高三理科数学最新模拟试题分类汇编：概率与统计含答案

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精北京2013届高三理科数学最新模拟试题分类汇编11：概率与统计（一）概率一、选择题AUTONUM\＊Arabic\＊MERGEFORMAT．（2013北京丰台二模数学理科试题及答案）在平面区域内任取一点，若满足的概率大于，则的取值范围是 (）A． B． C． D．【答案】 D．AUTONUM\*Arabic．（2013届北京大兴区一模理科）若实数满足,则关于的方程有实数根的概率是 （)A． B． C． D．【答案】CAUTONUM\*Arabic．（2013北京海淀二模数学理科试题及答案)如图,在边长为的正方形内有不规则图形.向正方形内随机撒豆子,若撒在图形内和正方形内的豆子数分别为,则图形面积的估计值为 ()A． B． C． D．【答案】 C．AUTONUM\*Arabic．（北京市石景山区2013届高三一模数学理试题）将一颗骰子掷两次,观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m,第二次出现的点数为n,向量=(m,n)，=（3,6），则向量与共线的概率为 （）A． B． C． D．【答案】DAUTONUM\＊Arabic．(北京市朝阳区2013届高三第一次综合练习理科数学）在下列命题中，①“"是“”的充要条件;②的展开式中的常数项为;③设随机变量~，若，则.其中所有正确命题的序号是 （）A．② B．③C．②③ D．①③【答案】CAUTONUM\＊Arabic．(2013届东城区一模理科)某游戏规则如下：随机地往半径为1的圆内投掷飞标，若飞标到圆心的距离大于,则成绩为及格；若飞标到圆心的距离小于,则成绩为优秀；若飞标到圆心的距离大于且小于,则成绩为良好，那么在所有投掷到圆内的飞标中得到成绩为良好的概率为 （）A． B． C． D．【答案】AAUTONUM\＊Arabic\＊MERGEFORMAT．（2013北京昌平二模数学理科试题及答案）在区间上随机取一个数，则事件“”发生的概率为 （）A． B． C． D．【答案】 C．二、填空题AUTONUM\＊Arabic\＊MERGEFORMAT．(2013北京朝阳二模数学理科试题）将一个质点随机投放在关于的不等式组所构成的三角形区域内,则该质点到此三角形的三个顶点的距离均不小于的概率是_______.【答案】三、解答题AUTONUM\＊Arabic\＊MERGEFORMAT．（2013北京朝阳二模数学理科试题）为提高学生学习数学的兴趣，某地区举办了小学生“数独比赛”.比赛成绩共有90分，70分,60分,40分，30分五种,按本次比赛成绩共分五个等级。从参加比赛的学生中随机抽取了30名学生,并把他们的比赛成绩按这五个等级进行了统计，得到如下数据表：成绩等级ABCDE成绩(分)9070604030人数（名)461073(Ⅰ)根据上面的统计数据，试估计从本地区参加“数独比赛”的小学生中任意抽取一人，其成绩等级为“或”的概率;（Ⅱ)根据(Ⅰ）的结论,若从该地区参加“数独比赛”的小学生(参赛人数很多）中任选3人,记表示抽到成绩等级为“或”的学生人数,求的分布列及其数学期望；（Ⅲ)从这30名学生中,随机选取2人,求“这两个人的成绩之差大于分”的概率.【答案】解：(Ⅰ)根据统计数据可知，从这30名学生中任选一人，分数等级为“或"的频率为.从本地区小学生中任意抽取一人，其“数独比赛”分数等级为“或”的概率约为(Ⅱ）由已知得，随机变量的可能取值为0，1,2,3.所以;；;。随机变量的分布列为0123所以（Ⅲ)设事件M:从这30名学生中,随机选取2人,这两个人的成绩之差大于分.设从这30名学生中,随机选取2人，记其比赛成绩分别为。显然基本事件的总数为.不妨设,当时，或或，其基本事件数为;当时，或,其基本事件数为;当时，，其基本事件数为；所以.34567893456789交通指数频率0.240.20.160.1组距AUTONUM\＊Arabic\＊MERGEFORMAT．（2013届门头沟区一模理科）交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念性指数值，交通指数取值范围为0～10,分为五个级别,0～2畅通；2～4基本畅通；4～6轻度拥堵；6～8中度拥堵；8～10严重拥堵．