广东省广州大学附中2021-2022学年八年级（下）期中数学试卷（解析版）

广东省广州大学附中2021-2022学年八年级（下）期中数

学试卷

注意事项:

i.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息.考

生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、

姓名是否一致.

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.非选择题答案用0.5毫米黑色墨水签字

笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效.

3.作图可先使用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑.

选择题（共10小题，共30分）

1.下列二次根式中，与我能合并的是（）

c

A.V24B.V32-回D-Jz

2.下列计算中，正确的是（）

A.2V3+4V2=6V5B.V27-J-V3=3

C.3A/3x3V2=3V6D.7（=3）2=-3

3.下列线段不能组成直角三形的是（

A.Q=6,b=8,c=10B.Q=1,b=c=V3

C.Q=4h=41,cD.a=2,b=3,c=V6

4.函数y="的自变量X的取值范围是（）

A.x>1B.x>1C.x>1且x40D.x<1

5.如图，点4表示的实数是（）

A.—V6D.1-V6

6.下列命题正确的是（）

A.一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形

B.对角线互相垂直的四边形是菱形

C.对角线相等的四边形是矩形

D.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形

7.小强所在学校离家距离为2千米，某天他放学后骑自行车回家，先骑了5分钟后，因

故停留10分钟，再继续骑了5分钟到家，下面哪一个图象能大致描述他回家过程中

离家的距离s（千米）与所用时间t（分）之间的关系（）

产米）2『千米）

A.B.

05101§200/m>0汽分）

2♦肝米）.s（千米）

2

C.D.|

I•

00ZEH_L

51015205101520t(^)

8.如图，在△4BC中，ZC=90°,AC=2,

^ADC=2乙B,AD=V5，则BC的长为(

A.V3-1

B.V3+1

C.V5-1

D.V5+1

9.如图，在直角坐标系中，将矩形04BC沿OB对折,

使点4落在公处，已知04=遮，AB=1,则点4

的坐标是（）

A.

B.片,3)

C.M）

D.M）

10.如图，分另IJ以RtZiACB的直角边AC和斜边4B为边向夕卜

作正方形ACFG和正方形4B0E,连结CE、BG、GE.给

出下列结论：①CE=BG；②EC1BG；③FG?+

BF2=2BD2+BC2；(4)BC2+GE2=2AC2+2AB2.K

中正确的是（）

A.②③④B.①②③C.①②④D.①②③④

二.填空题（本题共6小题，共18分）

11.比较大小：4底（填“>"或“<”）

第2页，共20页

12.菱形的两条对角线长分别为6和8,则这个菱形的周长为.

13.使J(6—x)(x—4产=(4-乃历与成立的条件是.

14.已知实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简―a5~b~

Va^+Vb1-J(b—a)2的结果为.

15.如图，将一副三角板如图所示叠放在一起，若AB=8cm,则

阴影部分的面积是cm2.

D「

16.如图，在边长为2的菱形ABCD中，乙4=60。，M是4。/

边的中点，N是AB边上一动点，将AAMN沿MN所在w//

的直线翻折得到AaMN,连接AC,则4c长度的最/

小值是.4》B

三.计算题(本题共1小题，共10分)

17.计算：V18+|1-V2|+(7T-3.14)0.

四.解答题(本题共8小题，共62分)

18.已知久=2+6，y=2-V3，求代数式的值：

A

19.在AABC中，AB=AC=10,点。在8c上，AD=8,BD=6,7

求证：。是线段BC的中点./\

BDC

20.已知y是x的一次函数，当x=l时，y=2,当x=2时，

y=0,求:/X.

(1)求此一次函数解析式；/|\

BC

(2)当一1＜尤＜3时，函数y的取值范围.D

21.如图，平行四边形4BCD中，对角线4C、BD相交于点0,

BE〃AC交。C的延长线于点E,BD=BE.

(1)求证：四边形ZBCD是矩形；

(2)若NAOB=60。，AB=4,求四边形4BE0的面积.

F.

22.如图,将矩形ABCD沿直线4E折叠，顶点。恰好落在边

上F处，己知CE=3,AB=8,求BF.

23.如图，在△ABC中，AB=AC,ND4C是△4BC的一个外角.实践与操作：根据要

求尺规作图，并在图中标明相应字母(保留作图痕迹，不写作法).

⑴作4DAC的平分线4M；作线段4c的垂直平分线，与4M交于点F,与BC边交于

点E.

(2)连接AE、CF,判断四边形4ECF的形状并加以证明.

24.定义：我们把对角线相等的四边形叫做和美四边形.

(1)请举出一种你所学过的特殊四边形中是和美四边形的例子.

