正弦函数余弦函数的性质周期性（人教A版必修4）

yx0y=sinx(x∈R)1.4.2正弦、余弦函数的周期性世界上有许多事物都呈现“周而复始”的变化规律，如年有四季更替，月有阴晴圆缺.这种现象在数学上称为周期性，在函数领域里，周期性是函数的一个重要性质.今天是星期三.7天后星期几？14天后、98天后呢？

前面我们还研究了三角函数f(x)＝sinx和g(x)＝cosx它们也有类似的特征吗？问题探究问题1.观察正弦函数的图象，它具有哪些特征？y-1xO1π2π3π4π5π6π-2π-3π-4π-5π-6π-πy=sinxxyO1-1y=cosx探究1：观察正弦函数的图象，它具有哪些特征？.y-1xO1π2π3π4π5π6π-2π-3π-4π-5π-6π-πy=sinx2π诱导公式其理论依据是什么？问题探究正弦曲线每相隔

个单位重复出现.探究2：设f(x)=sinx，则可以怎样表示？

f(x+2kπ)=f(x)我们把f(x)=sinx称为周期函数,2kπ为这个函数的周期

(其中k∈z且k≠0).一、周期函数的概念

探究3：我们把函数f(x)=sinx称为周期函数.那么，如何定义一般的周期函数呢？周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x)

那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T就叫做这个函数的周期.探究4：周期函数的周期是否唯一？正弦函数y=sinx的周期有哪些？

答：周期函数的周期不止一个.

±2π，±4π，±6π，…都是正弦函数的周期，事实上，任何一个常数2kπ(k∈z且k≠0)都是它的周期.【最小正周期】

如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,则这个最小正数叫做f(x)的最小正周期.

今后本书中所涉及到的周期，如果不加特别说明，一般都是指函数的最小正周期.【最小正周期】

如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,则这个最小正数叫做f(x)的最小正周期.今后本书中所涉及到的周期，如果不加特别说明，一般都是指函数的最小正周期.答：正弦函数y=sinx有最小正周期，且最小正周期T=2π思考5：我们知道±2π，±4π，±6π，…都是y=sinx的周期,那么函数y=sinx有最小正周期吗？若有，那么最小正周期T等于多少？

正弦函数y=sinx是周期函数，2kπ（k∈Z且k≠0）都是它的周期，最小正周期

T=2π．

探究5：就周期性而言，对正弦函数有什么结论？y-1xO1π2π3π4π5π6π-2π-3π-4π-5π-6π-πy=sinxy-1O1xy=cosx对余弦函数呢？余弦函数y=cosx是周期函数，2kπ（k∈Z且k≠0）都是它的周期，最小正周期T=2π．(1)观察等式

是否成立？如果成立，能不能说是y=sinx的周期？对于f(x+T)＝f(x)中每一个x都要成立讨论：答：不能.因为讨论：(2)由诱导公式，是否可以说的周期为2π?

针对f(x+T)＝f(x)中自变量x本身所加的常量T才是周期。所以

的周期不是

(3)T(T≠0)是f(x)的周期，kT(k∈Z且k≠0)是f(x)的周期？

周期函数的周期不止一个，若T是周期，则kT(k∈Z且k≠0)一定也是周期。讨论：XX+2πyx024-2y=sinx(x∈R)oyx4π8πxoy6π12πT是f(x)的周期，那么kT也一定是f(x)的周期.(k为非零整数)(3)T(T≠0)是f(x)的周期，kT(k∈Z且k≠0)是f(x)的周期吗？讨论：(4)是不是所有的周期函数都有最小正周期？

周期函数必有周期，但不一定有最小正周期。讨论：例1求下列函数的周期：⑴y=3cosx,x∈R;⑵y=sin2x,x∈R;⑶y=2sin(-),x∈R;

解⑴

∵3cos(x+2π)=3cosX

∴f(x+T)=f(x)由周期函数的定义可知，原函数的周期为2π知识应用⑵y=sin2x,x∈R;sin(2x+2π)sin2x=解：∵sin2(x+π)=

∴f(x+T)=f(x)由周期函数的定义可知，原函数的周期为π⑶y=2sin(-),x∈R;

∴f(x+T)=f(x)由周期函数的定义可知，原函数的周期为4π解：

由上例知函数y=3cosx的周期T=2π；函数y=sin2x的周期T=π；函数y=2sin(-)的周期T=4π想一想：这些函数的周期与解析式中的量有关吗？若有，有什么样的关系？

题号（1）（2）（3）x的系数12周期T2ππ4π一般地，函数y=Asin(ωx+φ)

(A＞0，ω＞0)的最小正周期是多少?限时抢答

(2)函数的最小正周期为_______

(4)函数的最小正周期为______一般地，函数y=Asin(ωx+φ)

(A＞0，ω＞0)的最小正周期是多少?限时抢答

(2)函数的最小正周期为_______

(4)函数的最小正周期为______2(5)函数的最小正周期为,

则限时抢答

限时抢答

（2）函数的最小正周期为：

限时抢答

（5）函数的最小正周期为,则限时抢答

限时抢答

（4）函数的最小正周期为：

例2已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＋f(x)=0，试判断f(x)是否为周期函数？解：由题意得：f(x＋2)=-f(x)∴f(x+4)=即f(x＋4)=f(x)∴由周期函数的定义知，f(x)是周期函数.f(x)=-[-f(x)]=-f(x＋2)f[(x＋2)+2]=函数周期求法：1.定义法：2.公式法：3.图象法:

一般地，函数y=Asin(ωx+φ)及y=Acos(ωx+φ)（其中A,ω,φ为常数，且A≠0,ω≠0）的周期是:1.一个周期函数的周期有多少个?周期函数的图象具有什么特征?参考答案：无数个，重复性

练习2.已知函数,使f(x)的周期在(2/3,4/3)内,则正整数k的最小值和最大值分别是多少?解：函数f(x)的最小正周期为，

故，得，

又k为正整数，

故k的最小值为15，最大值为28.

练习1.判断下列说法是否正确,并简述理由：(1)时，,则一定不是函数y=sinx的周期；正确(2)时，,则一定是函数y=sinx的周期．不正确，因为在x=7π/6时成立,并不能保证对任意的x都有成立,如x=0时，就不成立.巩固练习2.求下列函数的周期：(1)y=2cos3x；(2)．3．若函数的最小正周期为，则正数k=

．4.若弹簧振子对平衡位置的位移x(cm)与时间t(s)之间的函数关系如图所示：（１）求该函数的周期；（２）求t＝10.5ｓ时弹簧振子对平衡位置的位移．⑴周期为4；⑵－8cm.

如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,则这个最小正数叫做