工程问题课件（二）

工程问题（二）

1.熟练掌握工程问题的基本数量关系与一般解法；

2.工程问题中常出现单独做，几人合作或轮流做，分析时一定要学会分段处理；

3.根据题目中的实际情况能够正确进行单位"1"的统一和转换；

4.工程问题中的常见解题方法以及工程问题算术方法在其他类型题目中的应用.

工程问题是小学数学应用题教学中的重点，是分数应用题的引申与补充，是培养学生抽象逻辑思

维能力的重要工具。工程问题是把工作总量看成单位“I”的应用题，它具有抽象性，学生认知起来

比较困难。在教学中，让学生建立正确概念是解决工程应用题的关键。

工程问题的基本概念

定义：工程问题是指用分数来解答有关工作总量、工作时间和工作效率之间相互关系的问题。

工作总量：一般抽象成单位“I”

工作效率：单位时间内完成的工作量

三个基本公式：工作总量=工作效率X工作时间,

工作效率=工作总量+工作时间，

工作时间=工作总量+工作效率;

二、为了学好分数、百分数应用题，必须做到以下几方面：

①具备整数应用题的解题能力，解决整数应用题的基本知识，如概念、性质、法则、公式等广泛应用于

分数、百分数应用题；

②在理解、掌握分数的意义和性质的前提下灵活运用；

③学会画线段示意图.线段示意图能直观地揭示"量"与"百分率”之间的对应关系，发现量与百分率

之间的隐蔽条件，可以帮助我们在复杂的条件与问题中理清思路，正确地进行分析、综合、判断和推理；

④学会多角度、多侧面思考问题的方法.分数、百分数应用题的条件与问题之间的关系变化多端，单靠

统一的思路模式有时很难找到正确解题方法.因此，在解题过程中，要善于掌握对应、假设、转化等多种解

题方法，不断地开拓解题思路.

三、利用常见的数学思想方法：

如代换法、比例法、列表法、方程法等

抛开"工作总量"和"时间"，抓住题目给出的工作效率之间的数量关系，转化出与所求相关的工作效

率，最后再利用先前的假设"把整个工程看成一个单位"，求得问题答案.一般情况下，工程问题求的是时

间.

,______

模块一、工程问题——变速问题

【例1】甲打一篇文稿，打完一半后吃晚饭，晚饭后每分钟比晚饭前多打32个字.前后共打50分钟，前

25分钟比后25分钟少打640个字.文稿一共（）字.

【考点】工程问题【难度】3星【题型】解答、

【关键词】走美杯，三年级，初赛，四年级

【解析】由"前25分钟比后25分钟少打640个字"，可知：多打这640个字需要的时间是：640+32=20

（分钟），那么就知饭前用了30分钟，饭后用了20分钟，如果这640个字全部用饭前的速度打，

则需要10分钟，故可知饭前的速度是64个字每分钟，饭后的速度是96个字每分钟，则文稿一共

有：64x30+96x20=3840个字。

【答案】3840

［例2］工厂生产一批产品，原计划15天完成，实际生产时改进了生产工艺，每天生产产品的数量比原计

划每天生产产品数量的多10件，结果提前4天完成了生产任务,则这批产品有件。

【考点】工程问题【难度】3星【题型】解答、

【关键词】希望杯，五年级，一试

【解析】设工厂原计划每天生产产品x件，则改进生产工艺后每天生产产品的数量为需x+10件。

根据题意有15x=（《X+10）x11,解得x=11。所以这批产品共有11x15=165（件工

【答案】165件

1例31甲、乙两个工程队修路，最终按工作量分配8400元工资.按两队原计划的工作效率，乙队应获

5040元.实际上从第5天开始，甲队的工作效率提高了1倍，这样甲队最终可比原计划多获得960

元.那么两队原计划完成修路任务要多少天？

【考点】工程问题【难度】3星【题型】解答

【解析】开始时甲队拿到8400-5040=336()元，甲、乙的工资比等于甲、乙的工效比，即为3360:5040=2:3；

甲提高工效后,甲、乙总的工资及工效比为(3360+960):(5040-960)=18:17.设甲开始时的工效为

"2",那么乙的工效为"3",设甲在提高工效后还需x天才能完成任务.有

40

(2x4+4x):(3x4+3x)=18:17,化简为216+54x=136+68x,解得x=H.工程总量为

7

40

5x4+7x一=60,所以原计划60+(2+3)=12天完成.