(2)如图1,E,F,G,//分别是四边形ABCD的边48,BC,CD,ZX4的中点，已知

四边形EFG”是菱形，求证：四边形4BCD是和美四边形；

(3)如图2,四边形ABCD是和美四边形，对角线)C,BD相交于0,乙40B=60°,E、

产分别是AD、BC的中点，请探索EF与AC之间的数量关系，并证明你的结论.

图1图2

25.如图1,在正方形Z8CD和正方形BEFG中，点4,B,E在同一条直线上，P是线段DF

的中点，连接PG,PC.

(1)探究PG与PC的位置关系及保的值(写出结论，不需要证明)；

(2)如图2,将原问题中的正方形4BCD和正方形BEFG换成菱形4BC。和菱形BEFG,

第4页，共20页

且乙4BC=NBEF=60度.探究PG与PC的位置关系及色的值，写出你的猜想并加

以证明；

(3)如图3,将图2中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的边BG恰好与菱

形4BC0的边4B在同一条直线上，问题(2)中的其他条件不变.你在(2)中得到的两

个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明.

答案和解析

1.【答案】D

解：4、原式=26，不符合题意；

B、原式=4或，不符合题意；

C、原式=3遍，不符合题意；

D、原式=立，符合题意.

2

故选：D.

各式化简后，利用同类二次根式定义判断即可.

此题考查了同类二次根式，以及二次根式的性质与化简，熟练掌握各自的性质是解本题

的关键.

2.【答案】B

解：4、二次根式的加法，实质上是合并同类二次根式，不是同类二次根式，不能合并，

故A错误；

8、二次根式相除，等于被开方数相除，故B正确；

C、根号外的也要相乘，等于9通，故C错误；

D、根据必=|a|,等于3,故。错误.

故选：B.

根据二次根式的运算法则分析各个选项.

既要熟悉二次根式的加减乘除运算法则，还要熟悉二次根式化简的一些性质.

3.【答案】D

解：4、•••62+82=102,能组成直角三角形，故本选项错误；

B、12+(V2)2=(V3)2,能组成直角三角形，故本选项错误；

C、•；©)2+/=©)2,能组成直角三角形，故本选项错误；

D、•:22+(V6)2>32,不能组成直角三角形，故本选项正确.

故选。.

根据勾股理的逆理对个选项进行一析即可.

本题查是勾股定理的逆定理，即如果三角的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,这个三角

第6页，共20页

形就直角形.

4.【答案】B

解：根据题意得：x—120且x#0,

解得：x>1.

故选：B.

根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0,分母不等于0,就可以求解.

本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：

(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；

(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；

(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负.

5.【答案】B

解：vOA=V22+I2=V5>

・・•点4表示的实数是-4，

故选：B.

根据勾股定理求得。4=V5.于是得到结论.

本题考查了实数与数轴，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键.

6.【答案】D

解：4、一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形，错误；

B、对角线互相垂直的四边形是菱形，错误；

C、对角线相等的四边形是矩形，错误；

。、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，正确.

故选：D.

直接利用平行四边形以及菱形、矩形、正方形的判定方法分析得出答案.

此题主要考查了命题与定理，正确把握平行四边形以及菱形、矩形、正方形的判定方法

是解题关键.

7.【答案】A

解：因为小强家所在学校离家距离为2千米,某天他放学后骑自行车回家，骑了5分钟后，

因故停留10分钟，继续骑了5分钟到家，所以图象应分为三段，根据最后离家的距离.

故选：A.

根据题意分析可得：他回家过程中离家的距离S（千米）与所用时间t（分）之间的关系有3

个阶段：（1）骑了5分钟，距离s减小；（2）因故停留10分钟，距离s不变；（3）继续骑了5分

钟到家，距离s继续减小，直到为0.

本题考查了函数的图象，要求正确理解函数图象与实际问题的关系，理解问题的过程，

能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小，通过图象得到

函数是随自变量的增大或减小的快慢.

8.【答案】D

解：Z.ADC=2乙B,Z.ADC=乙B+乙BAD,

:.乙B=乙DAB,

•••DB—DA—V5，

在Rt△ADC中，

DC=y/AD2-AC2=J（V5）2-22=1；

BC=V5+1.

故选。.

根据NAOC=2乙B,^ADC=NB+4BAD判断出D8=DA,根据勾股定理求出。C的长,

从而求出BC的长.

本题主要考查了勾股定理，同时涉及三角形外角的性质，二者结合，是一道好题.

9.【答案】A

【解析】

【分析】

本题主要考查矩形的性质，勾股定理，以及图形对折的

特征及点的坐标的求法.

