高三理科数学最新模拟试题分类汇编：立体几何含答案

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精北京2013届高三理科数学最新模拟试题分类汇编7：立体几何一、选择题AUTONUM\＊Arabic\＊MERGEFORMAT．（2013届北京海滨一模理科）设为空间中三条互相平行且两两间的距离分别为4，5，6的直线.给出下列三个结论：①，使得是直角三角形;②，使得是等边三角形；③三条直线上存在四点，使得四面体为在一个顶点处的三条棱两两互相垂直的四面体。其中，所有正确结论的序号是 （)A．① B．①② C．①③ D．②③【答案】BAUTONUM\＊Arabic．（2013北京海淀二模数学理科试题及答案）某空间几何体的三视图如右图所示,则该几何体的表面积为 （）A． B． C． D．【答案】 B．AUTONUM\＊Arabic．（2013届北京市延庆县一模数学理）一四面体的三视图如图所示，则该四面体四个面中最大的面积是（7题图） （）（7题图）A． B． C． D．【答案】DAUTONUM\*Arabic．(2013届北京西城区一模理科）某正三棱柱的三视图如图所示,其中正（主)视图是边长为的正方形，该正三棱柱的表面积是 （)A．B．C． D．【答案】CAUTONUM\＊Arabic\＊MERGEFORMAT．（2013北京昌平二模数学理科试题及答案）已知四棱锥的三视图如图所示，则此四棱锥的四个侧面的面积中最大的是 （）A． B． C． D．【答案】 C．AUTONUM\＊Arabic．(2013北京朝阳二模数学理科试题）某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为 （）A． B． C． D．11正视图1侧视图俯视图1【答案】 （）A．AUTONUM\＊Arabic\＊MERGEFORMAT．（2013届门头沟区一模理科）主视图1左视图1俯视图1一个几何体的三视图如右图所示，主视图1左视图1俯视图1 (）A． B． C． D．【答案】CAUTONUM\*Arabic．(2013届房山区一模理科数学）某三棱椎的三视图如图所示，该三棱锥的四个面的面积中，最大的是 （）A． B． C． D．【答案】CAUTONUM\*Arabic．（2013届北京大兴区一模理科）已知平面，直线，下列命题中不正确的是 （）A．若，，则∥B．若∥，，则C．若∥，，则∥D．若，,则．【答案】CAUTONUM\*Arabic．（2013届北京西城区一模理科）如图，正方体中,为底面上的动点，于，且，则点的轨迹是 （）A．线段 B．圆弧 C．椭圆的一部分 D．抛物线的一部分【答案】AAUTONUM\*Arabic\＊MERGEFORMAT．（2013北京东城高三二模数学理科)已知一个三棱锥的三视图如图所示,其中三个视图都是直角三角形，则在该三棱锥的四个面中,直角三角形的个数为 （）A．1 B．2 C．3 D．【答案】 D．AUTONUM\*Arabic．（北京市朝阳区2013届高三第一次综合练习理科数学）某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为１１１１１１正视图侧视图俯视图A． B． C． D．8【答案】D二、填空题AUTONUM\＊Arabic\＊MERGEFORMAT．（2013北京顺义二模数学理科试题及答案）一个几何体的三视图如图所示，若该几何体的表面积为92m2，则_______m。正(主)视图正(主)视图侧(左)主视图俯视图245h【答案】4AUTONUM\*Arabic．（北京市石景山区2013届高三一模数学理试题）某四棱锥的三视图如图所示,则最长的一条侧棱长度是_____________________.【答案】AUTONUM\＊Arabic．(2013届北京丰台区一模理科)某四面体的三视图如图所示，则该四面体的四个面中,直角三角形的面积和是_______。【答案】；三、解答题AUTONUM\*Arabic．(2013届门头沟区一模理科)在等腰梯形ABCD中,，，，N是BC的中点．将梯形ABCD绕AB旋转，得到梯形(如图）．（Ⅰ）求证:平面；（Ⅱ）求证：平面;(Ⅲ）求二面角的余弦值．AACDBN【答案】(Ⅰ）证明：因为，N是BC的中点所以,又所以四边形是平行四边形，所以又因为等腰梯形，，xzyACDBxzyACDBN所以，即由已知可知平面平面，因为平面平面所以平面……………4分(Ⅱ）证明：因为，,所以平面平面又因为平面，所以平面…………8分（Ⅲ)因为平面同理平面，建立如图如示坐标系设，则，，，，……………9分则,设平面的法向量为，有，，得……………11分因为平面，所以平面平面又，平面平面所以平面与交于点O，O则为AN的中点，O所以平面的法向量……………12分所以……………13分由图形可知二面角为钝角所以二面角的余弦值为．