高考数学习题及答案 (八)

普通高等学校招生全国统一考试

数学试卷

（满分150分，考试时间120分钟）

一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）

1、函数/（幻=户的定义域是（）

VX+1

A.x<—1或x》lB.x<—1且x21C.x21D.—IWxWl

2、在四棱柱ABCD—AiBCD中，各棱所在直线与棱AAi所在直线成异面直线的有

（）

A.7条B.6条C.5条D.4条

3、下列命题中，正确的是（）

A.平行于同一平面的两条直线平行B.与同一平面成等角的两条直线平行

C.与同一平面成相等二面角的两个平面平行D.若平行平面与同一平面相交，

则交线平行

4、下列通项公式表示的数列为等差数列的是（）

A.a-nB.a=n2-\C.a=5n+（-I）"D.a=3«-1

nn+\nnn

5、若sina=±ae（0,巴），则COS2a等于（）

52

A.—B.C.1D.—

25255

6、把直线y=—2x沿向量3=（2,1）平行，所得直线方程是（）

A.y=—2x+5B.y=—2x—5C.y=—2x+4D.y=—2x—4

7、已知函数/（3x）=log2形手，则f⑴值为（）

A、；B>1C>log275D>2

8.已知圆锥的底面半径为V2,其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为

（）

A.2B.2V2C.4D.4V2

9.下列区间中，函数f（x）=7sin（x-67）单调递增的区间是（)

A.（0,I）B.（三，n）

C.（五，手）D.（亨，2弘）

22

10.已知F1,F2是椭圆C：・+-=1的两个焦点，点M在C上,则|MFj•|MF]

942

的最大值为（）

A.13B.12C.9D.6

11.在如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且包括周界），若使目标函数

z=ax+y（a>0）取最大值的最优解有无穷多个，则a的值等于（）

1

A.3B.1

C.6D.3

/(x)=-4---尸'x<-2N'则广(一1；)

4

12.已知函数[log16(x+3),x>2,的值等于()

16_5

A.2lB.-2C.4D.-4

二、填空题（共4小题，每小题5分；共计20分）

1.某校有初中学生1200人，高中学生900人，老师120人，现用分层抽样方法从

所有师生中抽取一个容量为N的样本进行调查，如果应从高中学生中抽取60人，那

么N=.

2.在经济学中，定义必>(x)=/(x+D-/(x),称必'(x)为函数/*)的边际函数，某企业的一

种产品的利润函数/幻=-/+30》2+1000(xe[10,25]且xeN*),则它的边际函数小甲(x)

=.(注：用多项式表示)

3.已知a，"'分别为aABC的三边，且3。2+3/-3,2+2"=0,则tanC=.

y=logi(x+2);

4.已知下列四个函数：①.2②,=3-2川;③y=l--；④y=3—(x+2)2.其中图

象不经过第一象限的函数有.(注：把你认为符合条件的函数的序号都填上)

三、大题：(满分30分)

1.2016年崇明区政府投资8千万元启动休闲体育新乡村旅游项目.规划从

2017年起，在今后的若干年内，每年继续投资2千万元用于此项目.2016年该

项目的净收入为5百万元，并预测在相当长的年份里，每年的净收入均为上一

年的基础上增长50%.记2016年为第1年，f(n)为第1年至此后第n(n

£N*)年的累计利润(注：含第n年，累计利润=累计净收入-累计投入，单位：

千万元)，且当f(n)为正值时，认为该项目赢利.

(1)试求f(n)的表达式；

(2)根据预测，该项目将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由.

2

2.在平面直角坐标系中，已知椭圆C：号+y2=l(a>0,aWl)的两个焦点分别

a

是F”F2,直线1：y=kx+m(k,m£R)与椭圆交于A,B两点.

(1)若M为椭圆短轴上的一个顶点，且△MFF2是直角三角形，求a的值；

(2)若k=l,且^OAB是以0为直角顶点的直角三角形，求a与m满足的关系；

(3)若a=2,且心・心=-工，求证：AOAB的面积为定值.

4

3.若存在常数k(k>0),使得对定义域D内的任意xi,X2(xi",都有|f(xi)

-f(x2)|Wk|xi-X2I成

立，则称函数f(x)在其定义域D上是“k-利普希兹条件函数”.

(1)若函数f(x)=4，(1WXW4)是“k-利普希兹条件函数”，求常数k

的最小值；

(2)判断函数f(x)=log2X是否是“2-利普希兹条件函数”，若是，请证明，

若不是，请说明理由；

(3)若y=f(x)(xeR)是周期为2的“1-利普希兹条件函数”，证明：对

任意的实数X“X2,都有

If(X1)-f(x2)IWl.

