高考高中数学必考21个易错点详解总结

高中数学必考21个易错点详解总结

忽视空集致误

〜八~.■■■■■■■■■■■■■■・■■・■•・・•・・■・・■...............................

1设集合4=&*+以=0,x£R"B={X\X2+

2m+l)x+/-i=0,〃£R,xeR),若BJA,则实数。的取

值范围是.

【错解】4={0,—4},BJ4

(1)当8=4时，B=[0,-4},则0和一4是方程f+2(a+

1)x4-o2—1=0的根.

』=4(a+l)2-4(a2-1)>0,

.二一2(。+1)=—4,解得。=1;

1=0,

(2)当8={0}或8={—4}时，BQA.

则/=4(。+1)?—4(/—1)=0,解得a=-1

此时8={0},满足题意.

综上知，实数。的取值范围是。=±1.

［答案】k±1

【错因分析与防范措施】造成本题错误的根本原因是

忽视了“空集是任何集合的子集”这一性质，上述解法忽视

了8=0时的情形.当题目中出现81,4,/CB=B,AUB=A

时，应注意对8进行分类讨论，即分8=。和4W。两种情况讨

论.

【正解】在上述解题过程中补上3=。，此时/=4(〃+

一4(/-1)<0,解得。<一1,因此，实数。的取值范围是

—1或。=1.

【答案】{a|a<—1或a=l}

易误点Zi忽视集合兀素的互异性致误

》例2设集合4={一4.2。-1,a2},B={9,a~5A~

},若4cB={9},则实数〃=

【错解】,：AQB={9},A9ej.

由2a—1=9得々=5,

由a~=9得。=±3,

.•.4=5或4=±3.

【答案】5或3或一3

【错因分析与防范措施】在求出。的值后，没有验证

集合中的元素是否满足集合元素的互异性是导致错误的根本

原因.在解决集合中含参数的问题时，一定要进行检验，看

是否满足集合元素的互异性.

【正解】由ZG3={9},知

①当2。-1=9时，。=5,检验不符合要求，舍去；

②当/=9时，a=3或a=—3,检验a=3不符合要求.

故a=-3.

【答案】-3

对命题的否定不当而致误

》例3己知命题a-2ZT—则㈱P：

XXZ

【错解】标心即入L2<0,

—\<x<2.

【答案】一icv2

【错因分析与防范措施】错误的原因是认为p:

_?>0的否定是非夕从而认为非P对应的

XXz«x*XZ

X的集合是{x|-lq<2}.事实上若命题p中元素组成的集合为

M,那么对p的否定非p组成的集合就是A7的补集.求解时应

先求解集合M，再求其补集.

【正解】由~/0得

x-x—2

X2—2>0,解得xv—1或x>2,

㈱p为一1<xW2.

【答案】-1«2

变式训练3已知历是不等式最万〈°的解集且5U7,

则。的取值范围是

【解析】法一"忆・•・篦现或5。-25=。,

••・a<-2或a>5或々=5,故填(一8,-2]U[5,+~).

、_i_什>[+10—

法二若5£忆则nwo,

・・・(a+2)(a—5)W0且aW5,：.~2^a<5,

・・・54历时，tv—2或a25.

【答案】(-8,-2]U[5,4-oo)

呻霹曲I忽视函数的定义域致误

》例4已知7（x）=2+log3x（l<x<9）,求函数》=伏幻『

十九，）的最大值.

（错解】y=[/U）F+乂，）=（2+logj）2+2+logjx2,

2

/.^=(log3^)+61ogj+6=(log3x+3)2—3.

XxW9,.,•OWlogaxWZ,

故当x=9,即log3X=2时，歹取最大值为22.

【错因分析与防范措施】本题错误的原因在于没有注

意到函数尸伏刈2十府)的定义域的变化误以为函数产

伏的『十於?)的定义域就是/(X)的定义域.在解决有关函数的

问题时，首先应考虑函数的定义域，这是一条基本原则.

【正解】・・7U)的定义域为[1,9]，

1

，要使函数y=[/U)f+y(x2)有意义，必须有V。

•••1«.0<唾/W1.

设，=logK，则£[0,1],

2222

・・沙=[/(X)]+XX)=(2+log3x)+2+log3x

2

=(log/f+4log3%+4+2+21og3x=(log3X)+61og3x+6=

/+61+6(0W/<1).