首先利用勾股定理求出0B的长，得出AAOB=30°,

根据折叠的性质，。4=04，乙40B=N40B,

从而求出乙勺。0,利用勾股定理求出0D、&D即可解答.

【解答】

解：在Rt△AOB中，

•••OA=V3<AB=1,

第8页，共20页

OB=y/OA2+AB2=V3+1=2,

・•・OB=2AB，

・・・LAOB=30°,

由翻折性质知乙41。8=乙408=30°,OAl=OA=y[3.

作ArD1OA，垂足为D,如图所示.

在RtZk&。。中，OA1=OA=43,乙4i。。=60°,

・•・Z,OA1D=30°,

•••OD=-0/11=—，

212

2

ArD=J%/_OD=^3=I，

•••点儿的坐标是(今|).

故选A.

10.【答案】C

解：①•••四边形48DE和四边形4CFG都是正方形,

：.AB=AE,AC=AG,Z.BAE=Z.CAG=90°,

:.Z-CAE=Z.GAB

・••△ACE三△4GB(SAS),

・•.CE=BG,

故①正确；

②,:AACE三AAGB,

・•・4ACE=Z.AGB,

・•・Z.MAG=乙CNM=90°,

即4E1BG,

故②正确；

③连接BE,

•.•四边形ABDE是正方形，

乙DBE=4ABE=/ABD=45°,Z.D=90°,

2

BE=>/2BD>

•••BE2=2BD2,

当44BC#45°时，4C8E羊90°,

22

此时BE?+BC*CE,即2"+BC2*CE2t

■■乙F=90°,

■■■FG2+BF2=BG2,

•••CE=BG,

：.FG2+BF2^2BD2+BC?不一定相等，

故③错误；

④连接CG,

vCE上BG,

BN2+CN2=BC2,EN2+NG2=GE2,

•••BC2+GE2=BN2+CN2+EN2+CN2,

•••BN2+EN2=BE2,CN2+GN2=CG2,

BC2+GE2=BE2+CG2,

•四边形4BDE和四边形4CFG是正方形，

•••^BAE=Z.CAG=90°,AB=AE,AC=AG,

第10页，共20页

BE2=AB2+AE2=2AB2,CG2=AC2+AG2=2AC2,

BE2+CG2=2AB2+2AC2,

BC2+GE2=2AC2+2AB2,

故④正确；

故选：C.

①证明△ACE任4GB得CE=BG,便可判断①的正误；

②由AACE三ZMGB得心力"=44GB,进而由三角形的内角和定理证明NM4G=乙CNM,

便可判断②的正误；

③连接BE,得BE?=28。2,根据4CBE丰90°,得BE?+BC2丰CE2,BP2BD2+BC2*

CE2,由勾股定理得FG2+BF2=BG2,再由CE=BG,WFG2+BF2^2BD2+BC2^

一定相等，便可判断③的正误；

④连接CG,在不同的直角三角形中由勾股定理得便可将BC?+GE?与24c2+2AB?联系

起来，进而判断④的正误.

本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，关键是应用全等

三角形和勾股定理解决问题.

11.【答案】>

【解析】

【分析】

本题考查了二次根式的性质和实数的大小比较等知识点，关键是知道4=3访，题目

较好，难度也不大.

根据二次根式的性质求出V16=4，比较V16和V15的值即可.

【解答】

解：4=V16,

V16>715>

4>V15，

故答案为：>.

12.【答案】20

解：如图所示，菱形4BCD中，AC=8,BD=6,

根据题意得4。=1x8=4,BO=gx6=3,

•••四边形4BCD是菱形，

•••AB=BC=CD=DA,AC1BD,

・••△40B是直角三角形，

AB=迎。2+8。2="6+9=5，

二此菱形的周长为：5x4=20.

故答案为：20.

根据菱形的对角线互相垂直平分的性质，利用对角线的一半，根据勾股定理求出菱形的

边长，再根据菱形的四条边相等求出周长即可.

本题主要考查了菱形的性质，利用勾股定理求出菱形的边长是解题的关键，同学们也要

熟练掌握菱形的性质：①菱形的四条边都相等；②菱形的两条对角线互相垂直平分，

并且每一条对角线平分一组对角.

13.【答案】x<4

解：根据题意得：,(6—x)(x-4年=|x-4|A/6—x=(4—x)V6—x>

x-4<0,6-x>0,

•••x<4.

故答案为：x<4.

根据二次根式有意义的条件，>Jab=Va-VF(a>0,Z?>0)，=|a|即可得出答案.