7

【答案】12天

［例4］甲、乙合作一件工程，由于配合得好，甲的工作效率比单独做时提高工，乙的工作效率比单独做

10

时提高g.甲.乙两人合作6小时，完成全部工作的|,第二天乙又单独做了6小时，还留下这件

工作的具尚未完成，如果这件工作始终由甲一人单独来做，需要多少小时？

30

【考点】工程问题【难度】4星【题型】解答

【关键词】人大附中

【解析】乙的工作效率是：(1---—)^6=4,甲的工作效率是：，所以，

5303653651033

单独由甲做需要：1+,=33（小时）.

33

【答案】33小时

【巩固】一项工程，甲独做需10天，乙独做需15天.如果两人合做，甲的工作效率就要降低，只能完成

4o

原来的:,乙只能完成原来的A.现在要8天完成这项工程，两人合做天数尽可能少，那么两人

要合做多少天？

【考点】工程问题【难度】4星【题型】解答

【解析】因为甲比乙的工作效率高，又要求合做的天数尽可能的少，所以除了两人合作之外，其余工程应由

甲单独完成.现设两人合作x天，则甲单独做8-x天，于是得到方程（：x80%+lx90%）

xx+'x（8-x）=/,解出x=5.所以，在满足条件下，两人至少要合作5天.

【答案】5天

【巩固】要发一份资料，单用A传真机发送，要10分钟；单用B传真机发送，要8分钟；若A、B同时发

送，由于相互干扰，A、B每分钟共少发0.2页。实际情况是由A、B同时发送，5分钟内传完了

资料（对方可同时接收两份传真），则这份资料有页。

【考点】工程问题【难度】4星【题型】解答

【关键词】希望杯，六年级，一试

【解析】没受干扰时传真机的合作工作效率为5+:=总，而实际的工作效率为!，所以这份资料共有

91

0-2^（---）=8（页）

405

【答案】5天

［例5］甲.乙两人合作清理400米环形跑道上的积雪，两人同时从同一地点背向而行各自进行工作，最

初，甲清理的速度比乙快L,中途乙曾用io分钟去换工具，而后工作效率比原来提高了一倍，结

3

果从开始算起，经过1小时，就完成了清理积雪的工作，并且两人清理的跑道一样长，间乙换了工

具后又工作了多少分钟？

【考点】工程问题【难度】4星【题型】解答

【关键词】四中，入学测试，希望杯，六年级，2试

【解析】法一：直接求

首先求出甲的工作效率，甲1个小时完成了200米的工作量，因此每分钟完成200+60=5（米），

开始的时候甲的速度比乙快;，也就是说乙开始每分钟完成为与+（1+》=2.5（米），换工具之后，

工作效率提高T音，因此每分钟完成2.5x2=5（米），问题就变成了，乙50分钟扫完了200米的雪，

前若干分钟每分钟完成2.5米，换工具之后的时间每分钟完成了5米，求换工具之后的时间。这是一

个鸡兔同笼类型的问题，我们假设乙一直都是每分钟扫2.5米，那么50分钟应该能扫2.5x50=125

（米），比实际少了200-125=75（米），这是因为换工具后每分钟多扫了5-2.5=2.5（米），因此

换工具后的工作时间为75+2.5=30（分钟）.