早高峰时段,从北京市交通指挥中心随机选取了四环以内的50个交通路段，依据其交通指数数据绘制的直方图如右图．(Ⅰ）这50个路段为中度拥堵的有多少个？（Ⅱ）据此估计，早高峰四环以内的三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是多少？（=3\*ROMANIII)某人上班路上所用时间若畅通时为20分钟，基本畅通为30分钟,轻度拥堵为36分钟；中度拥堵为42分钟；严重拥堵为60分钟,求此人所用时间的数学期望．【答案】解：（Ⅰ）这50路段为中度拥堵的有18个．……………3分（Ⅱ）设事件A“一个路段严重拥堵”，则事件B“至少一个路段严重拥堵”,则所以三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是……………8分（=3\＊ROMANIII）分布列如下表：303642600.10.440。360。1此人经过该路段所用时间的数学期望是分钟．……………13分AUTONUM\*Arabic．（2013北京丰台二模数学理科试题及答案）国家对空气质量的分级规定如下表:污染指数0~5051～100101~150151~200201~300〉300空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染某市去年6月份30天的空气污染指数的监测数据如下：3414018731212104045782365792078160421013816315422273615149103135201648根据以上信息，解决下列问题：(Ⅰ)写出下面频率分布表中,b,，y的值；（Ⅱ)某人计划今年6月份到此城市观光4天，若将(Ⅰ）中的频率作为概率,他遇到空气质量为优或良的天数用X表示,求X的分布列和均值EX。频率分布表分组频数频率［0，50]14（50，100](100，150］5（150，200]by(200,250］2合计301【答案】解:(Ⅰ)，(Ⅱ)由题意，该市4月份空气质量为优或良的概率为P=,的分布列为:X01234PX~B（4,)，AUTONUM\*Arabic．（2013届北京海滨一模理科)在某大学自主招生考试中，所有选报=2\＊ROMANII类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达"两个科目的考试，成绩分为A，B,C，D,E五个等级.某考场考生两科的考试成绩的数据统计如下图所示,其中“数学与逻辑”科目的成绩为B的考生有10人.（=1\*ROMANI)求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数；（=2\*ROMANII）若等级A,B，C，D，E分别对应5分,4分，3分,2分,1分。（i）求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分;（ii)若该考场共有10人得分大于7分，其中有2人10分，2人9分，6人8分。从这10人中随机抽取两人，求两人成绩之和的分布列和数学期望.【答案】解:（Ｉ)因为“数学与逻辑"科目中成绩等级为B的考生有10人，所以该考场有人………………1分所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数为………………3分(II)求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为………………7分（Ⅲ）设两人成绩之和为,则的值可以为16,17，18，19，20………………8分，，所以的分布列为1617181920………………11分所以所以的数学期望为………………13分AUTONUM\＊Arabic\＊MERGEFORMAT．（2013届东城区一模理科）某班联欢会举行抽奖活动，现有六张分别标有1，2，3，4,5，6六个数字的形状相同的卡片，其中标有偶数数字的卡片是有奖卡片，且奖品个数与卡片上所标数字相同，游戏规则如下：每人每次不放回抽取一张，抽取两次.（Ⅰ）求所得奖品个数达到最大时的概率；（Ⅱ）记奖品个数为随机变量，求的分布列及数学期望.【答案】（Ⅰ）由题意可知所得奖品个数最大为10，概率为：．（Ⅱ)的可能取值是：．