专题1.5空间向量的探索性问题（强化训练）（原卷版）

专题1.5空间向量的探索性问题题型一平行中的探索性问题题型二垂直中的探索性问题题型三夹角中的探索性问题题型四距离中的探索性问题题型一 平行中的探索性问题1．如图所示，在四棱锥，面，底面为正方形．(1)求证：面；(2)已知，在棱上是否存在一点，使面，如果存在请确定点的位置，并写出证明过程；如果不存在，请说明理由．2．如图，正四棱锥的底面边长为2，侧棱长是，点为侧棱上的点．(1)求正四棱锥的体积；(2)若平面，求二面角的大小；(3)在（2）的条件下，侧棱上是否存在一点，使得平面．若存在，求的值；若不存在，试说明理由．3．已知直角梯形中，，，，，，为的中点，，如图，将四边形沿向上翻折，使得平面平面.

(1)在上是否存在一点，使得平面？(2)求二面角的余弦值.4．如图，直三棱柱中，，D是的中点．(1)求异面直线与所成角的大小；(2)求二面角的余弦值；(3)在上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．5．中国正在由“制造大国”向“制造强国”迈进，企业不仅仅需要大批技术过硬的技术工人，更需要努力培育工人们执着专注、精益求精、一丝不苟、追求卓越的工匠精神，这是传承工艺、革新技术的重要基石．如图所示的一块木料中，是正方形，平面，，点，是，的中点．(1)若要经过点和棱将木料锯开，在木料表面应该怎样画线，请说明理由并计算截面周长；(2)若要经过点B，E，F将木料锯开，在木料表面应该怎样画线，请说明理由．6．如图，底面为直角梯形的四棱柱中，侧棱底面，为的中点，且为等腰直角三角形，，，．(1)求证：；(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)线段上是否存在点，使平面？若存在，求出；若不存在，说明理由．7．如图1，在平面内，ABCD是且的菱形，和都是正方形．将两个正方形分别沿，折起，使与重合于点．设直线过点且垂直于菱形所在的平面，点是直线上的一个动点，且与点位于平面同侧（图2）．(1)设二面角的大小为，若，求线段的长的取值范围；(2)若在线段上存在点，使平面平面，求与BE之间满足的关系式，并证明：当时，恒有.8．如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，侧面是等边三角形，.(1)求与平面所成角的正弦值；(2)设为侧棱上一点，四边形是过两点的截面，且平面，是否存在点，使得平面平面？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由.题型二 垂直中的探索性问题9．如图，正方形ABCD所在平面外一点P满足PB⊥平面ABCD，且AB＝3，PB＝4．(1)求点A到平面PCD的距离；(2)线段BP上是否存在点E，使得DE⊥平面PAC，若存在，求出该点位置，若不存在，则说明理由．10．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是A1D1，A1A的中点．(1)求证：BC1∥平面CEF；(2)在棱A1B1上是否存在点G，使得EG⊥CE？若存在，求A1G的长度；若不存在，说明理由．11．如图，在三棱柱中，是边长为4的正方形，平面平面，，，点是的中点，(1)求证：平面；(2)求证：平面；(3)证明：在线段上存在点，使得.并求的值.12．正△ABC的边长为2，CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC边的中点，先将△ABC沿CD翻折成直二面角．(1)求二面角E－DF－C的余弦值；(2)在线段BC上是否存在一点，使AP⊥DE？证明你的结论．13．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，平面ABCD，平面ABCD，且，E为BC的中点.(1)证明：平面ABCD(2)在线段AN上是否存在点S，使得平面AMN，如果存在，求出线段AS的长度.14．如图，在长方体中，点为的中点，且，，点在线段上．(1)问：是否存在一点，使得直线平面？若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由．(2)若是线段的中点，求平面与平面的夹角的余弦值．15．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，正方形ABCD的边长为2，E是PA的中点.(1)求证：平面BDE.(2)若直线BE与平面PCD所成角的正弦值为，求PA的长度.(3)若PA=2，线段PC上是否存在一点F，使AF⊥平面BDE？若存在，求出PF的长度；若不存在，请说明理由.16．如图所示，是等腰直角三角形，，、都垂直平面，且．(1)证明：；(2)在平面内寻求一点，使得平面，求此时二面角的平面角的正弦值.题型三 夹角中的探索性问题17．在三棱锥中，底面是边长为的等边三角形，点在底面上的射影为棱的中点，且与底面所成角为，点为线段上一动点．(1)求证：；(2)是否存在点，使得二面角的余弦值为，若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由．18．如图，在中，，为边上一动点，交于点，现将沿翻折至.(1)证明：平面平面；(2)若，且，线段上是否存在一点（不包括端点），使得锐二面角的余弦值为，若存在求出的值，若不存在请说明理由.19．四棱锥中，侧面底面，，底面是直角梯形，，，，．(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)侧棱上是否存在异于端点的一点，使得二面角的余弦值为，若存在，求的值，若不存在，说明理由．20．如图，圆柱的轴截面是边长为6的正方形，下底面圆的一条弦交于点，其中．(1)证明：平面平面;(2)判断上底面圆周上是否存在点，使得二面角的余弦值为．若存在，求的长;若不存在，请说明理由．21．如图，四棱锥，平面，且，，，是边长为2的正三角形．(1)求证：平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值；(3)线段上是否存在点E，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，请指出点E的位置；若不存在，请说明理由．22．如图，在三棱锥中，平面平面，为等边三角形，D，E分别为，的中点，，，.(1)求证：平面；(2)在线段上是否存在点F，使得平面与平面的夹角为，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．23．已知底面是正方形，平面，，，点、分别为线段、的中点．(1)求证：平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值；(3)线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值是，若存在求出的值，若不存在，说明理由．24．如图，正三棱柱中，，点为线段上一点（含端点）.(1)当为的中点时，求证：平面(2)是否存在一点，使平面与平面所成角的余弦值为？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由.题型四 距离中的探索性问题25．如图所示，在直三棱柱中，侧面为长方形，，，，.(1)求证：平面平面；(2)求直线和平面所成角的正弦值；(3)在线段上是否存在一点T，使得点T到直线的距离是，若存在求的长，不存在说明理由.26．如图，四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，，，且，E为PD的中点．(1)求证：；(2)求二面角的大小；(3)在侧棱PC上是否存在点F，使得点F到平面AEC的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．27．图1是直角梯形ABCD，，，四边形ABCE是边长为4的菱形，并且，以BE为折痕将折起，使点C到达的位置，且，如图2.(1)求证：平面平面ABED；(2)在棱上是否存在点P，使得P到平面的距离为？若存在，求出直线与平面所成角的正弦值.28．如图，在梯形中，，，分别是的中点，且交于点O，现将梯形沿对角线AC翻折成直二面角.(1)证明：平面；(2)证明：；(3)若，试问在线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.29．图是直角梯形，，，，，，，以为折痕将折起，使点到达的位置，且，如图.(1)求证：平面平面；(2)在棱上是否存在点，使得到平面的距离为？若存在，求出二面角的大小；若不存在，说明理由.30．图1是直角梯形ABCD，，∠D＝90°，四边形ABCE是边长为2的菱形，并且∠BCE＝60°，以BE为折痕将△BCE折起，使点C到达的位置，且．(1)求证：平面平面A