法二：其实这个问题当中的400米是一个多余条件，我们只需要根据甲乙两人工作量相同和他们之

间的工作效率之比就可以求出这个问题的答案。我们不妨设乙开始每分钟清理的量为3,甲比他快

1,甲每分钟可以清理4,60分钟之后，甲一共清理了4x60=240份的工作量，乙和他的工作总量

相同，也是240份，但是乙之前的工作效率为3,换工具后的工作效率为6,和（法一）相同的，利

用鸡兔同笼的思想，可以得到乙换工具后工作了(240-3x50)+(6-3)=30分钟。

【答案】30分钟

1例61甲、乙两人同时加工同样多的零件，甲每小时加工40个，当甲完成任务的-时，乙完成了任务的

2

1还差40个.这时乙开始提高工作效率，又用了7.5小时完成了全部加工任努.这时甲还剩下20

2

个零件没完成.求乙提高工效后每小时加工零件多少个？

【考点】工程问题【难度】4星【题型】解答

【关键词】十三分，入学测试

【解析】当甲完成任务的工时，乙完成了任务的!还差40个，这时乙比甲少完成40个；

22

当乙完成全部任务时，甲还剩下20个零件没完成，这时乙比甲多完成20个；

所以在后来的7.5小时内,乙比甲多完成了40+20=6()个，那么乙比甲每小时多完成6()+7.5=8

个.所以提高工效后乙每小时完成40+8=48个.

【答案】48个

［例7］甲、乙两项工程分别由一、二队来完成.在晴天，一队完成甲工作要12天，二队完成乙工程要15

天；在雨天，一队的工作效率要下降40%,二队的工作效率要下降10%.结果两队同时完成工作,

间工作时间内下了多少天雨？

【考点】工程问题【难度】4星【题型】解答

【解析】在晴天,一队、二队的工作效率分别为‘和上，一队比二队的工作效率高;在雨天，

1215121560

一队、二队的工作效率分别为3(1-40%)$和京1-10%)$，二队的工作效率比一队高

—=5:3^0,3个晴天5个雨天，两个队的工作进程相同，此时完成了工程

502010060100

的_183+工*5」，所以在施工期间，共有6个晴天10个雨天.

12202

方法二：本题可以用方程的方法，在方程解应用题中会继续出现。

【答案】10个雨天

【例8】一项挖土万工程，如果甲队单独做，16天可以完成，乙队单独做要20天能完成.现在两队同时

施工，工作效率提高20%,当工程完成1时，突然遇到了地下水，影响了施工进度，使得每天少

4

挖了47.25方土，结果共用了10天完成工程.问整工程要挖多少方土？

【考点】工程问题【难度】4星【题型】解答

【解析】甲、乙合作时工作效率为J+-!-)x(l+20%)=二.则工的工程量需二盘=竺(天)，则遇到

16202004420027

地下水后用、乙两队又工作了io-黑争天)则此时甲、乙合作的工作效率为9署=遇

到地下水前后工作效率的差为：乡-也•=坨，则总工作量为47.25+%=1100方土.

20088044004400

【答案】1100方土

［例9］甲、乙两个工程队分别负责两项工程.晴天，甲完成工程需要10天，乙完成工程需要16天；

雨天，甲和乙的工作效率分别是晴天时的30%和80%.实际情况是两队同时开工、同时完工.那

么在施工期间，下雨的天数是天.

【考点】工程问题【难度】4星【题型】解答

【关键词】希望杯，六年级，1试

【解析】在晴天，甲、乙两队的工作效率分别为々和々,甲队比乙队的工作效率高二=N；

1016101680

在雨天，甲队、乙队的工作效率分别为，x30%=2-和,X80%=-!~,乙队的工作效率比甲队高

101001620

-1-4Q-=—I.由于两队同时开工、同时完工，完成工程所用的时间相同，所以整个施工期间,晴

2010050

天与雨天的天数比为‘■：a=8：15.

5080

如果有8个晴天，则甲共完成工程的,1x8+二Qx15=1.25,而实际的工程量为1,所以在施工期间，

10100

共有8+1.25=6.4个晴天，15+1.25=12个雨天.

【答案】12个雨天

[例10]一批工人到甲、乙两个工地工作，甲工地的工作量是乙工地的工作量的J倍，上午在甲工地工作

2

的人数是乙工地人数的3倍，下午这批工人中的3在乙工地工作。一天下来，甲工地的工作已完

12

成，乙工地的工作还需4名工人再做一天。这批工人有人。

【考点】工程问题【难度】3星【题型】解答

【关键词】希望杯，五年级，一试

【解析】"甲工地的工作量是乙工地的工作量的J倍"说明甲、乙的工作量只比为3:2。

2

可设这批工人有X人，每个工人的工效都为1,列式为：

3s

-X:(—X+4)=3:2

412

-X=-X+12

44

lx=12

4

X=48

所以这批工人有48人。

【答案】48人

模块二、工程问题方法与技巧

整体分析法

1例in甲、乙、丙三人生产一批玩具，甲生产的个数是乙、丙二人生产个数之和的L,乙生产的个数是甲、

2

丙两人生产个数之和的L,丙生产了50个。这批玩具共有个.