对称轴为直线/=-3,在区间[0,1]的左侧.

・•・函数在/引0,1]上单调递增.

一当/—1时，％ax=1+6+6=13.

问：Ly=l是基函数吗？

2./的范围对t的范围的影响？

变式训练4函数/(x)=log4(7+6x—f)的单调递增区间

是•

【解析】设y=log4"，〃=一/+6工+7,

则二次函数〃=—f+6x+7在(-8,3]上为增函数，在

[3,+8)上为减函数.

又y=log4〃是增函数，函数/(x)=log4(7+6x—x2)的定义

域是(一1,7),

故由复合函数的单调性知，所求函数的单调递增区间为

(-1,3].

【答案】(-1,3]

易误点5|分段函数忽视分界点的函数值致误

5若人叫(4/+2g)是R上的单调递增

函数，则实数。的取值范围为()

A.(1,+8)B.(4,8)

C.[4,8)D.(1,8)

【错解】・・7U)是R上的单调递增函数,

，当X>1时，由/(X)=可知1.

当xWl时，由<x)=(4—：氏+2可知4—二>0,即q<8.

故实数。的取值范围为(L8).

【答案】D

【错因分析与防范措施】错误的原因是，将分段函数

的两个分支隔离开来，分别处理单调性.由于分段函数是一

个函数，故应结合单调性的概念，对其两分支界点处的值进

行比较，充分体现单调性中“任意X|，X2,若为〃2,则

【正解】・・7（x）是R上的单调递增函数，

当X>1时，由/（X）=，可知。>1.

当时，由y（x）=（4—g）x+2可知，4—^>0,

即q<8.

结合增函数的概念可知，（4-3+2<4,即。24.

综上所述，所求。的范围为［4,8）.

【答案】C

,,(3。-l)x+4a,x<l,口

变式训练5已知/(x)=।是(一

[\0gaX,X21

8,+8)上的减函数，那么。的取值范围是.

’3。一1<0,

【解析】由题意可知,OVzvl，

(3a—l)+4a，lo&l,

解得;<a<；.

【答案】[1,|)

易误点句|忽视最高次数项系数为0致误

函数/a)=m/一2x+1有且仅有一个正实数零

点，则实数加的取值范围是()

A.(一8,I]B.(—8,o]U{1}

C.(一8,O)U{1}D.(一8,1)

【错解】⑴当/=4-4m=0,即〃7=1时，x=l是函数

的唯一零点，

(2)当/=4-4加＞0,即〃?VI时，由于x=0不是函数的零

点，则函数有且仅有一个正实数零点等价于方程〃7/一级+1

=0有一个正根和一个负根，因此刈/(O)vo,所以mVO.

综上知，实数机的取值范围是(一8,O)U{1}.

【答案】C

【错因分析与防范措施】本题忽视〃?=0的情况，导致

解题失误.对于多项式函数或方程、不等式，如果含有参数

一定首先考虑最高次项系数为0的情况.

【正解】当〃7=0时，X=；为函数的零点.

当/wWO时，若/=4—4加=0,即当〃7=1时，x=l是函数

唯一的零点.

若/=4—4加工0,即加WI时，显然x=0不是函数的零

点.

这样函数有且仅有一个正实数零点等价于方程/(x)=s2

—2x+l有一个正根一个负根.因此〃次0)V0.・••加V0.综上知

实数机的取值范围是(-8,O]U{1}.

【答案】B

变式训练6设命题甲：a?+2ax+l>0的解集是实数集

R;命题乙：OVaVl,则命题甲是命题乙成立的

件.

【解析】当4=0时，不等式以2+2奴+1>0恒成立，

符合题意.

。〉0,

当aWO时，有//24―八即OVqVl,故不等式

[J=4a—4(7<0,

ax2+2ax+l>0的解集是R时，OWaVL故甲是乙成立的必要

不充分条件.

【答案】必要不充分条件

易误点】混淆“过某点的切线”与“在某点处的圈线”致误

》例7已知曲线C：0)=1一x+2,求经过点尸(1,2)

的曲线C的切线方程.

【错解】由1(x)=3x2~l,得%=/(1)=2,所以所

求的切线方程为卜一2=2。-1),即y=2x.

【错因分析与防范措施】切线的斜率A应是在切点处

的导数，此处所求的切线只说经过尸点，而没说P点一定是切

点，于是切线的斜率%与r(1)不一定相等.