本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的性质与化简，掌握我•死(a2

0,b>0),=|a|是解题的关键.

14.【答案】0

解：由题意，可得a<0<b,且|a|>|b|,

所以原式=|Q|+网——a|

=-a+b—b+a

=0.

第12页，共20页

故答案为：0.

先根据数轴得出a<0<b,且|a|>\b\,进而利用二次根式的性质和绝对值的性质化简

得出即可.

此题主要考查了实数与数轴，二次根式的性质与化简，绝对值的性质，正确化简是解题

关键.

15.【答案】8

解：•••LB=30°,Z.ACB=90°,AB=8cm,

•••AC=4cm.

由题意可知BC〃ED,

・・./.AFC=/.ADE=45°,

AC=CF=4cm,

故SAACF=|x4x4=8(cm2).

故答案为8.

由于BC〃DE,那么△?!(：/=1也是等腰直角三角形，欲求其面积，必须先求出直角边4c的

长；Rt△力BC中，已知斜边4B及NB的度数，易求得4c的长，进而可根据三角形面积的

计算方法求出阴影部分的面积.

本题考查了相似三角形的判定和性质以及解直角三角形，发现AACF是等腰直角三角形,

并能根据直角三角形的性质求出直角边4C的长，是解答此题的关键.

16.【答案】V7-1

解：如图所示：过点M作MFLCC,交CD的延长线于点F,

是定值，4'C长度取最小值时，

•••A在MC上时，

•••在边长为2的菱形48CD中，乙4=60。，M为4D中点,

•••2MD=AD=CD=2,AFDM=60°,

乙FMD=30°,

FD=-MD=-,

22

・•・FM=DMxcos300=—

2

MC=VFM2+CF2=V7.

A'C=MC-MA'=近一1.

故答案为：V7-1.

根据题意，在N的运动过程中4在以M为圆心、4。为直径的圆上的弧4。上运动，当AC

取最小值时，由两点之间线段最短如此时M、A、C三点共线，得出4的位置，进而利

用锐角三角函数关系求出AC的长即可.

本题考查了翻折变换，菱形的性质，等边三角形的性质，折叠的性质，找到当点4是

上，A'B的长度最小是本题的关键.

17.【答案】解：原式=3&+四一1+1

=4V2.

【解析】先化简乃回，根据负数的绝对值等于它的相反数去掉绝对值号，任何非0数的0

次寨都等于1.

本题考查二次根式的化简，绝对值的性质和零指数累，考核学生的计算能力，特别注意

任何非0数的0次基等于1,而不是0.

18.【答案】解：x=2+遍，y=2—A/3,

.-.x+y=4,xy=(2+百)(2-V3)=22-(V3)2=4-3=1,x-y=(2+V3)-

(2-V3)=2遍，

.x_y_/-y2_(x+y)(xy)_4x2-_

yxxyxy1

【解析】由已知条件求出xy,x+y,x-y,将原式化为等，把分子分解因式进而代

入计算即可得出答案

此题主要考查了二次根式的化简求值，由已知条件求出xy,x+y,x-y是解题关键.

19.【答案】证明：vAB=10,AD=8,BD=6,

AD2+BD2=AB2,

：.^ADB=90°,

即AD1BC,

AB=AC,

。是线段BC的中点.

第14页，共20页

【解析】先根据勾股定理的逆定理求出乙4DB=90。，再根据等腰三角形的性质得出即

可.

本题考查了勾股定理的逆定理和等腰三角形的性质，注意：如果一个三角形的两边a、b

的平方和等于第三边c的平方，即a2+b2=c2,那么这个三角形的直角三角形.

20.【答案】解：（1）设一次函数解析式为y=kx+b,

根据题意得CH。，

解得:忆/

则一次函数解折式为y=-2x+4；

（2）vk=-2<0.

二y随x的增大而减小，

当x=-1时，y=6；x=3时，y=-2,

-1<x<3时，得到-2<y<6,

则y的范围为-2<y<6.

【解析】（1）利用待定系数法即可求得；

（2）根据一次函数的性质和图象上点的坐标特征即可求得.

本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握

一次函数的性质是解题的关键.

21.【答案】（1）证明：如图，•.•四边形ABC。是平行四边形,

•.AB//CD.

又•••点E在DC的延长线上，

.-.AB//CE.

又BE//AC,

.••四边形ABEC是平行四边形，

•••AC-BE.