3

【考点】工程问题【难度】3星【题型】解答

【关键词】希望杯，六年级，二试

【解析】如果直接研究甲、乙、丙三者之间的关系，可能会略显复杂，我们需要引入一个中间量：甲乙丙三

人生产玩具数量的总和。甲是乙丙和的,，则总和为3，甲占了1份，甲占了总数的1；乙是甲丙和

23

的1,同理可知乙占了总数的L，那么可知丙生产的玩具占总数的1-J-J=9,所以总数是

343412

50^—=120（个）.

12

【答案】120个

【例12】几个同学去割两块草地的草，甲地面积是乙地面积的4倍，开始他们一起在甲地割了半天，后来留

下12人割甲地的草，其余人去割乙地的草，这样又割了半天，甲、乙两地的草同时割完了，问：

共有多少名学生？

【考点】工程问题【难度】3星【题型】解答

【关键词】西城实验

【解析】有12人全天都在甲地割草，设有人上午在甲地，下午在乙地割草.由于这人在下午能割完乙地的草

（甲地草的_L）,所以这些人在上午也能割甲地［的草，所以12人一天割了甲地之的草，每人每天割

444

草为，全部的草为甲地草的』,<+々=20,所以共有20名学生.

4164416

【答案】20名学生

【巩固】一批工人到甲、乙两个工地进行清理工作，甲工地的工作量是乙工地的工作量的1-倍.上午去甲工

2

地的人数是去乙工地人数的3倍，下午这批工人中有二的人去甲工地.其他工人到乙工地.到傍晚

12

时，甲工地的工作已做完，乙工地的工作还需4名工人再做1天，那么这批工人有多少人？

【考点】工程问题【难度】3星【题型】解答

【解析】根据题意，这批工人的人数是12的倍数，设这批工人有12x人.

那么上午有9x人在甲工地,有3x人在乙工地；下午有7x人在甲工地，有5x人在乙工地.所以甲工地

相当于（9x+7x）+2=8x人做了一整天；乙工地相当于（3x+5x）+2=4x人做了一整天.

由于甲工地的工作量是乙工地的工作量的|倍，假设甲工地的工作量是3份，那么乙工地的工作量

是2份.8x人做一整天完成3份，那么4x人做一整天完成5份,所以乙工地还剩下2-|二份.这

；份需要4名工人做一整天，所以甲工地的3份需要4x（3+；）=24人做一整天，即8x=24,可得

x=3,那么这批工人有12x3=36（人）.

【答案】36人

【例13】有两个同样的仓库搬运完其中一个仓库的货物用需要6小时Z需要7小时丙需要14小时用、

乙同时开始各搬运一个仓库的货物，开始时，丙先帮甲搬运，后来又去帮乙搬运，最后两个仓库的

货物同时搬完.则丙帮甲小时，帮乙小时.

【考点】工程问题【难度】3星【题型】解答

【关键词】希望杯，六年级，2试

【解析】整个搬运的过程，就是甲、乙、丙三人同时开始同时结束，共搬运了两个仓库的货物，所以它们完

成工作的总时间为2+己+4+!）=&小时.在这段时间内，甲、乙各自在某一个仓库内搬运，丙

67144

则在两个仓库都搬运过.甲完成的工作量是0=?,所以丙帮甲搬了1-2的货物，丙帮甲做

64888

的时间为■1!■+-1!"=1上1小时，那么丙帮乙做的时间为0‘1-己Q=3>1!■小时.

8144442

.31

【答案】丙帮甲1二小时，丙帮乙3：小时.