解决这类题目时，一定要注意区分“过点力的切线方

程”与“在点力处的切线方程”的不同.虽只有一字之差，

意义却完全不同，“在”说明这点就是切点，“过”只说明

切线过这个点，这个点不一定是切点.

【正解】设经过点P(l,2)的直线与曲线。相切于点

(xo,y0),则由f(力=3/一1得，在点(如对处的切线斜率〃

=—

f(xo)=3xo1»

所以在点(Xo,%)处的切线的方程为

»一用=(3/一l)(x—Xo).

又因为点(历，州)与点P(l,2)均在曲线C和切线上，

七］乂)=焉—沏+2,3_2

有b—必=(3需一1)(1—的)，消去加得‘工。一'。=(3而一

1)(1—x0),

解得Xo=l或Xo=—于是左=2或一；，

19

所以所求切线方程为y=2'或"=-

变式训练7求过曲线歹=/一女上的点(1,一1)的切线

方程.

【解】设P(x。，乂))为切点，则切线的斜率为歹'|x=x0

=34-2.

，切线方程为y—乂)=(3/一2)(x—Xo),

—

即歹一(xo—2xo)=(3xo2)(x—x0).

又知切线过点(L-1),把它代入上述方程，得

—1—(Xo-2xo)=(3xo—2)(1—Xo),

整理，得(沏-1)2(2%0+1)=0,

解得Xo=l或Xo=—；.

故所求切线方程为歹一(1—2)=(3—2)(x—1),或y—(一；

31

+1)=(厂2)(叶5),

即方一歹一2=0,或5x+4y—1=0.

易误点8|极值点概念不清致误

》例8已知/(x)=x'+a¥2+6x+/在1处有极值为

10,贝必+6=.

【错解】/(X)=3X2+2OX+/>,由题意知

f(l)=3+2a+b=0,

{1)=1+4+6+/=10,

。=4,a=~3,

解得或

b=-11b=3.

-7或a+6=0.

【答案】-7或0

【错因分析与防范措施】“函数歹=以）在x=Xo处的导

数值为0”是“函数y=/（x）在点x=xo处取极值”的必要条

件，而非充分条件，但解题中却把“可导函数/）在x=x0处

取极值”的必要条件误作充要条件.

对于给出函数极大（小）值的条件，一定要既考射（沏）

=0,又考虑检验“左正右负”（“左负右正”）的转化，否则

易产生增根.

【正解】/（幻=3/+2依+6,由x=l时，函数取得

『⑴=3+2a+b=0,

极值10,1/(1)=l+a+b+/=10,

。=4,

联立①②得，

当a=4,6=-11时，/（x）=3x2+8x-11=（3x+U）（x

一1）在尸1两侧的符号相反，符合题意.

当1=-3,6=3时，/（x）=3（x-l）2在JC=1两侧的符号

相同，所以。=-3,6=3不符合题意，舍去.

综上可知。=4,b=—\\,..・。+6=-7.

【答案】-7

变式训练8若函数丸、)=X3—方2—公+/在^=[处有极

值10,求，(x)>0的解集.

【解】由八、)=工3—方2—以+。2,得/(x)=3x2—2ax

-b,又y(x)在x=l处有极值10,

.3—2a—6=0,

・・1-a-6+[2=10,

4=3,6r=-4,

解之得或

b=—3匕=11.

但a=3,6=—3时，/(x)=3f—6x+320,/(x)在R上

为增函数，不可能在x=l处有极值，舍去4=3,b=—3.

当cf=—4,6=11时，经检验./(X)在x=l处有极值.

由/'(X)=3X2+8X-11>0,得

(3x+1l)(x_1)>0,所以x>l或xv—1，

因此f(x)>0的解集为{布>1或XV—?}.

导数与单调性关系不明致误

》例9已知函数/U）=x'一办?—3x,若函数/（x）在[2,

+8）上是增函数，则实数。的取值范围是

【错解】/（x）=3x2-2ax-3,由题意知（幻＞0,

在x£[2,+8）上恒成立.

即qV^x一:，在x£[2,+8）上恒成立.

4X）

3（八

记《幻=5工一;，当x22时，《x）是增函数.

么X）

.工n9

・・，（X）min=J2-5=].

9

<

4一

中

9LA

-

89-

4y

【错因分析与防范措施】人划在区间团，〃上为增函

数，则有了（幻20,而U）＞0,本题错误就在此处.在

实际解答时应验证等号成立时，函数/（X）是否为增函数.