0246810所以．AUTONUM\*Arabic．(2013届房山区一模理科数学）是指大气中直径小于或等于微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物．我国标准采用世卫组织设定的最宽限值，即日均值在微克/立方米以下空气质量为一级；在微克/立方米微克/立方米之间空气质量为二级；在微克/立方米以上空气质量为超标．日均值(微克/立方米）2837143445563879863925某城市环保局从该市市区年全年每天的监测数据中随机的抽取天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示(十位为茎，个位为叶）．（Ⅰ）从这天的日均监测数据中，随机抽出三天数据,求恰有一天空气质量达到一级的概率；（Ⅱ)从这天的数据中任取三天数据，记表示抽到监测数据超标的天数，求的分布列和数学期望;（Ⅲ）根据这天的日均值来估计一年的空气质量情况，则一年（按天计算）中平均有多少天的空气质量达到一级或二级．【答案】（Ⅰ）从茎叶图可知，空气质量为一级的有4天,为二级的有6天，超标的有5天记“从天的日均监测数据中，随机抽出三天,恰有一天空气质量达到一级”为事件则……3分(Ⅱ）的可能值为，……4分……………8分所以的分布列为…………………9分………………10分（Ⅲ）天的空气质量达到一级或二级的频率为………………11分，所以估计一年中有天的空气质量达到一级或二级.………………13分（说明：答243天，244天不扣分）AUTONUM\＊Arabic．（2013北京西城高三二模数学理科)某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满300元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球,1个白球和1个黑球.顾客不放回的每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就要将奖盒中的球全部摸出才停止。规定摸到红球奖励10元，摸到白球或黄球奖励5元，摸到黑球不奖励.(Ⅰ）求1名顾客摸球3次停止摸奖的概率；（Ⅱ)记为1名顾客摸奖获得的奖金数额,求随机变量的分布列和数学期望.【答案】(Ⅰ)解：设“1名顾客摸球3次停止摸奖”为事件，则，故1名顾客摸球3次停止摸奖的概率为（Ⅱ）解:随机变量的所有取值为，，，，所以,随机变量的分布列为：AUTONUM\＊Arabic\＊MERGEFORMAT．(2013北京顺义二模数学理科试题及答案）为增强市民的节能环保意识,某市面向全市征召义务宣传志愿者。从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，其年龄频率分布直方图如图所示,其中年龄分组区间是:.(I）求图中的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在岁的人数;(II)在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取20名参加中心广场的宣传活动，再从这20名中采用简单随机抽样方法选取3名志愿者担任主要负责人.记这3名志愿者中“年龄低于35岁”的人数为,求的分布列及数学期望。20202530354045年龄/岁频率/组距0．070．02x0．040．01O【答案】解：(I）∵小矩形的面积等于频率,∴除外的频率和为0.70,500名志愿者中，年龄在岁的人数为（人）。(II）用分层抽样的方法,从中选取20名,则其中年龄“低于35岁”的人有12名，“年龄不低于35岁”的人有8名。故的可能取值为0,1,2，3，,，,,故的分布列为0123所以AUTONUM\＊Arabic．(2013届北京西城区一模理科）某班有甲、乙两个学习小组，两组的人数如下：现采用分层抽样的方法（层内采用简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取名同学进行学业检测．（Ⅰ）求从甲组抽取的同学中恰有名女同学的概率；（Ⅱ）记为抽取的名同学中男同学的人数，求随机变量的分布列和数学期望．【答案】(Ⅰ)解：依题意，甲、乙两组的学生人数之比为,…………1分所以，从甲组抽取的学生人数为；从乙组抽取的学生人数为．