42

【巩固】搬运一个仓库的货物，甲需10小时，乙需12小时，丙需15小时.有同样的仓库A和8，甲在A仓

库，乙在8仓库同时开始搬运货物，丙开始帮甲搬运，中途又转向帮乙搬运，最后同时搬完两个仓

库的货物.丙帮助甲、乙各搬运了几小时？

【考点】工程问题【难度】3星【题型】解答

【解析】甲、乙、丙搬完两个仓库共用了：2+」+l+口=8小时，丙帮助甲搬运了+上=3小

101215I10)15

时，丙帮助乙搬运了8-3=5小时.

【答案】5小时

【例14】甲、乙、丙三队要完成A,8两项工程，8工程的工作量是A工程工作量再增加工，如果让甲、

4

乙、丙三队单独做，完成A工程所需要的时间分别是20天，24天，30天.现在让甲队做A工程，

乙队做B工程，为了同时完成这两项工程，丙队先与乙队合做B工程若干天，然后再与甲队合做A

工程若干天.问丙队与乙队合做了多少天？

【考点】工程问题【难度】4星【题型】解答

【解析】这个问题当中有两个不同的工程，三个不同的人，因此显得很难解决，数学中化归的思想很重要，

即以一个为基准，把其他的量转化为这个量，然后进行计算，我们不妨设A工程的工作总量为单位

"1",那么B工程的工作量就是"?"，那么这个问题就和例5联系到了一起了。

4

三队合作完成两项工程所用的天数为：[1+][++A]=18天。18天里，乙队一直在完成B

17

工作,因此乙的工作量为五x18=w,B剩下的工作量应该是由丙完成,因此丙在B工程上用了

15天也就是说两队合作了15天。

解题关键是把“一项工程"看成一个单位，运用公式：工作效率X工作时间=工作总量，表示出各

个工程队(人员)或其组合在统一标准和单位下的工作效率.

【答案】15天

【例15】甲、乙、丙三人同时分别在3个条件和工作量相同的仓库工作，搬完货物甲用10小时，乙用12

小时，丙用15小时.第二天三人又到两个大仓库工作，这两个仓库的工作量相同.甲在A仓库，

乙在3仓库，丙先帮甲后帮乙，用了16个小时将两个仓库同时搬完.丙在A仓库搬了多长时间？

【考点】工程问题【难度】4星【题型】解答

【解析】因为A、8两个仓库的工作量相同，所以甲、乙'丙如果都在其中一个大仓库工作，那么8小时可

以搬完.因为甲、乙、丙三人每小时的工作量的比是,：，：，=6:5:4,所以甲每小时可以完成大

101215

仓库工作量的-X」一=J-,丙每小时可以完成大仓库工作量的-X」一=J-.那么甲16小

86+5+42086+5+430

时完成了A仓库的‘X16,，丙在A仓库搬了(1,)+工=6小时.

205530

【答案】6小时

[例16]一项工程，乙单独做要17天完成.如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替轮流做，那么恰好用

整天数完成；如果第一天乙做，第二天甲做，这样交替轮流做，那么比上次轮流的做法多用半天完

工.问：甲单独做需要几天？

【考点】工程问题【难度】4星【题型】解答

【解析】甲、乙轮流做，如果是偶数天完成，那么乙、甲轮流做必然也是偶数天完成，且等于甲、乙轮流做

的天数，与题意不符；所以甲、乙轮流做是奇数天完成，最后一天是甲做的.那么乙、甲轮流做比

甲、乙轮流做多用半天，这半天是甲做的.如果设甲、乙工作效率分别为匕和匕，那么K=%+gh,

所以匕=2%,乙单独做要用17天，甲的工作效率是乙的2倍，所以甲单独做需要17+2=8.5天.

【答案】8.5天

[例17]一项工程，甲单独完成需12小时，乙单独完成需15小时。甲乙合做1小时后，由甲单独做1小

时，再由乙单独做1小时......甲、乙如此交替下去，则完成该工程共用小时。

【考点】工程问题【难度】3星【题型】解答

【关键词】希望杯，五年级，一试

【解析】甲乙合做1小时后，还剩下：1-，-4=与,甲乙单独做2小时，共做乙+」=±,还需要做

151220151220

2x5=10小时，还剩下4,需要甲做1小时，还有，乙还需要做小时，一

1010126060154

共需要1+10+1+0.25=12.25小时

【答案】8.5天

【例18】一项工程，甲单独做要12小时完成，乙单独做要18小时完成.若甲先做1小时，然后乙接替

甲做1小时，再由甲接替乙做1小时.......两人如此交替工作，请问：完成任务时，共用了

多少小时？

【考点】工程问题【难度】4星【题型】解答

【解析】①若甲、乙两人合作共需多少小时？

=1令7?（小时）.

