导数基础练习题

导数基础练习题

一选择题

1.函数

/(x)=(2G)2

的导数是（C）

(A)

r(x)=4"

(B)

f\x)=4乃2》

(C)

/'(X)=8MX

(D)

f'(x)=16"

2.函数

f(x)=xe~x

的一个单调递增区间是（A)

(A)

卜i，o]

(B)

[2,8]

(C)

(D)

[0,2]

3.已知对任意实数

X

，有

/(T)=-/(X),g(-X)=g(X)

,且

x>()

时,

ra)>o,g'(x)>o

,则

x<0

时(B)

A.

/'(x)>0,g'(x)>0

B.

ra)>o,g'(x)<。

C.

/f(x)<0,g'(x)>0

D.

g'(x)<0

4.若函数

f(x)=x3-3bx+3b

在

(OJ)

内有极小值，则(A)

(A)

0<6<1

(B)

b<l

(C)

b>0

(D)

5.若曲线

y=x4

的一条切线

与直线

x+4y-8=0

垂直，则

的方程为（A）

A.

4x-y-3=0

B.

x+4y-5=0

C.

4x-y+3=0

D.

x+4y+3=0

6.曲线

y-ex

在点

（2,e2）

处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（D）

A.

—9e2

4

B.

2e2

C.

e2

D.

e2

T

7.设

/'(x)

是函数

./'（X）

的导函数，将

y=

和

y=f'(x)

的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（D）

UX

A.B.C.D.

8.已知二次函数

f(x)=ax1+bx+c

的导数为

/⑺

/，(0)>0

,对于任意实数

X

都有

/(x)>0

,则

/(I)

/'(O)

的最小值为（C）

A.

3

B.

5

2

C.

2

D.

3

2

9.设

，：/(x)=ex+lnx+2x2+mx+1

在

(0,+co)

内单调递增，

q:用2-5

,则

是

q

的（B）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

10.已知函数

/(x)=ax3+bx2+c

,其导数

/'(x)

的图像如图所示，则函数

的极小值是（）

A.

a+b+c

B.

3a+4b+c

C.

3a+26

D.

11.函数

y="x)

的图象如图所示,则导函数

y=，（幻

的图象可能是（)

12.函数

/(x)=(x-3)-ex

的单调递增区间是()

A.

(2,+<»)

B.

(0,3)

C.

。,4)

D.

(-8,2)

13.函数

/(x)=2x3-6x2+m

(

m

为实数)在

[-2,2]

上有最大值3,那么此函数在

[-2,2]

上的最小值为

A

-3

B

-27

C

-37

D

-54

14三次函数f（x）=mx3—x在（一8,十8）上是减函数，则m的取值范围是

A.m<0B.m<l

C.mWOD.mWl

［答案］A

［解析］f'(x)=3mx2—1,由条件知f'(x)WO在(一8,+8）上恒成立,

m<0

A=12mWC

，故选A.

15曲线y=

1

3

x3+x在点

处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（）

A.1B.

1

9

c.

I

3

D.

2

3

［答案］B

［解析］Vy,=x2+l,

工曲线y=

1

3

x3+x在点(1,

4

3

)处的切线斜率k=y,|x=l=l+l=2,

，k=2,切线方程为y—

4

3

=2(x—1),即6x—3y—2=0,

令x=0得y=—

2

3

,令丫=0得*=

I

3

,.*.s=

1

2

X

1

3

X

2

3

I

9

16.若函数f(x)的导数为.f'(x)=2x2+l,则f(x)可能是(D)

A.-2x3+lB.-x+lC,-4xD.-

2

-

3

x3+x

17.已知曲线丫=

4

-31nx的一条切线的斜率为

2

2

,则切点的横坐标为（B）

A-2B3C1D

2

18.正弦曲线

j=sinx

上一点P,以点P为切点的切线为直线L,则直线L的倾斜角的范围是（A）

A

[吟U[%)

44

B

[0,万)

D

［。申Ug,手

19

x+3

在点

x=3

处的导数值为（B）

A.

6

B.-

J

6

C.

1

9

D.-

1

9

20若曲线y=x2+ax+b在点(0,b)处的切线方程是x—y+l=0,贝！J()

A.a=l,b=lB.a=-1,b=l

C.a=l,b=-1D.a=-1,b=-1

21已知直线y=x+l与曲线y=ln(x+a)相切，则a的值为()

A.1B.2C,一

1D.-2

22已知函数

f(x)

在R上满足

f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8

,则曲线

y=胤刈

在点

(1,AD)

处的切线方程是()

A.

y=2x-l

B.

y=x

c.

y=3x-2

D.

y=-2x+3

23.函数

./（X）

的定义域为开区间

（。力）

,导函数

/'（x）

在

（a,b）

内的图象如图所示，

A.

1

个B.

2

个C.

3

个D.

4

个

24.如图是函数

f(x)=x3+bx2+cx+d

的大致图象，则

22

V+V

等于（)

A

X2。

B

O

31G3|83|43|2

25.以下四图，都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图像，其中一定不

正确的序号是

A.①、②B.①、③C.③、

④D.①、④

二.填空题

1.函数

/(x)=xlnx(x>0)

的单调递增区间是

2.已知函数

/(X)=X3-12X+8

在区间

[-3,3]

上的最大值与最小值分别为

M,m

，则

M-m=

32.