【正解】f(x)=3x~—2or—3,由题意知广(x)20在x

e[2,+8)时恒成立，

3r

-n一

2

1tA7，在x£[2,+8)上恒成立.

3(1)

记《x)=5x—[，当x£[2,+8)时，《用是增函数.

9

当4=4时，/(x)2。，当且仅当X=2时取等号.

9

因此

9

【答案】一8,4

r

e

变式训练9已知函数/(x)=]+《八二，a>0,若/(x)是R上

的单调函数，则实数。的取值范围是

尔-2ox+1

【解析】/(x)=e：(I+OY2)2，

函数/⑺是R上的单调函数，则r(x)在R上不变号.

由4>0知，ax?—2QX+120在R上恒成立.

则/=4/-4aW0,所以OVaWl.

【答案】(0,1]

忽视基本不等式成立的条件致误

》例1()已知：a>0,b>0,a+5=l,求(a+[)2+(b+

%2的最小值.

[错解】(。+/+(6+/)2=/+/+*+p+422而

+喜+4241/而4+4=8,

••.(a+：)2+(b+"y的最小值是8.

【错因分析与防范措施】上面的解答中，两次用到了

基本不等式/+/22H,第一次等号成立的条件是。=6=

L第二次等号成立的条件是而=2，这两个条件不能同时

2ab

成立.因此，8不是最小值.如多次应用基本不等式必须保

证等号同时成立，若某一条件不满足时，可以通过拆项、添

项、配凑因式、调整系数等方法使之满足条件.

【正解】原式=/+/+，2+/+4=(/+〃)+(3+/

+4=[(〃+6)2—2"]+[(：+：)2—嘉]+4

=(1—2")(1+/7)+4.由:得：1—2ab21

一厂5'且再216,1+作217，

・•・原式衿1X17+4=等25(当且仅当4=4方1时，等号成

1175

立)，，m+))2+3+6)2的最小值是).

变式训练10（2013・威海模拟）已知函数/（x）=|lgx|,若

氏a）=J（b）且a〈b,贝必+26的取值范围是（）

A.（2啦，4-°°）B.[2/2,+0°）

C.（3,+8）D.[3,+8）

【解析】:加尸也），A|lga|=|lgZ）|,

••.4=人（舍去），或

2

.•・4+26=。+一，又Ovqvb,0<a<1<b,

a

2

令/（4）=q+j易知/3）在（0.1）上为减函数，

2

・7A。）次1）=1+[=3，即a+26的取值范围是（3，+8）.

【答案】C

易误点［11忽视角的范围致误

》例（2013・西安模拟）设tana.tan4是方程f+3

+4=0的两根，且。£（一名»，夕£（一名分，则。+夕的值

为（）

A.-?Bjeg或一？D.一鼻或空

【错解】易得tan（a+0=-3,又aW（一微，分，眸（一

7171、,、11H,八兀12兀

2，2），a+£n£（一兀，7T）,从而a+£=3或一3.

【答案】C

【错因分析与防范措施】错误的原因是没有充分利用

三角函数值的符号限制角的范围，从而产生增解.解决此类

问题时，可根据三角函数值的正负判断角所在的象限，根据

三角函数值缩小角的范围.

【正解】由题意可知

tana+tan/?=—3/3,

tan«tan§=4,

tana+tan仅一3小r

tan(a+^)=

1—tanatanp1-46

又tana+tan4=—3tanatan夕=4>0,

tana<0,tan^<0.

兀、c/兀兀

又a£（一多力蚱（一5，2），

71Tt

.\ae(--,0),阵L〜，0),

...a+SW-兀，0),

2兀

:・a+B=T,

【答案】A

变式训练11已知cosa=1,5-；3cIt

sin(a+/?)=

14，0<a<2，

0<y5<2>求COS夕.

[解】・・・04与0〈遍,

/.0<a+^<7t.

・・・/上*"

・sin(a+p)-14<2,

7T2

0〈0+/?<3或3兀<0+/<兀.