1+

365

②甲、乙两人各单独做7小时后，还剩多少？

,351

=1------=—

3636

③余下的由甲独做需要多少小时？

36

-"r—=—（小时）・

36123

④共用了多少小时？

7x2+-=14-（小时）.

33

在工程问题中，转换条件是常用手法.本题中，甲做1小时，乙做1小时，相当于他们合作1小时,

也就是每2小时,相当于两人合做1小时.这样先算一下一共进行了多少个这样的2小时，余下部

分问题就好解决了.

【答案】吗小时

【巩固】一件工程，甲单独做要6小时，乙单独做要10小时，如果接甲、乙、甲、乙...顺序交替工作，每

次1小时，那么需要多长时间完成？

【考点】工程问题【难度】4星【题型】解答

【解析】甲1小时完成整个工程的,，乙1小时完成整个工程的工，交替干活时两个小时完成整个工程的

610

:1+上1=4三，甲、乙各_干3小时后完成整个工程的44x3=之4,还剩下1!，甲再干1小时完成整个工

610151555

程的1,还剩下土■,乙花1小时即20分钟即可完成.所以需要7小时20分钟来完成整个工程.

【答案】7小时20分钟

【巩固】规定两人轮流做一个工程，要求第一个人先做1个小时，第二个人接着做一个小时，然后再由第一

个人做1介小时，然后又由第二个人做1个小时，如此反复，做完为止.如果甲、乙轮流做一个工

程需要9.8小时，而乙、甲轮流做同样的工程只需要9.6小时，那乙单独做这个工程需要多少小时？

【考点】工程问题【难度】4星【题型】解答

【解析】根据题意，有：甲£甲廿,甲?涮；乙。87弓,可知甲做「of=0.4小时与乙做1-0.8=0.2小时

乙甲乙甲…乙1小时+甲0.6小时

的工作量相等，故甲工作2小时，相当于乙1小时的工作量.

所以,乙单独工作需要9.8-5+5+2=7.3小时.

【答案】7.3小时

【例19】公园水池每周需换一次水.水池有甲、乙、丙三根进水管.第一周小李按甲、乙、丙、甲、乙、丙.....

的顺序轮流打开1小时，恰好在打开水管整数小时后灌满空水池.第二周他按乙、丙、甲、乙、丙、

甲……的顺序轮流打开1小时，灌满一池水比第一周少用了15分钟；第三周他按丙、乙、甲、丙、

乙、甲……的顺序轮流打开1小时，比第一周多用了15分钟.第四周他三个管同时打开，灌满一

池水用了2小时20分,第五周他只打开甲管，那么灌满一池水需用小时.

【考点】工程问题【难度】4星【题型】解答

【关键词】迎春杯，高年级，初赛

【解析】考虑水池减去甲乙丙两小时总和后的容积，则此部分按照甲乙丙的顺序灌刚好在整数小时后灌满，

按照乙丙甲的顺序灌少用15分钟，按照丙乙甲的顺序灌多用15分钟，三个一起灌用20分钟.所

以速度应该是乙最快，甲居中，丙最慢.也就是说，此部分是甲灌1个小时后灌满.甲灌1个小时

的水=乙灌45分钟的水=丙灌1个小时的水+乙灌15分钟的水.所以灌水速度甲：乙:丙=3：4：2,

也就是甲刚好是平均数.所以只用甲管灌满需要7小时.