3.点P在曲线

y-x3-x+—2

3

上移动，设在点P处的切线的倾斜角为为

a

,则

a

的取值范围是

34

呜0不,

4.已知函数

132<

y=—x+x+ax-5

3

(1)若函数在

(-8,+8)

总是单调函数，则

a

的取值范围是

a>\

.(2)若函数在

口,十°0)

上总是单调函数，则

a

的取值范围

a>-3

(3)若函数在区间(-3,1)上单调递减，则实数

的取值范围是“

aS—3.

5.函数

f(x)=X3-ax

在［1,+8)上是单调递增函数，则

a

的取值范围是。

6.函数

y=x+2cosx

在区间

.八兀r

[0,-]

上的最大值是o

7函数

f(x)=A3+aA2+bx+a2

在

x=1

时有极值

10

,那么

a9b

的值分别为o

8.已知直线丫=1«与曲线y=lnx有公共点，则k的最大值为.

9已知函数f(x)=x3+ax2+(a+6)x+l有极大值和极小值，则a的取值范

围是.

10.对于函数

f(x)=(2x-x2)ex

(1)

(-亚，网)

是

./(X)

的单调递减区间；

(2)

/(-V2)

是

./(X)

的极小值，

是

./,(X)

的极大值;

(3)

/(x)

有最大值，没有最小值；

(4)

./(X)

没有最大值，也没有最小值.

其中判断正确的是.

11曲线y=xex+2x+l在点(0,1)处的切线方程为.

［答案］y=3x+l

［解析］y'=ex+xex+2,y'Ix=0=3,...切线方程为y—•1=3(x—0),

即y=3x+l.

12如图，函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程是y=-x+8,则f(5)+

fz(5)=.

［答案］2

［解析］f(5)+f'⑸=(-5+8)+(-1)=2.

13已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,xG［-2,2］表示过原点的曲线，且在x=±l

处的切线的倾斜角都是

3

-

4

n

则关于如下命题，其中正确命题的序号有①③

①f(x)的解析式为f(x)=x3-4xxe[-2,2]；

②f(x)的极值点有且只有一个；

③f(x)最大值与最小值之和为零。

三.解答题

14.设函数

/(x)=2x3+3ax2+3bx+8c

在

x=1

及

x=2

时取得极值.

(1)求a、b的值；

(2)若对于任意的

xe[0,3]

，都有

f(x)<e2

成立，求c的取值范围.

14.解：⑴

f\x)=6x2+6ax+3b

因为函数

在

X=1

及

x=2

取得极值，则有

/'⑴=0

八2)=0

即

J6+6a+3b=0,

[24+12^+36=0.

解得

a=-3

9

b=4

(2)由(I)可知，

/(X)=2X3-9X2+12X+8C

f'(x)=6x2-18x+12=6(x-l)(x-2)

当

xe(0,1)

时，

,rw>o

当

xe(l,2)

时,

,rw<o

当

XG(2,3)

时，

>0

所以，当

x-l

时，

./■(x)

取得极大值

〃l)=5+8c

,又

/(0)=8c

/(3)=9+8c

则当

xe[0,3]

时，

./'(X)

的最大值为

/(3)=9+8c

因为对于任意的

XG[0,3]

,有

f(x)<c2

恒成立，

所以

9+8c<c2

解得

c<-\

或

c>9

因此

的取值范围为

(-00,-1)11(9,+00)

15.设函数

=-A3+3x+2

分别在

44

处取得极小值、极大值.

xoy

平面上点

4B

的坐标分别为

(孙一幻)

、

)

,该平面上动点

P

满足

，点

Q

是点

P

关于直线

y=2(x-4)

的对称点，.求

(I)求点

4B

的坐标;

(II)求动点

Q

的轨迹方程.

15.解：⑴令

f\x)=(-x3+3x+2)，=-3x2+3=0

解得

X==-1

当

X<-1

时，

/'(*)<0

,当

-1<X<1

时，

f\x)>0

，当

X>1

时，

/'(X)<0

所以，函数在

%——1

处取得极小值,在

X=\

取得极大值,故

X]=-1,%2~]

/(-1)=0,/(1)=4

所以，点A、B的坐标为

4(-1,0),5(1,4)

⑵设

0(x,y)

PA•PB=(-l-/n,-«)•(1-m,4-n)=m2-1+/J2-4w=4

k-1

,所以

y-n_1

x—m2

,又PQ的中点在

y=2(x-4)

上，所以

t=2(詈一4)

消去

得

(x-8)2+3+2)2=9

另法：点P的轨迹方程为

+(zz—2)2=9,

其轨迹为以(0,2)为圆心，半径为3的圆；设点(0,2)关于y=2(x-4)的对称

点为(a,b),则点Q的轨迹为以(a,b),为圆心，半径为3的圆，由

b-2_1

b+22(a+0

得a=8,b=-2

16已知函数

/(X)=2X5-3X2+3.

(1)求曲线

y=/(x)

在点