又cosa=U4^3

sina—

72'7，

.2TT.„・一介H

••cos((X।B)—[4,

cos4=cos[(a+0-a]=cos(a+/?)cosa+sin(a+』)sin

11,5m,4。1

a=F)X/，4X7=2-

图象变换本质不明出错

12已知函数/(x)=sinGX+：(x£R,G>0)的最小

正周期为兀，将y=/(x)的图象向左平移|夕|个单位长度，所得

图象关于歹轴对称，贝物的一个值是()

7tc3兀71—九

A-2BTC4D8

2TT

【错解】由题意可知，周期为兀=石,

7T

所以①=2,所以/(x)=sin[2x+aj,

'兀、

平移后函数变为》=0。2x+M+z,

又平移后函数图象关于请由对称，

7T7T7T_7T

•••3+1=4兀M=kGZ,取4=0,(p=&

【答案】C

【错因分析与防范措施】X轴上的平移变换出错，平

移对象是x,而不是2x,平移是对、”而言，如果x前有系数

/\

G，则应写成+2的形式，同时要注意平移变换中的“左

加右减”，否则导致弄错方向，错求9=小误选C.

【正解】由上解，易知/(x)=sin2x+1，平移后函数

变为/(x)=sin2x+2|^|+^,

又平移后函数图象关于歹轴对称，

.,・2|夕|十彳=版+],磔=5+仁AGZ.

7[

取%=o,(p=a

【答案】D

变式训练12将函数y=sinX的图象上所有的点向右平

移的个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍

（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是（）

z

/兀

71-snm-一

A.y=sinc_v2X5

\__7t

C.y=sin'1_2LD.y=sin

?一位2”一比

【解析】将函数y=sinx的图象上所有的点向右平移

看个单位长度，所得函数图象的解析式为尸si/x一再，再

11/I1

把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得函

17T

数图象的解析式歹=sinQx-1o.

【答案】C

易条件转换不当，错判三角函数性质

》例13（2013南昌模拟）已知函数/（幻=$皿2^+3）,其中

9为实数，若加0<；［胃对x《R恒成立，且/（胃>_/（兀），则/（x）的

单调递增区间是（）

7T71

A.kn—y%兀+j（%£Z）

B.kn>攵兀+?（攵£Z）

7T2

C.E+z，依+2兀（%£2）

o5J

n

D.E—2，E（左£Z）

[错解】由于/(x)W对X£R恒成立,

・・・/:是函数的最大值，

•••©=sin]+0)=l,

兀

：•(p=2kn+3kWTL).

(7T\

因此/(x)=sin2x+3,

TTJTTT

由2%兀一5忘2^+4<2%兀+](%£Z),

7T7T

得版一3WX〈〃兀+6（%£Z）.

7T7T

丁•/（x）的递增区间是E—3,kZ6（k£Z）.

【答案】A

【错因分析与防范措施】1.解答本题主要有三个易误

点：（1）忽视绝对值符号的影响，遗漏/｛胃可能取得最小值一

1.（2）不能准确使用条件/导致挖掘不出隐含条件sin

（p<0,造成9=2®+聿（％£Z）的错解.⑶函数的单调区间掌

握不牢，错求区间.

2.本题求解关键：（1）把对x£R恒成立，转

化为sin（2x+p）＜sin5+9对x£R恒成立，从而得到

sin=±1，准确利用函数的对应法则和正弦函数的性

质，透彻理解绝对值的定义是正确求解的关键.

（2）将/匕＞洪兀）翻译成sin（7r+9）＞sin（27r+s）,利用诱导

公式便可推出sin8＜0,化抽象为具体是挖掘隐含条件避免

错误的有效手段.

【正解】因为当x£R时，小方圈卜亘成立，所以形

伍1_7C5

=sin=±1,因此9=2%兀+大或9=2%兀-

、JyONOC（AWZ）.

啸|＞刎,

.'.sin（7r+^）＞sin（27r+^）,

则sin9Vo.

515、

二・取0=2%兀-6兀（“£2）,y（x）=sin[2x一心.

由2E—4兀〈2攵兀+5，

“r•7T・2

得%兀+4〈1辽%兀+3兀(左£2).

・•・函数/)的单调增区间是色兀+畜氏+2御(&Z).

【答案】C

(病

变式训练13已知函数/(x)=sin2Gx—/—4sin%x+a(G

Iw

>0),其图象的相邻两个最高点之间的距离为兀

(1)求函数/(x)的单调递增区间；

兀3

(2)设函数/(x)在()，2上的最小值为一5，求函数/(x)(x£

R)的值域.

—11—COS2Gx

【解】(l)/(x)=_^_sin2Gx-/cos2Gx—4X-

।心•oJ.