4.点6(2,3),号(-4,5)和A(-1,2),求过点A且与点片，P2距离相等的直线方程.

5.经过点P(2,-l)且与直线3x-2y-6=0平行的直线/的方程.

6.过点P(l,-1)且与直线2x+3y+l=0垂直的直线/的方程.

参考答案：

一、选择题:

1-5题答案:BDDDB

6To题答案:AABAC

11T2题答案:BD

二、填空题：

1、148；

2、-3/+57X+29(xe[10,251且xeN*)(未标定义域扣1分)；

3、-2叵;

4、①，④(多填少填均不给分)

三、大题：

1.2016年崇明区政府投资8千万元启动休闲体育新乡村旅游项目.规划从

2017年起，在今后的若干年内，每年继续投资2千万元用于此项目.2016年该

项目的净收入为5百万元，并预测在相当长的年份里，每年的净收入均为上一

年的基础上增长50%.记2016年为第1年，f(n)为第1年至此后第n(n

£N*)年的累计利润(注：含第n年，累计利润=累计净收入-累计投入，单位：

千万元)，且当f(n)为正值时，认为该项目赢利.

(1)试求f(n)的表达式;

(2)根据预测，该项目将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由.

【解答】解：(1)由题意知，第1年至此后第n(n£N*)年的累计投入为8+2

(n-1)=2n+6(千万元)，

第1年至此后第n(n£N*)年的累计净收入为尹|x2+---+lx

=(y)n-l(千万元).

1年

...f(n)=(-|-)n-l-(2n+6)=(y)n-2n-7(千万元).

n+1

(2)方法一:Vf(n+1)-f(n)=[(-1)-2(n+1)-7]-[(3.)n-2n-7]=1

今一］,

...当nW3时，f(n+1)-f(n)<0,故当nW4时，f(n)递减;

当n24时，f(n+1)-f(n)>0,故当n24时，f(n)递增.

又f(1)=-竽VO,f(7)=(_1)7_2i-5X1-21=-零VO,f(8)=(1-)8-23

光25-23=2>0.

...该项目将从第8年开始并持续赢利.

答：该项目将从2023年开始并持续赢利；

方法二：设f(x)=(半尸-2*-7(x2l),则f'(x)=(■|_)X]n|__2，

令f'(x)=0,W=——i=——y---?——=5,

23In3-ln21.1-0.7

ln2

从而当x£[l,4)时，f'(x)<0,f(x)递减；

当*£(4,+8)时，F(x)>0,f(x)递增.

又f(1)=-竽VO,f(7)=(_1)7_2产5X誉-21=-零VO,f(8)=(_|)8-23

心25-23=2>0.

/.该项目将从第8年开始并持续赢利.

答：该项目将从2023年开始并持续赢利.

2

2.在平面直角坐标系中，已知椭圆C：A_+y2=l(a>0,aWl)的两个焦点分别

a

是F”F2,直线1：y=kx+m(k,m£R)与椭圆交于A,B两点.

(1)若M为椭圆短轴上的一个顶点，且△MFF2是直角三角形，求a的值；

(2)若k=l,且AOAB是以0为直角顶点的直角三角形，求a与m满足的关系;

(3)若a=2,且%・G=-工，求证：^OAB的面积为定值.

4

【解答】解：(1)..5为椭圆短轴上的一个顶点，且△MFF2是直角三角形，

.•.△MFF2为等腰直角三角形,

...OF尸0M,

当a>l时，^a2_1=l,解得a=&,

当0<aV1时，J12=a，解得@=返，

vi-a2

(2)当k=l时;y=x+m,设A(Xi,yi),(x2,y2),

由,x22，即(1+a?)x2+2a2mx+a2m2-a2=0,

—2"+y=1

Xi+X2=-Z.2』

1+a2

J

*.yiy2=(Xi+m)(x2+m)=XiX2+ni(Xi+x2)+m=i5-Z2.