…2分设“从甲组抽取的同学中恰有名女同学"为事件，……3分则，故从甲组抽取的同学中恰有名女同学的概率为．…………5分(Ⅱ)解:随机变量的所有取值为．………6分,，，．……………10分所以，随机变量的分布列为:………………11分．………………13分AUTONUM\*Arabic\＊MERGEFORMAT．（2013北京海淀二模数学理科试题及答案)福彩中心发行彩票的目的是为了获取资金资助福利事业，现在福彩中心准备发行一种面值为5元的福利彩票刮刮卡，设计方案如下:（1)该福利彩票中奖率为50％；（2）每张中奖彩票的中奖奖金有5元,50元和150元三种；(3）顾客购买一张彩票获得150元奖金的概率为,获得50元奖金的概率为.(I）假设某顾客一次性花10元购买两张彩票，求其至少有一张彩票中奖的概率；(II）为了能够筹得资金资助福利事业，求的取值范围.【答案】解:(I)设至少一张中奖为事件则(II)设福彩中心卖出一张彩票可能获得的资金为则可以取的分布列为所以的期望为所以当时,即所以当时，福彩中心可以获取资金资助福利事业AUTONUM\＊Arabic\＊MERGEFORMAT．(2013届北京市延庆县一模数学理）空气质量指数(单位:）表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量,这个值越高,就代表空气污染越严重：320455647697880791809乙城市3022448966151788230320455647697880791809乙城市302244896615178823098甲城市（Ⅰ）根据你所学的统计知识估计甲、乙两城市15天内哪个城市空气质量总体较好？(注：不需说明理由)（Ⅱ)在15天内任取1天，估计甲、乙两城市空气质量类别均为优或良的概率；（Ⅲ)在乙城市15个监测数据中任取个,设为空气质量类别为优或良的天数，求的分布列及数学期望。【答案】解：（Ⅰ)甲城市空气质量总体较好。 ………2分（Ⅱ）甲城市在15天内空气质量类别为优或良的共有10天,任取1天，空气质量类别为优或良的概率为， ………4分乙城市在15天内空气质量类别为优或良的共有5天,任取1天，空气质量类别为优或良的概率为， ………6分在15天内任取1天，估计甲、乙两城市空气质量类别均为优或良的概率为.………8分（Ⅲ)的取值为, ………9分，,的分布列为:数学期望 ………13分AUTONUM\＊Arabic\＊MERGEFORMAT．（北京市石景山区2013届高三一模数学理试题）PM2.5指大气中直径小于或等于2。5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物.PM2。5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级:在35微克/立方米~75微克/立方米之间空气质量为二级;在75微克/立方米以上空气质量为超标.石景山古城地区2013年2月6日至I5日每天的PM2.5监测数据如茎叶图所示。(Ⅰ)小陈在此期间的某天曾经来此地旅游，求当天PM2。5日均监测数据未超标的概率；(Ⅱ）小王在此期间也有两天经过此地,这两天此地PM2.5监测数据均未超标。请计算出这两天空气质量恰好有一天为一级的概率;(Ⅲ）从所给10天的数据中任意抽取三天数据,记表示抽到PM2。5监测数据超标的天数，求的分布列及期望。【答案】AUTONUM\*Arabic\＊MERGEFORMAT．(北京市顺义区2013届高三第一次统练数学理科试卷（解析））现有甲、乙两个靶。某射手向甲靶射击两次，每次命中的概率为，每命中一次得1分,没有命中得0分；向乙靶射击一次,命中的概率为，命中得2分，没有命中得0分.该射手每次射击的结果相互独立。假设该射手完成以上三次射击.(I)求该射手恰好命中两次的概率;（II)求该射手的总得分的分布列及数学期望;(III)求该射手向甲靶射击比向乙靶射击多击中一次的概率.【答案】解：(I)记：“该射手恰好命中两次”为事件,“该射手第一次射击甲靶命中”为事件,“该射手第二次射击甲靶命中"为事件，“该射手射击乙靶命中”为事件。由题意知,,所以(II)根据题意,的所有可能取值为0,1，2，3,4。，.，,,故的分布列是01234所以（III)设“该射手向甲靶射击比向乙靶射击多击中一次"为事件，“该射手向甲靶射击命中一次且向乙靶射击未命中”为事件,“该射手向甲靶射击命中2次且向乙靶射击命中"为事件,则为互斥事件。。