……………14分AUTONUM\＊Arabic\＊MERGEFORMAT．（2013北京朝阳二模数学理科试题）如图，四边形是正方形,平面，,,,,分别为,，的中点.（Ⅰ）求证:平面;（Ⅱ)求平面与平面所成锐二面角的大小；（Ⅲ）在线段上是否存在一点，使直线与直线所成的角为？若存在，求出线段的长;若不存在，请说明理由。AADBCPEFGH【答案】(Ⅰ）证明:因为,分别为,的中点,所以.又平面，平面，所以平面（Ⅱ)因为平面，,所以平面,所以，.又因为四边形是正方形,所以.如图，建立空间直角坐标系，因为，ADADBCPEFGHzyx所以，,,，，.因为，，分别为，，的中点，所以，,.所以,.设为平面的一个法向量,则，即,再令，得.,。设为平面的一个法向量，则,即，令，得.所以==。所以平面与平面所成锐二面角的大小为(Ⅲ）假设在线段上存在一点，使直线与直线所成角为.依题意可设，其中。由,则.又因为,,所以.因为直线与直线所成角为,,所以=，即,解得。所以,。所以在线段上存在一点,使直线与直线所成角为,此时AUTONUM\*Arabic\＊MERGEFORMAT．（2013北京昌平二模数学理科试题及答案）如图，在四棱锥中,底面是边长为的正方形，侧面底面,且,、分别为、的中点.（Ⅰ)求证://平面；(Ⅱ）求证：面平面；（Ⅲ)在线段上是否存在点使得二面角的余弦值为？说明理由。【答案】(Ⅰ）证明:连结,为正方形,为中点,为中点.∴在中，//且平面,平面∴（Ⅱ）证明:因为平面平面,平面面为正方形，，平面所以平面.∴又,所以是等腰直角三角形，且即，且、面面又面,∴面面(Ⅲ)如图，取的中点，连结，。∵，∴.∵侧面底面,,∴,而分别为的中点,∴,又是正方形，故。∵,∴，。以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系,则有，,,。若在上存在点使得二面角的余弦值为，连结设。由（Ⅱ)知平面的法向量为.设平面的法向量为。∵,∴由可得，令，则,故∴,解得，.所以，在线段上存在点，使得二面角的余弦值为AUTONUM\*Arabic\＊MERGEFORMAT．(2013届东城区一模理科）如图,已知是直角梯形，且,平面平面,,,，是的中点．（Ⅰ)求证:平面;（Ⅱ）求平面与平面所成锐二面角大小的余弦值．【答案】证明（Ⅰ)取的中点，连结，．因为是的中点,所以，．因为,且,所以，且,所以四边形是平行四边形．所以．因为平面，平面,所以平面．（Ⅱ)因为，平面平面,所以以点为原点，直线为轴,直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则轴在平面内．由已知可得，，，．所以，,设平面的法向量为．由所以取，所以．又因为平面的一个法向量为．所以．即平面与平面所成锐二面角大小的余弦值为．AUTONUM\*Arabic．（2013届北京市延庆县一模数学理）如图，四棱锥的底面为菱形，，侧面是边长为2的正三角形，侧面底面.(Ⅰ）设的中点为,求证：平面；（Ⅱ）求斜线与平面所成角的正弦值;（Ⅲ）在侧棱上存在一点,使得二面角的大小为，求的值.【答案】（Ⅰ）证明：因为侧面是正三角形，的中点为,所以，因为侧面底面，侧面底面,侧面，所以平面.………3分(Ⅱ）连结，设，建立空间直角坐标系，则，，，,，………5分,平面的法向量，设斜线与平面所成角的为,则。………8分（Ⅲ）设，则,，，………10分设平面的法向量为,则，，取，得，又平面的法向量………12分所以,所以，解得（舍去)或.所以，此时.………14分AUTONUM\*Arabic．（2013届北京丰台区一模理科）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，MD⊥平面ABCD，NB∥MD，且NB=1，MD=2；（Ⅰ）求证:AM∥平面BCN；（Ⅱ)求AN与平面MNC所成角的正弦值；(Ⅲ）E为直线MN上一点,且平面ADE⊥平面MNC，求的值。。【答案】解：（Ⅰ）∵ABCD是正方形,∴BC∥AD.∵BC平面AMD,AD平面AMD，∴BC∥平面AMD.∵NB∥MD，∵NB平面AMD，MD平面AMD,∴NB∥平面AMD.