•••AOAB是以0为直角顶点的直角三角形,

OA,OB=O,

.*.XiX2+yiy2=0,

・a211r&2”2七2:0

1+a21+a2

a2m2-a2+m2-a2=0

Am2(a2+l)=2a2,

(3)证明：当a=2时,x2+4y2=4,

设A(x”y])，(x2,y2),

•koA*koB=-—>

yy

••l--.--2=-_-1

Xjx24

•X1X2二-4yly2,

92

由X+4y=4,整理得，(1+41?)x2+8kmx+4m2-4=0.

y=kx+in

8k

/.Xi+x2=-~-->X]X2=41n2-4,

l+4k2l+4k2

22

yiY2=(kxi+m)(kx2+m)=kXiX2+km(xi+x2)+m

=41112k2-4k2+-8k2m2+m2=m27k2,

l+4k2l+4k2l+4k2

222

4in-4--4ym-4kr

l+4k2l+4k2

2m2-4kJi,

64k丸？_16弥2-16

••AB；=4l+k2,yj(X1+x2)

(1+4k2)2l+4k2

=2I----DW4k2+]F2=4717^-7^

V1+k荷厂

VO至Ij直线y=kx+m的品巨离d=7局=，

SAOAB=1IAB|逅

22l+4k2石京l+4k2

3.若存在常数k(k>0),使得对定义域D内的任意xi,X2(xi",都有存(xi)

-f(x2)IWk|Xi-X2I成

立，则称函数f(x)在其定义域D上是“k-利普希兹条件函数”.

(1)若函数f(x)=遥，(10W4)是“k-利普希兹条件函数”，求常数k

的最小值;

(2)判断函数f(x)=log2X是否是“2-利普希兹条件函数”，若是，请证明，

若不是，请说明理由；

(3)若y=f(x)(xeR)是周期为2的“1-利普希兹条件函数”，证明：对

任意的实数Xi,X2,都有

|f(Xi)-f(X2)|Wl.

【解答】解：(1)若函数f(x)=VL(1WXW4)是“k-利普希兹条件函数”，

则对于定义域［1,4］上任意两个Xi,x2(X1WX2)，均有|f(xi)-f(x2)|Wk|xi

-X2|成立,

不妨设x〉X2,贝ijk2&立［下=1r恒成立.

町一乂2Vxl+Vx2

•.•1WX2〈XIW4,

4VX12

.•.k的最小值为1.

2

(2)f(x)=log2X的定义域为(0,+8),

令Xi=L,X2=L,贝！Jf(工)-f(-)=logi-log—=-1-(-2)=1,

24242242

而2|X「X2|=Lf(Xi)-f(x)>2|x-x|,

2212

函数f(x)=log2x不是“2-利普希兹条件函数”.

证明：(3)设f(x)的最大值为M,最小值为m,在一个周期［0,2］内f(a)

=M,f(b)=m,

贝U|f(xi)-f(x2)|WM-m=f(a)-f(b)W|a-b|.

若|a-b|WL显然有|f(Xi)-f(x2)|W|a-b|Wl.

若不妨设a>b,则0Vb+2-aVl,

A|f(xj)-f(X2)|WM-m=f(a)-f(b+2)W|a-b-21Vl.

综上，|f(xi-f(x2)|W1.

4.点6(2,3),6(-4,5)和A(-1,2),求过点A且与点片，尸?距离相等的直线方程•

分析：可以用待定系数法先设出直线方程，再求之；也可从几何意义上考察

这样的直线具有的特征.

解：(法1)设所求直线方程为y-2=k(%+1),即Zx-y+左+2=0,由点打、鸟到

直线的距离相等得：

|2Z-3+%+2|」-4女-5+左+2|

收+iylk2+l

化简得|3左一］=|一3左一3|，贝I有：3左一1=—3左一3或3左一1=3左+3,

即攵=」或方程无解.

3

方程无解表明这样的女不存在，但过点A,所以直线方程为x=-l,它与R,P2

的距离都是3.

.••所求直线方程为y—2=—；*+1)或%=一1.

(法2)设所求直线为/,由于/过点A且与片，鸟距离相等，所以/有两种情况，

如下图：

⑴当6，尸2在/同侧时，有/〃枕，此时可求得/的方程为y-2=*=(x+l),

即y-2=-；(x+l);

⑵当6，尸2在/异侧时，/必过匕鸟中点(T，4)，止匕时/的方程为x=-1.

.••所求直线的方程为y—2=—；(x+l)或x=T.

说明：该题如果用待定系数法解易漏掉x=-l,即斜率不存在的情况.所以无

论解什么题目，只要图形容易画出，就应结合图形，用代数法、几何法配合来解.

5.经过点尸(2,-1)且与直线3%-2广6=0平行的直线/的方程.

分析：已知直线/与直线3x-2y-6=0平行，故/的斜率可求，又/过已知点P,

利用点斜式可得到/的方程.另外由于/与已知直线平行，利用平行直线系方程,