+a=2sin2s•十2cos2a)x—2-\-a

=\bsin(2&zx+：+Q-2.

由已知得函数/(x)的周期/=兀，即方=兀，

/.cy=1,y(x)=Ssin2A•+§+a—2.

7T7T7T

由-5+2EW2X+5W5+2E,得

“兀一工，z£Z.

57r7T

••1)的单调递增区间为桁一天，既+"(%£Z).

11

.、[/r,—兀rr_L兀，一।兀-4兀

(2)当OWxWj时，彳乏21+\三丁,

・近V.。_4_兀1/

..一5_Wsin[2x十可W1.

7

这时Ax)的最小值为4—5.

73

由已知得。_]=

/、

.*.（7=2,X%）=^/3sin2x+3,

\3）

••贝X)的值域为[-3,6].

解三角形忽视讨论致误_

＞例的在△48。中，角4B,C所对的边分别为a,

b,c且a=l,c=j3.

jr

(1)若。=水求力；

(2)若力=*求b.

【错解】(1)在4/&?中，总=薪，

..,asinC1

••sinA勺9

c2

或不.

由，______C_组.「csinz也,厂—工

Q)由sin4—sinC,何sinC一—2'*,C~V

由。=大知3=5,b—\^cTc~—2.

【错因分析与防范措施】在第(1)问中，没有注意到

这个条件，是出错的根本原因.由于4VC,必有力＜。，所

以力一定是锐角.在第(2)问中，由于。4所以。可以是锐

角，也可以是钝角.在解决此类问题时应注意两点：①三角

形内角和为兀②比较两边的大小关系.

【正解】⑴由正弦定理得瘾=凝，

即sin力=4S?C=；.

Tl兀

又F."<C,・・・0<金，・.・4=0

,a_____c__/旦.csin4"马6

（2）由而1=而下'得sin「=："=—1—=2'

.•・C=W或争.

当C=j时，8=5，:.b=2；

当。=产时，B=?,：.b=\.

Jo

综上所述，力=2或8=1.

变式训练14已知平面上三点4B,C,向量比=(2—

A.3),衣=(2.4).

(1)若三点4B,。不能构成三角形，求实数人应满足的

条件；

(2)若△45C为直角三角形，求%的值.

【解】(1)由三点力，B,。不能构成三角形，得4

B,。在同一直线上，即向量比与充平行，

,CBC//AC,・・・4(2—%)—2X3=0,解得％=,

(2)・・・欣=(2—£3),：.CB=(k-2f-3),

：.AB=AC+CB=(k,\).

••,△"C为直角三角形，

则当N员4C是直角时，ABLAC,即春・充=0,

・,・2%+4=0,解得左=一2；

当N43。是直角时，ABLBC,

即施•反=0,

・・・*一2-3=0,

解得%=3或左=—1；

当N4C3是直角时，ACLBC,

即充抚二0,

・・・16—2%=0,解得％=8.

综上得女£{一2,—1,3,8}.

易误短国忽视两向量夹角为o或兀致误

》例15设两个向量0,七，满足修|=2,|匐=1，白与G

的夹角为.若向量2/4+7七与勺+七的夹角为钝角，求实数/

的取值范围.

［错解】•.*2/勺+70与e1+%的夹角为钝角，

（2te\+7七）'（《1+k2）<°，

.\2/2+15/+7<0,解之得：一7<7<一；，

・1的取值范围为（一7,一；）.

【错因分析与防范措施】错误的原因是误认为〃与〃夹

角为钝角

一般地，向量。，力为非零向量，。与。的夹角为仇则①0

为锐角o”力>0且。，力不同向；②6为直角=。力=0；③。为钝

角0仅6<0且〃力不反向.

(正解】•/2回+702与6+%2的夹角为钝角，

(2®+7c2>(6+拒2)<°且2/约+7GH-/e2)(2<0).

由(2%i+7/),(约+忆2)<0得2,+15/+7<0,

—7«v—另.若2超1+7«2=2(约+/e2)(2<0),

则(2z-/1)&+(7—讥)七=0.

2/-2=0,日n巫

即尸一

7-4=0,

的取值范围为（一7,—咽U[—乎,

•问：1.直线的倾斜角，直线与平面、异面直

线、二面角等角的范围？___

•2.设Z与B均为非零向量,展=2£-瓦

—♦—*—♦—♦—♦

d=3a-2b,c,d

变式训练15已知同=1,\b\=2,〃与力的夹角为120。，

求使〃+协与h+〃的夹角为锐角的实数%的瞿值范围.