【答案】7小时

［例20］为了创建绿6学校,鹤甑部的同学设计了f回收W堂的施g水病的水池，要求朝蛀T开进水

管3球,单期：FRtoK管4四,

若同时打H曲K管和出水管14，JxM才能咏世端。则当池水注满,并且关闭曲火管与出水管时，经过

4电寸池水就会赢

【考点】工程问题【难度】4星【题型】解答

【关键词】希望杯

【解析】设满水池水位单位T,水池漏水相当千一工僧蟀为=’的出水管，因此关闭进水管与出

341484

水管，经过84<JW中切僦会漏完

【答案】84〃的

【例21］蓄水池有一条进水管和一条排水管.要灌满一池水，单开进水管需5小时；排光一池水，单开排水

管需3小时.现在池内有半池水，如果按进水，排水，进水，排水……的顺序轮流各开1小时.问：

多长时间后水池的水刚好排完？（精确到分钟）

【考点】工程问题【难度】4星【题型】解答

【解析】法一：

1小时排水比1小时进水多工-工=2,3，说明排水开了3小时后（实际加上进水

351521510

3小时，已经过去6小时了），水池还剩一池子水的卡,

再过।小时，水池里的水为一池子水的'+'=a,

10510

把这些水排完需要2」=2小时，不到1小时，

10310

oQ

所以共需要6+1+?=72小时=7小时54分.

1010

法二：

1小时排水比1小时进水多』一,-x4--=—,

351515230

说明8小时以后，水池的水全部排完，并且多排了一池子水的春，

排一池子需要3小时，排一池子水的!需要3x^=4小时，

303010

所以实际需要8-工=72小时=7小时54分.

1010

【答案】7小时54分

【巩固】一项工程，甲、乙合作12g小时可以完成，若第1小时甲做，第2小时乙做，这样交替轮流做，恰

好整数小时做完；若第1小时乙做，第2小时甲做，这样交替轮流做，比上次轮流做要多;小时，

那么这项工作由甲单独做，要用多少小时才能完成？

【考点】工程问题【难度】4星【题型】解答

【解析】若第一种做法的最后一小时是乙做的，那么甲、乙共做了偶数个小时，那么第二种做法中甲、乙用

的时间应与第一种做法相同，不会多1小时，与题意不符.所以第一种做法的最后一小时是甲做的，

3

第二种做法中最后L小时是甲做的，而这1小时之前的一小时是乙做的，所以乙+1甲=甲彳导乙=2

3333

甲.甲、乙工作效率之和为：1+123=3,甲的工作效率为：A^（1+|）=A=-L,

5636336321

所以甲单独做的时间为1+'=21（小时）.

21

【答案】21小时

【例22］甲、乙、丙3队要完成A.8两项工程.8工程的工作量比A工程的工作量多1.甲、乙、丙3

4

队单独完成A工程所需时间分别是20天、24天、30天.为了同时完成这两项工程，先派甲队做A

工程，乙、丙两队共同做8工程；经过几天后，又调丙队与甲队共同完成A工程.那么，丙队与

乙队合作了多少天？

【考点】工程问题【难度】4星【题型】解答

【解析】设4项工程的工程总量为"1",那么B工程的工程总量为3,4B两项工程的工程总量为

4

1+2=2.而甲、乙、丙合作时的工作效率为‘+'+'=',甲、乙、丙始终在同时工作，所

442024308

以两项工程同时完成时所需的时间为9:+上I=18（天）.在这18天，乙完成18x—1=32的工程量，

48244

则8工程中剩下的---=-的工程量是由丙帮助完成，即1+'=15（天）.即丙队与乙队合作了15

442230

天.

【答案】15天

【例23】蓄水池有甲、丙两条进水管和乙、丁两条排水管，要灌满一池水，单开甲管需3小时，单开丙管需

要5小时，要排光一池水，单开乙管需要4小时，单开丁管需要6小时，现在池内有9的水，若按

甲、乙、丙、丁、甲、乙、丙、丁……的顺序轮流打开1小时，问多少时间后水开始溢出水池？

【考点】工程问题【难度】5星【题型】解答

171

【解析】甲乙丙丁顺序循环各开I小时可进水：M+H磊，循环5次后水池还空：-

6-4-

60

抻工作量由甲管注水需要：涓小时），所以经过4x5+2吗小时后水开始溢出水池•

【答案】201

[例24]一件工程甲单独做50小时完成，乙单独做30小时完成.现在甲先做1小时，然后乙做2小时，再

由甲做3小时，接着乙做4小时......两人如此交替工作