解，属于基础题15、【解题分析】

设，则，根据面积公式得，由余弦定理求得代入化简，由三角形三边关系求得，由二次函数的性质求得取得最大值．【题目详解】解：设，则，根据面积公式得，由余弦定理可得，可得：，由三角形三边关系有：，且，解得：，故当时，取得最大值，故答案为：．【题目点拨】本题主要考查余弦定理和面积公式在解三角形中的应用．当涉及最值问题时，可考虑用函数的单调性和定义域等问题，属于中档题．16、【解题分析】

根据题意，设与关于原点的对称，分析可得的坐标，由二元一次不等式的几何意义可得，解可得的取值范围，即可得答案．【题目详解】根据题意，设与关于原点的对称，则的坐标为，若、均在不等式表示的平面区域内，则有，解可得：，即的取值范围为，；故答案为，．【题目点拨】本题考查二元一次不等式表示平面区域的问题，涉及不等式的解法，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），；（2）2022年【解题分析】

（1）根据题意，知每年投入资金和旅游业收入是等比数列，根据等比数列的前n项和公式，即可求解；（2）根据（1）中解析式，列出不等式，令，化简不等式，即可求解.【题目详解】解：（1）2018年投入为1000万元，第年投入为万元，所以，年内的总投入为.2018年旅游业收入为500万元，第年旅游业收入为万元，所以，年内的旅游业总收入为.（2）设至少经讨年，旅游业的总收入才能超讨总投入，由此得，即，令，代入上式得，解得或（舍去），即，不等式两边取常用对数，，即.∴∴至少到2022年，旅游业的总收入才能超过总投入.【题目点拨】本题考查等比数列求和公式，转化法解指数不等式，考查数学建模思想方法，考查计算能力，属于中等题型.18、（Ⅰ）（2，2）、（2，3）、（2，4）、（3，2）、（3，3）、（3，4）、（4，2）、（4，3）、（4，4）（Ⅱ）（Ⅲ）【解题分析】(Ⅰ)甲、乙两人下车的所有可能的结果为(2,2),(2,3),(2,4),(3,2),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(4,4)(Ⅱ)设甲、乙两人同在第3号车站下车的的事件为A，则(Ⅲ)设甲、乙两人在不同的车站下车的事件为B，则19、（1）15种；（2）；（3）【解题分析】

（1）从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛，利用列举法即可得到所有可能的结果.（2利用列举法得到“丙协会至少有一名运动员参加双打比赛”的基本事件的个数，利用古典概型，即可求解；（3）由两名运动员来自同一协会有，，，，共4种，利用古典概型，即可求解．【题目详解】（1）由题意，从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛，所有可能的结果为，，，，，，，，，，，，，，，共15种.（2）因为丙协会至少有一名运动员参加双打比赛，所以编号为，的两名运动员至少有一人被抽到，其结果为：设“丙协会至少有一名运动员参加双打比赛”为事件，，，，，，，，，，共9种，所以丙协会至少有一名运动员参加双打比赛的概率.（3）两名运动员来自同一协会有，，，，共4种，参加双打比赛的两名运动员来自同一协会的概率为.【题目点拨】本题主要考查了古典概型及其概率的计算问题，其中解答中准确利用列举法的基本事件的总数，找出所求事件所包含的基本事件的个数，利用古典概型及其概率的计算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．20、（1）（2）（3）见解析【解题分析】

（1）根据和项与通项关系得，再根据等比数列定义与通项公式求解（2）先化简，再根据恒成立思想求的值（3）根据和项得，再作差得，最后根据等差数列定义证明.【题目详解】（1），所以，由得时，，两式相减得，，，数列是以2为首项，公比为的等比数列，所以.（2）若数列是常数列，为常数.只有，解得，此时.（3）①，，其中