所以，该射手向甲靶射击比向乙靶射击多击中一次的概率为AUTONUM\*Arabic\＊MERGEFORMAT．（2013北京房山二模数学理科试题及答案)小明从家到学校有两条路线，路线1上有三个路口，各路口遇到红灯的概率均为；路线2上有两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为。(Ⅰ)若小明上学走路线1，求最多遇到1次红灯的概率；(Ⅱ)若小明上学走路线2,求遇到红灯次数的数学期望;（Ⅲ)按照“平均遇到红灯次数越少为越好”的标准，请你帮助小明从上述两条路线中选择一条最好的上学路线，并说明理由.【答案】(Ⅰ)设走路线1最多遇到1次红灯为A事件,则(Ⅱ)依题意，的可能取值为0,1,2.,，随机变量的分布列为:012P(Ⅲ)设选择路线1遇到红灯次数为,则,所以因为，所以选择路线1上学最好AUTONUM\＊Arabic．（2013北京东城高三二模数学理科）某校高三年级同学进行体育测试,测试成绩分为优秀、良好、合格三个等级.测试结果如下表：（单位：人)优秀良好合格男女按优秀、良好、合格三个等级分层，从中抽取人，其中成绩为优的有人.（Ⅰ)求的值;(Ⅱ）若用分层抽样的方法，在合格的同学中按男女抽取一个容量为的样本,从中任选人,记为抽取女生的人数,求的分布列及数学期望。【答案】（共13分)解：（Ⅰ）设该年级共人，由题意得，所以。则。(Ⅱ）依题意，所有取值为.，,。的分布列为:AUTONUM\*Arabic．（2013北京昌平二模数学理科试题及答案）某市为了提升市民素质和城市文明程度,促进经济发展有大的提速，对市民进行了“生活满意”度的调查。现随机抽取40位市民，对他们的生活满意指数进行统计分析，得到如下分布表：满意级别非常满意满意一般不满意满意指数（分）9060300人数（个)151762（I)求这40位市民满意指数的平均值;(II）以这40人为样本的满意指数来估计全市市民的总体满意指数，若从全市市民(人数很多)中任选3人，记表示抽到满意级别为“非常满意或满意”的市民人数.求的分布列;（III）从这40位市民中,先随机选一个人，记他的满意指数为，然后再随机选另一个人,记他的满意指数为，求的概率.【答案】解:（Ⅰ)记表示这40位市民满意指数的平均值，则（分)（Ⅱ)的可能取值为0、1、2、3.,，的分布列为12（Ⅲ）设所有满足条件的事件为①满足的事件数为：②满足的事件数为：③满足的事件数为：所以满足条件的事件的概率为AUTONUM\*Arabic\＊MERGEFORMAT．(2013届北京丰台区一模理科）在一次抽奖活动中,有甲、乙等6人获得抽奖的机会。抽奖规则如下：主办方先从6人中随机抽取两人均获奖1000元，再从余下的4人中随机抽取1人获奖600元，最后还从这4人中随机抽取1人获奖400元。（Ⅰ）求甲和乙都不获奖的概率；(Ⅱ)设X是甲获奖的金额，求X的分布列和均值。【答案】解：（Ⅰ)设“甲和乙都不获奖”为事件A,………………1分则P(A）=，答:甲和乙都不获奖的概率为.……5分（Ⅱ）X的所有可能的取值为0，400，600，1000，…………………6分P(X=0)=，P（X=400）=，P(X=600)=,P（X=1000)=，…………10分∴X的分布列为X04006001000P……………11分∴E（X）=0×+400×+600×+1000×=500（元）。答:甲获奖的金额的均值为500（元）。…………13分AUTONUM\＊Arabic．(北京市朝阳区2013届高三第一次综合练习理科数学）盒子中装有四张大小形状均相同的卡片,卡片上分别标有数字.称“从盒中随机抽取一张，记下卡片上的数字后并放回”为一次试验（设每次试验的结果互不影响).(Ⅰ)在一次试验中，求卡片上的数字为正数的概率；（Ⅱ)在四次试验中,求至少有两次卡片上的数字都为正数的概率;（Ⅲ）在两次试验中,记卡片上的数字分别为,试求随机变量的分布列与数学期望.【答案】解:(Ⅰ)设事件A：在一次试验中,卡片上的数字为正数，则.答：在一次试验中,卡片上的数字为正数的概率是(Ⅱ)设事件B：在四次试验中，至少有两次卡片上的数字都为正数.由(Ⅰ）可知在一次试验中,卡片上的数字为正数的概率是.所以。答:在四次试验中，至少有两次卡片上的数字都