【解】〃=|Q»|COS120°=2X(—-)=—1,

又,.,〃+%力与公/+8的夹角为锐角，

，(。+助)(%〃+。)>0且.+助W4A〃+A)(A0).

5—^2T

又•・•(“+%〃)(%〃+〃)>(),得尸一5%+lvO,解得一$—

若a+kb=，(ka+b),解得％=1,

••/的取值范围为"巨，羽誓

易误点16|运用“4=S”〃一S“—r时遗漏条件“生2”致误

》例；已知数列｛0,｝对任意的〃WN*都满足0+2勿+22的

+…+2'10,=8—5〃，则数列｛%｝的通项公式为

【错解】•.,。［+2。2+22。3+3+2"%〃=8—5〃,

+242+2%+…+2"%〃-i=8-5(〃-1)»

两式相减，得2"-%〃=一5,

•„__-5

**On-2〃一1,

—5

【答案】

【错因分析与防范措施】当〃=1时，由题中条件可得

0=3,而代入错解中所得的通项公式可得6=—5,显然是

错误的.其原因：两式相减时，所适用的条件是〃22,并不

包含〃=1的情况.本题实质上已知数列｛劣｝的前〃项和求

通项为与S〃的关系中，a„=S,-Sn-x,成立的条件是力22,求

出的4〃中不一定包括。1，而0应由0=S求出，然后再检验0

是否在0,中，若适合，则写成统一的式子，否则斯=

S(〃=l),

S〃一SLI("22).

【正解】当〃22时，由于0+242+22的+…+2〃7为

8—5〃，

2=

那么。1+2。2+2%3+…+2"an-iS—5(n—1)»

两式对应相减可得2〃匕=8—5〃一[8-5(〃-1)]=一5,

所以-2'口.

而当〃=1时，a[=3£21-1=-5,

所以数列的通项公式为

3,〃=1,

2〃-1，

变式训练16(2013・烟台模拟)已知数列｛%｝满足0=1,

a„=ai4-2a2+3a34-----卜(〃-则数列｛4｝的通项

公式为.

_

【解析】•••07=0+2。2+3。31----F(〃—1)0L

I(〃22),

=0+2G+3的+…+〃。〃，

：.a,)+\-atl=na„,

，a〃+i=(〃+1)。〃(〃22)，

如^=〃+1(〃22).

乂0=1,・・生

.a„a-aa

••nx・••・3•2

a“-1。〃-2°2

=n\n-I).....31

n!

二r，

1,n=\

・・ctn='n!

R'〃22.

1,n—\

【答案】a=\n\

n［丁心2

易误点17］忽视对等比数列中公比的分类讨论致学

卜例已知四个数成等比数列，其积为1,第二项与第

三项之和为一；3，求这四个数.

【错解】设这四个数为的r,aq)aq,aq\显然［?

为公比，

'/=1,①

由题意得｛/工、34

优〃+夕)=­亍②

13

由①得a=±l,代入②得;;+q=土亍

夕|22,・,•此题无解.

【错因分析与防范措施】错误的原因是这四个数的设

法错误，因为此设法使公比为/,这就限制了公比只能大于

0,从而导致失根.在解决此类问题时，一定要考虑公比为1

和不为1,公比为正和为负的情况，即要根据题意对公比进

行讨论.

【正解】法一(1)当所求等比数列的各项同号时，由

上述解法知，此时无解.

(2)当所求等比数列的各项异号时，设这个数列的前四项

依次为的\—aq、,aq,~aq3,

a4=1,①

则有L1、36

a(q_/=F②

a=±\,③

得412+|。—Q=O④

把a=l代入④，得q?+羽一1=0,

解得夕=5或9=一2；

把a=-1代入④，得q?一力一1=0,

解得夕=一；或1=2.

111

-或-

综上，可求得四个数为：8,-2,8-82-

2,8.

把4=1代入④，得T+力—1=0,

解得或夕=—2；

把a=-1代入④，得夕?一月一1=0,

解得q=一；或9=2.

111

综上，可求得四个数为：8,-2,8或-82-

2,8.

