第十章《概率》单元测试-2022-2023学年人教A版2019高一数学必修第二册

2022-2023学年高一下学期新人教A版必修第二册

第十章《概率》单元测试

一、单项选择题（每小题5分，共40分）

1、下列事件中，其中不是随机事件的是（）

A、明天广州要下雨

B、从100个灯泡中取出5个，5个都是次品

C、若。是实数，则IaI20

D、打开电视机，正在播放广告

2、抛掷一枚质地均匀的骰子一次，设事件4="点数为3”，事件8="点数大于3”，则

下列结论正确的是（）

A.A与3互为对立B.A与3互斥

C.A与B相互独立D.AcB

3、天气预报说，在今后的三天中，每天下雨的概率都为60%.现采用随机模拟的方法估计

这三天中恰有两天下雨的概率.用1,2,3,4,5,6表示下雨，用计算机产生了10组随机

数为180,792,454,417,165,809,798,386,196,206.据此估计这三天中恰有两天

下雨的概率近似为（）

3217

A.-B.-C.-D.—

55210

4、为宣传城市文化，提高城市知名度，我市某所学校5位同学各自随机从“跑突腾空”、“历

山览胜”、“明湖汇泊”三个城市推荐词中选择一个，来确定该学校所推荐的景点，则三个推

荐词都有人选的概率是（）

A.留B.里C.ILD.二

8181125125

5、甲和乙两个箱子中各装有10个球，其中甲箱中有5个白球、5个红球，乙箱中有8个红

球、2个白球.掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为5或6,从甲箱子随机摸出1个球；如

果点数为1,2,3,4,从乙箱子中随机摸出1个球.则摸到红球的概率为（）

“3„2―1卜7

A.-B.-C.-D.—

55210

6、一个质地均匀的正四面体4个表面上分别标有数字1,2,3,4,抛掷该正四面体两次，记事

件M为“第一次向下的数字为3或4”,事件N为“两次向下的数字之和为偶数”，则下列说法

错误的是（）

A.事件〃发生的概率为摄B.事件M与事件N互斥

C.事件前cW发生的概率为:D.事件M与事件N相互独立

7、某班有42名学生，其中选考物理的学生有21人，选考地理的学生有14人，选考物理或

地理的学生有28人，从该班任选一名学生，则该生既选考物理又选考地理的概率为（）

8、分别抛掷3枚质地均匀的硬币，设事件“至少有2枚正面朝上”，则与事件M相

互独立的是

（）

A.3枚硬币都正面朝上

B.有正面朝上的，也有反面朝上的

C.恰好有1枚反面朝上

D.至多有2枚正面朝上

二、多项选择题（每小题5分，共20分，有多项符合要求，全部选对得5分，部分选对得

2分，有选错得0分）

9、从含有3道代数题和2道几何题的5道试题中随机抽取2道题，每次从中随机抽出1道

题，抽出的题不再放回，则（）

A.”第1次抽到代数题”与“第1次抽到几何题”是互斥事件

B.“第1次抽到代数题”与“第2次抽到几何题”相互独立

c.第1次抽到代数题且第2次也抽到代数题的概率是a

10

D.在有代数题的条件下，两道题都是代数题的概率是1

3

10、一个袋子中装有除颜色外完全相同的5个球，其中有3个红球，2个白球，每次从中随

机摸出1个球，则下列结论中正确的是（）

A.若不放回的摸球3次，则恰有2次摸到红球的概率为3

5

B.若不放回的摸球2次，则第一次摸到红球的概率为a

10

C.若不放回的摸球2次，则在第一次摸到红球的条件下第二次摸到红球的概率为4

2

D.若有放回的摸球3次，仅有前2次摸到红球的概率为更

125

11、抛掷两枚质地均匀的正方体骰子，将向上的点数分别记为a,b,贝1（）

17

A.a+〃=8的概率为已B.a+6能被5整除的概率为,

636

C.“。为偶数的概率为°D.〃的概率为1

42

12、连续抛掷一枚质地均匀的硬币3次，每次结果要么正面向上，要么反面向上，且两种结

果等可能.记事件A表示“3次结果中有正面向上，也有反面向上”，事件B表示“3

次结果中最多一次正面向上”，事件C表示“3次结果中没有正面向上”，则

A.事件B与事件C互斥B.P（A）=（

C.事件A与事件B独立D.记C的对立事件为仁，则尸（*e）=,

二、填空题（每小题5分，共20分）

13、从2,3,4,5四个数中任取两个数，则两个数相差为2的概率是_.