又BD=BE,

•••AC—BD,

二平行四边形4BCD是矩形；

(2)解：•.•在矩形力BCD中，AAOB=60%OA=OB,

・•・△40B是等边三角形，

.・.BO=AB=4,

:.BD=2B0=2x4=8,

又•・•四边形ABEC是平行四边形，

CE=AB=4,

:.DE=CD4-CE=8,

在Rt△ABC中，BC=ylBD2-CD2=V82-42=4>/3>

四边形ABED的面积=3(4+8)X4V3=24g.

【解析】(1)根据已知条件推知四边形力BEC是平行四边形，则对边相等：AC=BE,依

据等量代换得到对角线4c=BD,则平行四边形4BCD是矩形；

(2)利用“矩形的对角线相等且相互平分”的性质、等边三角形的判定定理得到A/lOB

是等边三角形，则易求0B=4B=4,所以通过勾股定理求得BC的长度，再利用梯形的

面积公式列式计算即可得解.

本题考查了矩形的对角线互相平分且相等的性质，平行四边形的判定与性质，30。角所

对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键.

22.【答案】解：•••四边形4BCD为矩形，

:.AB=CD,AD=BC,乙B=zC=乙D=90°,

由折叠的性质得：AD=AF,DE=EF,Z.AFE=zD=90°,

vCE=3,AB=8,

EF=DE=DC-EC=AB-EC=8-3=5,

在也△£"中，EF=5,EC=3,

根据勾股定理得：FC=4,

设BF=x,AD=BC=AF=BF+FC=x+4,

在RtAABF中，AF=x+4,BF=x,AB=8,

根据勾股定理得：x2+82=(x+4)2,

解得：x=6,

则BF=6.

【解析】由矩形4BCD,得到两组对边相等，四个角为直角，再由折叠的性质得到三角

形2DE与三角形2EF全等，利用全等三角形的对应边相等得到力。=AF,DE=EF,由

力B-EC求出DE的长，即为EF的长，在直角三角形ECF中，利用勾股定理求出FC的长，

设BF=x,表示出4F,在直角三角形4BF中，利用勾股定理求出x的值，即可确定出BF

第16页，共20页

的长.

此题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，利用了方程的思想，熟练掌握勾股定理是

解本题的关键.

23.【答案】解：（1）如图，射线4M,直线EF即为所求作.

（2）结论：四边形，ECF是菱形.

理由：・,・EF垂直平分线段AC,

・•・EA=EC,FA=FC,

••AB=AC,

・•・（B=乙ACB,

・・・4M平分皿IC,

/./-DAM=4CAM,

,:Z.DAC=乙B+Z.ACB,

:.乙CAM=乙ACB,

AM//BC,

:.Z-AFE=乙FEC,

vEA=EC,EFLAC,

・•・^LAEF=乙FEC,

・•・Z-AEF—£.AFE,

：.AE=AF,

:.AE=AF=FC=CE,

二四边形AECF是菱形.

【解析】（1）根据要求作出图形即可.

（2）根据四边相等的四边形是菱形证明即可.

本题考查作图-复杂作图，菱形的判定等知识,解题的关键是理解题意，灵活运用所学

知识解决问题.

24.【答案】解：(1)•••矩形的对角线相等，

矩形是和美四边形；

(2)如图1,连接力C、BD,

•••E,F,G,H分别是四边形ZBCD的边AB,BC,CD,D4的

中点，图1

.：EH=\BD=FG,EF^AC=HG,

•.♦四边形EFGH是菱形,

•••EH=EF=FG=GH,

・•・AC=BD,

.••四边形ABC。是和美四边形；

(3)EF=：AC,

证明：如图2,连接BE并延长至M,使BE=EM,连接

DM、AM.CM,

•・•AE=ED,

・•・四边形M4BD是平行四边形，

ABD=AM,BD//AM,

・•・4MAe=Z.AOB=60°,

・•.△AMC是等边三角形，

・•・CM=AC,

△BMC中，♦:BE=EM,BF=FC,

：.EF=-CM=-AC.

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【解析】(1)根据矩形的对角线相等解答；

(2)根据三角形的中位线定理得；EH=\BD=FG,EF=^AC=HG,由菱形EFGH四

边相等可得：AC=BD,所以四边形4BCD是和美四边形；

(3)作辅助线，构建平行四边形MABD,再证明A/IMC是等边三角形，根据三角形中位

线定理得：EF=^CM=^AC.

本题考查的是和美四边形的定义、三角形的中位线定理、平行四边形的判定和性质、矩

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形和菱形的性质，正确理解和美四边形的定义、作辅助线是解题的关键.

25.【答案】解：（1）线段PG与PC的位置关系是PG1PC；*=1；

（2）猜想：线段PG与PC的位置关系是PG1PC；=V3.

证明：如图2,延长GP交DC于点

P是