法二设这四个数为。，aq,aq\*则由题意知:

洲6=1,①

《3

的(1+[)=—2,②

寻[3=±1,③

得《V(l+q)2=*④

把词2=：代入④，得/—%+1=0,此方程无解；

117

把/如二一，代入④，得始+了,+1=0,

q-

解此方程得q=—1或1=-4.

当夕=一；时，4=8；当夕=-4时，67=—1.

所以这四个数为：8,-2,一：或一:，—2.8.

zooz

变式训练17各项均为实数的等比数列｛卬｝的前〃项和

为S〃，若Sio=10,030=70,则S40等于（）

A.150B.-200

C.150或一200D.400或一50

【解析】记瓦=Sio,b?=S20-5io，63=830-S20，回=

&0-S30,

b、,b2,仇，也是以公比为r=，°>0的等比数歹I」.

，仇+62+仇=10+10广+1。户=530=70,

.*.r2+r—6—0»

・・・r=2,厂=一3(舍去)，

,,,10(1-24)

••S4o=6]+62+63+64=-j—2—=150.

【答案】A

误点18|类比不当致误

》例在平面上，设九，hb，儿是三角形力8C三条边上

的高，尸为三角形内任一点，。到相应三边的距离分别为七,

Pb，Pc，我们可以得到结论：7+?+*=1.把它类比到空

间中，写出三棱锥中的类似结论：.

【错解】△48。三边上的高类比到三棱锥中是过三棱

锥的各顶点及其底面对应高的截面面积，三角形内一点到相

应三边的距离类比到三棱锥中就是过三棱锥内一点向各个面

做垂面，垂面的面积.设三棱锥,4—武力过各底面的高的截

面面积分别为邑，Sb，Sc，Sd，夕为三棱锥4—8。。内任一

点，过点〃的与相应底面垂直的截面面积为S'°,S"

s'c，s,小则有*+(+*+¥=1•

□a4b5

【答案】三棱锥J—过各底面高的截面面积分别

为Sb，Sc，S”.点P为三棱锥力一8CQ内任一点，过点P与

相应底面垂直的截面面积分别为S'a，S'卜S'c，S'd，

cz7

我们可以得到结论：中+T=i

【错因分析与防范措施】从平面到空间的类比时缺乏

对应特点的分析，在三角形中是其内一点到各边的距离与该

边上的高的比值之和等于1,类比到空间就应该是三棱锥内

一点到各个面的距离与该面上高的比值之和等于1.本题如果

不考虑比值的特点，就可能误以为类比到空间后是面积之比

等，从而得到一些错误的类比结论.

【正解】设儿，hb，儿，加分别是三棱锥J—BCQ四个

面上的高，。为三棱锥4-3CQ内任一点，。到相应四个面的

距离分别为九，Pb，Pc，Pd，于是我们可以得到结论：g+

"a

竺+2+为=1

【答案】空间中，设儿，心，hc,自分别是三棱锥

4—BCD四个面上的高，P为三棱锥,4—8CZ）内任一点，P到

相应四个面的距离分别为Pb，几，Pd，于是我们可以得

到结论

变式训练18已知等差数列短〃｝中，有阳+勺亮…

=取+倏.・・十。亚,则在等比数列｛儿｝中，会有类似的结

论：.

【解析】等差数列中的加法对应等比数列中的乘法，

等差数列中的除法对应等比数列中的开方，据此我们可类比

得到19,如仇2…620=3&…仇0•

【答案】仇仍12…仿0=3?/仇庆…仇0

三视图识图不准致误

》例19如图1是一个几何体的

三视图，试根据三视图中的数据,

并说明几何体中的主要数据，求该

几何体的侧面积及体积.

图1

【错解】由三视图知该几何体是一个正四棱锥，其底

面边长是4,

侧棱长是5,则正四棱锥的高为师，斜高为

故其侧面积为S侧=4X；X4X21=821,体积为/=；

X42XV17=16^.

【错因分析与防范措施】错误的原因是把正四棱锥的

斜高当成正四棱锥的侧棱长，导致计算失误.

在还原空间几何体实际形状时一般是以正视图和俯视图

为主，结合侧视图进行综合考虑.

当正四棱锥的俯视图是一个正方形及其对角线时，其主

（正）视图的.三角形的腰是正四棱锥的斜高，而不是其侧棱

长.

【正解】由几何体的三视图可知该几何体是一个正四

棱锥，其底面边长是4,斜高是5,则正四棱锥的高是历，