14、甲、乙、丙三人向同一飞机射击，设击中的概率分别为0.4,0.5,0.8,若只有1人击中，

则飞机被击落的概率为0.4,若2人击中，则飞机被击落的概率为0.7,若3人击中则飞机一

定被击落，求飞机被击落的概率为一.

15、某位同学参加物理、政治科目的学考，已知这位同学在物理、政治科目考试中得A的

概率分别为3、这两门科目考试成绩的结果互不影响，则这位考生至少得1个A的概

73

率为.

16、A,3两人按如下规则抛掷质地均匀的正四面体骰子（四个面分别标有1,2,3,4）:

①每次抛掷两枚，以底面上的数字之和作为抛掷结果；

②若抛掷结果是3或4的倍数，则由原掷骰子的人继续掷，若抛掷结果不是3或4的倍数，

则由对方接着掷.

若第1次由A开始掷，则第3次由A掷的概率为—；若第1次由A开始掷，设第”次由A

掷的概率为匕，则与之间的关系式是—.

三解答题（共6小题，共计70分）

17、（10分）在举重比赛中，甲、乙两名运动员试举某个重量成功的概率分别为1，且

32

每次试举成功与否互不影响.

（I）求甲试举两次，两次均失败的概率；

（II）求甲、乙各试举一次，至多有一人试举成功的概率.

18.（12分）2022年2月4日，第24届冬季奥林匹克运动会开幕式在北京国家体育场隆重

举行，本届北京冬奥会的主题口号——“一起向未来”，某兴趣小组制作了写有“一”，“起”,

“向”，“未”，“来”的五张卡片.（1）若采用不放回简单随机抽样从中逐一抽取两张卡片,

写出试验的样本空间；

（2）该兴趣小组举办抽卡片送纪念品活动，有如下两种方案：

方案一：活动参与者采用简单随机抽样从五张卡片中任意抽取一张，若抽到“向”或“未”

或“来”，则可获得纪念品；

方案二：活动参与者采用不放回简单随机抽样从五张卡片中逐一抽取两张，若抽到“未”或

“来”，则可获得纪念品.

选择哪种方案可以有更大机会获得纪念品？说明理由.

19.（12分）新冠疫苗有三种类型：腺病毒载体疫苗、灭活疫苗和重组蛋白亚单位疫苗.腺

病毒载体疫苗只需要接种一针即可产生抗体，适合身体素质较好的青壮年，需要短时间内完

成接种的人群，突发聚集性疫情的紧急预防.灭活疫苗和重组蛋白亚单位疫苗安全性高，适

合老、幼、哺、孕及有慢性基础病患者和免疫缺陷人群.灭活疫苗需要接种两次.重组蛋白

亚单位新冠疫苗需要完成全程三针接种，接种第三针后，它的有效保护作用为90%的人员

出现这种抗疫效果.）

以下是截止2021年12月31日在某县域内接种新冠疫苗人次（单位：万人，忽略县外

人员在本县接种情况）统计表：

腺病毒载体疫苗灭活疫苗重组蛋白亚单位

疫苗

第一针0.510110

第二针010110

第三针00100

其中接种腺病毒载体疫苗的统计情况如下:

接种时间接种原因接种人次（单位：人）

3月疫情突发1500

6月高考考务1000

7月抗洪救灾2500

（1）遭遇3月疫情突发、服务6月高考考务、参加7J日抗洪救灾的人都是不同的人

已接种腺病毒载体疫苗的人员中随机抽取一名，求这个人参加了抗洪救灾的概率；

（2）在已接种灭活疫苗和重组蛋白亚单位疫苗的人员中，以人体产生的抗体数量是否

至少提升5~10倍为依据，用分层抽样的方法抽取4人，再从这4人随机抽取2人，求这2

人均为人体产生的抗体数量至少提升5~10倍的疫苗接种者的概率.