∵NBBC=B，NB平面BCN，BC平面BCN,∴平面AMD∥平面BCN…………………3分∵AM平面AMD,∴AM∥平面BCN…………………………4分(也可建立直角坐标系,证明AM垂直平面BCN的法向量，酌情给分）(Ⅱ）平面ABCD，ABCD是正方形,所以，可选点D为原点，DA,DC,DM所在直线分别为x，y，z轴,建立空间直角坐标系（如图)…………………5分则,，，。,………6分，，设平面MNC的法向量，则，令，则…7分设AN与平面MNC所成角为,。……9分(Ⅲ)设，，，又，E点的坐标为,…………………11分面MDC，，欲使平面ADE⊥平面MNC,只要，，，。………………14分AUTONUM\＊Arabic．（2013北京东城高三二模数学理科）如图,△是等边三角形，,,将△沿折叠到△的位置,使得。(Ⅰ)求证:;（Ⅱ）若，分别是，的中点，求二面角的余弦值.【答案】（共14分）（Ⅰ）证明:因为所以,又因为,且，所以平面,因为平面,所以。（Ⅱ）因为△是等边三角形，,,不防设,则,又因为,分别为，的中点，由此以为原点,,，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系.则有,，，,，。所以,.设平面的法向量为.则即令，则.所以.又平面的一个法向量为.所以.所以二面角的余弦值为AUTONUM\*Arabic\＊MERGEFORMAT．（2013北京丰台二模数学理科试题及答案）如图(1），等腰直角三角形ABC的底边AB=4，点D在线段AC上，于E，现将△ADE沿DE折起到△PDE的位置（如图（2))。(Ⅰ)求证:PBDE；（Ⅱ）若PEBE,直线PD与平面PBC所成的角为30°,求PE长。图(1）图(2)【答案】xyz解:（Ⅰ）,，DEPE，xyz,DE平面PEB,,BPDE;(Ⅱ）PEBE,PEDE,，所以，可由DE，BE，PE所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系（如图），设PE=,则B(0,4—，0),D（，0，0),C(2，2-,0）,P(0，0,）,，,设面PBC的法向量，令，,,BC与平面PCD所成角为30°,,解得：=，或=4（舍),所以,PE的长为AUTONUM\＊Arabic．(2013届北京西城区一模理科）在如图所示的几何体中，面为正方形，面为等腰梯形,//，，,．（Ⅰ）求证:平面；（Ⅱ）求与平面所成角的正弦值;（Ⅲ)线段上是否存在点，使平面平面？证明你的结论．【答案】(Ⅰ）证明：因为，，在△中，由余弦定理可得，所以．………………2分又因为，所以平面．………………4分（Ⅱ）解：因为平面，所以．因为，所以平面．………………5分所以两两互相垂直,如图建立的空间直角坐标系．………………6分在等腰梯形中,可得．设,所以．所以,，．设平面的法向量为,则有所以取，得．………………8分设与平面所成的角为，则，所以与平面所成角的正弦值为．………………9分（Ⅲ)解：线段上不存在点，使平面平面．证明如下:………………10分假设线段上存在点，设，所以．设平面的法向量为，则有所以取，得．………………12分要使平面平面，只需，………………13分即，此方程无解．所以线段上不存在点，使平面平面．………………14分AUTONUM\*Arabic．（2013届北京海滨一模理科）在四棱锥中，平面，是正三角形,与的交点恰好是中点，又，，点在线段上,且．(Ⅰ）求证:；(Ⅱ）求证:平面;（Ⅲ）求二面角的余弦值．【答案】证明：（I）因为是正三角形，是中点，所以，即………………1分又因为,平面，………………2分又，所以平面………………3分又平面，所以………………4分（Ⅱ）在正三角形中，………………5分在中，因为为中点，，所以，所以，所以………………6分在等腰直角三角形中，，，所以，，所以………………8分又平面,平面,所以平面………………9分（Ⅲ）因为，所以,分别以为轴,轴，轴建立如图的空间直角坐标系，所以由（Ⅱ）可知，为平面的法向量………………10分，设平面的一个法向量为，则，即，令则平面的一个法向量为………………12分设二面角的大小为，则所以二面角余弦值为………………14分AUTONUM\*Arabic\＊MERGEFORMAT．（2013届房山区一模理科数学）在四棱锥中,侧面⊥底面，为直角梯形,//，，，，为的中点．（Ⅰ）求证:PA//平面BEF；（Ⅱ）若PC与AB所成角为，求的长；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求二面角F—BE-A的余弦值．【答案】（Ⅰ）证明：连接AC交BE于O,并连接EC,FO//，,为中点AE//BC,且AE=BC四边形ABCE为平行四边形O为AC中点………………….