20.（12分）2022年3月5日，第十三届全国人民代表大会第五次会议在北京人民大会堂

开幕，会议报告指出，2021年，国内生产总值和居民人均可支配收入明显增长.某地为了

解居民可支配收入情况，随机抽取100人，经统计，这100人去年可支配收入（单位：万元）

均在区间[4.5,10.5]内，按[4.5,5.5),[5.5,6.5),[6.5,7.5),[7.5,8.5),[8.5,9.5)[9.5,

10.5］分成6组，频率分布直方图如图所示，若上述居民可支配收入数据的第60百分位数为

8.1.

（1）求“，b的值，并估计这100位居民可支配收入的平均值（同一组中的数据用该

组区间的中点值作代表）;

（2）用样本的频率估计概率，从该地居民中抽取甲、乙、丙3人，若每次抽取的结果

互不影响，求抽取的3人中至少有两人去年可支配收入在［7.5,8.5）内的概率.

21、（12分）“学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特

色社会主义思想为主要内容，立足全体党员，面向全社会的优质平台，现日益成为老百姓了

解国家动态，紧跟时代脉搏的热门某市宣传部门为了解全民利用“学习强国”了解

国家动态的情况，从全市抽取2000名人员进行调查，统计他们每周利用“学习强国”的时

长，下图是根据调查结果绘制的频率分布直方图

（1）根据上图，求所有被抽查人员利用“学习强国”的平均时长和中位数；

（2）宣传部为了了解大家利用“学习强国”的具体情况，准备采用分层抽样的方法从［8,

10］和口0,12］组中抽取50人了解情况，则两组各抽取多少人？再利用分层抽样从抽取的

50人中选5人参加一个座谈会.现从参加座谈会的5人中随机抽取两人发言，求［10,12］小

组中至少有1人发言的概率？

22、（12分）为普及抗疫知识、弘扬抗疫精神，某学校组织防疫知识竞赛.比赛共分为两轮,

每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一

轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为3,在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别

54

为2,2；甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响.

35

（1）从甲、乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？

（2）若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率.

参考答案

1、C2、B3、B4、A5、D

6、B7、C8、B

8、【解析】分别抛掷3枚质地均匀的硬币，可能出现记过的样本空间为：

Q=｛（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），（反，正，正），（反,

正，反），（反，反，正），（反，反，反）｝,共8个样本点，

事件"至少有2枚正面朝上”，

则M=｛（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正）｝,

41

共4个样本点，则尸（"）=—=—,

82

设人="3枚硬币都正面朝上"，则A=｛（正，正，正）｝,

：.P（A）尸（AM）=,，P（AM）^P（A）P（M）,A错误；

88

设3="有正面朝上的，也有反面朝上的"，则8=｛（正，正，反），（正，反，正），（正,

反，反），（反，正，正），（反，正，反），（反，反，正）｝.

p（A/）=-=-,P（B）=—=—，=

82848

：.P(BM)=P(M)P(B),事件8与M相互独立，B正确;

设。=”恰好有1枚反面朝上“，

则C={(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)),

P(C)=-,P(CM)=-,P(CM)M(C)P(M),C错误；

88

设。="至多有2枚正面朝上“，则。={(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，

(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)},

73

P(D)=一，P(DM)=~,P(DM)#P(D)P(M),D错误.

88

9、ACD10、ACDIkBC12、BCD

11、【解析】设试验的样本点(a,。)，样本点总数〃=6x6=36.

对于A“a+b=8”包含的样本点有(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2),共5个，

所以尸5+6=8)=工，故A错误；

36

对于B,能被5整除“包含的样本点有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(4,6),(5,5),(6,4),

共7个，所以P(a+6能被5整除)=5，故B正确；

对于C,为偶数”的对立事件为“必为奇数”.“他为奇数”等价于“。和6均为奇数”，

所以P(4为奇数)=L故尸("为偶数)=1-1=-,故C正确；

22444

对于D,ua>b"的对立事件为“4b”，事件"a,b"包含"a=b"和ua<b"，易知

P(a>b)=P(a<b),所以P(a>。)<P(4,6),所以P(q>b)x1,故D错误.