………………。.1分又F为AD中点//……………...…。2分……………。..…。3分//平面……….。……。.…。.4分(Ⅱ)解法一：………….…6分易知BCDE为正方形建立如图空间直角坐标系，（)则,……。………8分解得：…………………….9分解法二:由BCDE为正方形可得由ABCE为平行四边形可得//为即………………….。…5分………………。…7分…………………….8分………………….。………9分(Ⅲ）为的中点,所以,,设是平面BEF的法向量则取，则，得………………。11分是平面ABE的法向量………………….12分………………….13分由图可知二面角的平面角是钝角，所以二面角的余弦值为．………….14分AUTONUM\＊Arabic．(北京市朝阳区2013届高三第一次综合练习理科数学)如图，在四棱锥中,平面平面，且，.四边形满足，，。点分别为侧棱上的点,且。（Ⅰ）求证：平面;（Ⅱ）当时，求异面直线与所成角的余弦值；(Ⅲ)是否存在实数,使得平面平面?若存在,试求出的值;若不存在,请说明理由.PPDABCFE【答案】证明:（Ⅰ)由已知,,所以。因为，所以。而平面,平面,所以平面（Ⅱ)因为平面平面,平面平面,且,所以平面.所以，.又因为,所以两两垂直如图所示，建立空间直角坐标系，PDPDABCFExyxzx因为,，所以。当时,为中点,所以，所以。设异面直线与所成的角为,所以,所以异面直线与所成角的余弦值为（Ⅲ）设，则.由已知,所以,所以所以。设平面的一个法向量为，因为,所以即令，得。设平面的一个法向量为，因为，所以即令，则.若平面平面,则，所以,解得。所以当时,平面平面AUTONUM\＊Arabic．（2013北京顺义二模数学理科试题及答案)如图,在长方体中,，为的中点,为的中点.(I)求证：平面；(II)求证:平面；（III)若二面角的大小为，求的长.【答案】（I)证明:在长方体中，因为平面，所以.因为，所以四边形为正方形，因此，又,所以平面.又,且,所以四边形为平行四边形.又在上，所以平面（II）取的中点为，连接.因为为的中点,所以且,因为为的中点，所以，而,且,所以,且,因此四边形为平行四边形，所以,而平面，所以平面(III)如图,以为坐标原点，建立空间直角坐标系,设,xyxyz则,故。由（I）可知平面,所以是平面的一个法向量。设平面的一个法向量为，则,所以令，则，所以。设与所成的角为,则。因为二面角的大小为，所以，即,解得,即的长为1AUTONUM\*Arabic．(2013北京房山二模数学理科试题及答案）如图,是正方形，平面，,.（Ⅰ)求证：；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）设点是线段上一个动点,试确定点的位置，使得平面,证明你的结论.【答案】(Ⅰ)证明：因为平面，所以因为是正方形，所以，所以平面,从而(Ⅱ）解：因为两两垂直，所以建立空间直角坐标系如图所示设,可知则,,，,,，所以,,设平面的法向量为，则，即,令,则因为平面,所以为平面的法向量，，所以因为二面角为锐角,所以二面角的余弦值为(Ⅲ)解:点是线段上一个动点，设.则，因为平面,所以,即,解得此时，点坐标为，,符合题意AUTONUM\＊Arabic\＊MERGEFORMAT．（2013北京海淀二模数学理科试题及答案）如图1，在直角梯形中，,,，。把沿对角线折起到的位置,如图2所示,使得点在平面上的正投影恰好落在线段上，连接,点分别为线段的中点。（I）求证：平面平面;（II）求直线与平面所成角的正弦值；（III)在棱上是否存在一点，使得到点四点的距离相等?请说明理由.【答案】解:（I)因为点在平面上的正投影恰好落在线段上所以平面,所以因为在直角梯形中,,，，所以，，所以是等边三角形，所以是中点，所以同理可证又所以平面(II）在平面内过作的垂线如图建立空间直角坐标系,则，,因为,设平面的法向量为因为，所以有,即，令则所以所以直线与平面所成角的正弦值为(III）存在,事实上记点为即可因为在直角三角形中，,在直角三角形中，点所以点到四个点的距离相等AUTONUM\*Arabic．（2013北京西城高三二模数学理科）如图1，四棱锥中,底面,面是直角梯形，为侧棱上一点.该四棱锥的俯视图和侧(左)视图如图2所示.（Ⅰ）证明:平面；(Ⅱ)证明:∥平面;（Ⅲ)线段上是否存在点,使与所成角的余弦值为?若存在,找到所有符合要求的点,并求的长;若不存在，说明理由。【答案】【方法一】（Ⅰ)证明：由俯视图可得,,所以又因为平面，所以，所以平面(Ⅱ)证明:取上一点,使,连结，由左视图知，所以∥,在△中,易