2

13、1

3

14、

P=(0.4x0.5x0.2+0.6x0.5x0.2+0.6x0.5x0.8)x0.4+(0.4x0.5x0.2+0.4x0.5x0.8+0.6x0.5x0.8)

x0.7+0.4x0.5x0.8=0.604.【答案】0.604

15、-16、——

7128"8a1+16

16、【解析】(1)由题意，每次抛掷两枚，抛掷结果共有4x4=16种，其中满足是3或4的

倍数的情况有

(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,4),(3,1),(3,3),(4,2),(4,4)共9种情况，

故抛掷结果是3或4的倍数的概率为2,

16

抛掷结果不是3或4的倍数的概率为1--=-,

1616

(2)①若第1次由A开始掷，则第3次由A掷的情况有三次抛掷的顺序分别为A,A,A,

和A,B,4两种，其概率为(2)2+工*工=受=也，

161616256128

②根据题意，当第”-1次为A抛掷时，第〃次由A掷的概率为当第1次为3抛

掷时，第〃次由A掷的概率为”7(1一《1)，故匕=9241+72(1一41)=1^夕17+”・

161616816

17、解：(I)甲试举两次，两次均失败的概率(1-；)2=《；

(n)“甲、乙各试举一次，至多有一人试举成功”的对立事件为''甲、乙各试举一次都成

功”，

甲、乙各试举一次都成功的概率为lx」=」，

236

二.甲、乙各试举一次，至多有一人试举成功的概率为1-1=3

66

18.解：(1)用1,2,3,4,5,分别表示“一”，“起”，“向”，“未”，“来”五张卡片,

占，x2e{l,2,3,4,5},数组(公，天)表示这个试验的一■个样本点，

则该试验的样本空间

C={(1,2),(1.3),(1.4),(1,5),(2,1)，(2,3),(2,4),(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5),

(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4)).

(2)采用方案一时，从五张卡片中采用简单随机抽样从中任意抽取一张的样本空间为1,2,

3,4,5,且每个样本点的可能性都相等，所以这是一个古典概型，

事件A="抽到向或未或来"，A=(3,4,5},则P(A)=(,.

采用方案二时，由(1)可得从五张卡片中采用不放回简单随机抽样从中任意抽取两张共有

20个样本点，且每个样本点的可能性都相等，所以这是一个古典概型，

事件3=“抽到未或来”，

L，(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(5,1),(5,2),

147

(5,3),(5.4)},则尸(B).

2010

因为P(A)<PCB),所以选择方案二可以有更大机会获得纪念品.

19.解：(1)在已接种腺病毒载体疫苗的人员中随机抽取1名,

p2500

这个人参加了抗洪救灾的概率为:

-1500+1000+25002

(2)截止2021年12月31日在某县域内接种灭活动疫苗和重组蛋白亚单位疫苗人次共有

120万人，

其中接种灭活动疫苗有10万人，接种重组蛋白亚单位疫苗有110万人，

这110万人中只有100万人接种了第三针，

根据有效保护率只有90万人体产生的抗体数量至少提升5-10倍，比率为更=3,

1204

以人体产生抗体数量是否至少提升5-10倍为依据，用分层抽样的方法抽到4人，

有1人人体产生的抗体数量不足以提升5-10倍，

3人人体产生的抗体数量至少提升5-10倍，

设抽取4人中不足以提升5-10倍的那个人为A,其他3人分别为3,C,D,

从这4人中抽取2人，基本事件有：AB,AC,AD,BC,BD,8,共6个，

其中2人均为人体产生抗体数量至少提升5-10倍的疫苗接种者的结果有：BC,BD,CD,

共3种，

这2人均为人体产生的抗体数量至少提升5~10倍的疫苗接种者的概率P=-=-.

62

20.解：(1)由频率分布直方图，可得0.05+0.12+4+2+0.2+0.08=1,

则4+6=0.55,①

•居民收入数据的第60百分位数为8.1,0.05+0.12+a+(8.1-7.5)xb=0.6,

则4+062=0.43,②

①②联立，解得a=0.25,6=0.3.

估计这100位居民可支配收入的平均值为：

0.05x5+0.12x6+0.25x7+0.3x8+0.2x9+0.08x10=7.22.

(2)根据题意，设事件A,B,C分别为甲，乙，丙在［7.5,8.5)内,

则尸(A)=P(B)=P(C)=0.3,

①“抽取3人中有2人在［7.5,8.5)内”=ABC^ABC\ABC,

且AB&A与C,W3C互斥，

根据概率的加法公式和事件独立性定义得：

6=P(ABC\JJABC)=0.3X0.3X(1-0.3)+0.3x(1-0.3)x0.3+(1-0.3)x0.3x0.3=0.189

②①“抽取3人中有3人在［7.5,