初中数学竞赛标准教程及练习15：乘法公式

初中数学竞赛精品标准教程及练习(15)

乘法公式

一、内容提要

乘法公式也叫做简乘公式，就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结，直接应用。

公式中的每一个字母，一般可以表示数字、单项式、多项式，有的还可以推广到分式、

根式。

公式的应用不仅可从左到右的顺用(乘法展开)，还可以由右到左逆用(因式分解)，还

要记住一些重要的变形及其逆运算一一除法等。

基本公式就是最常用、最基磁的公式，并且可以由此而推导出其他公式。

完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+f,

平方差公式：(a+b)(a—b)=a2—b2

立方和(差)公式：(a土b)(a?干ab+b2)=a3±t>3

3.公式的推广：

多项式平方公式：(a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd

即：多项式平方等于各项平方和加上每两项积的2倍。

二项式定理：(a±b)3=a3±3a2b+3ab?土I?

(a±b)4=a4±4a3b+6a2b2±4ab3+b4)

(a±b)5=a5±5a4b+10a3b2±10a2b3+5ab4±b5)

注意观察右边展开式的项数、指数、系数、符号的规律

由平方差、立方和(差)公式引伸的公式

(a+b)(a3—a2b+ab2—b3)=a4—b4

(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)=a5+b5

(a+b)(a5—a4b+a3b2—a2b3+ab4—b5)=a6—b6

注意观察左边第二个因式的项数、指数、系数、符号的规律

在正整数指数的条件下，可归纳如下：设n为正整数

(a+b)(a2n-1-a2n-2b+a2n_3b2---1-ab2n-2-b2n_1)=a2n-b2n

(a+b)(a2n-a2n_1b+a2n_2b2-----ab2n-1+b2n)=a2n+1+b2n+I

类似地：

(a—b)(a11l+all-2b+an3b2+"-+abn2+bn')=an—bn

公式的变形及其逆运算

由(a+b)2=a2+2ab+b?得a2+b2=(a+b)2—2ab

由(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b)得a3+b3=(a+b)3—3ab(a+b)

由公式的推广③可知：当n为正整数时

a。一9能被a-b整除，

a2n+l+b2n+l能被a+b整除，

22」62。能被2+1,及2—1)整除。

二、例题

例1.己知x+y=axy=b

求①x2+y2②x3+y3③x'+y，©x5+y5

解：@x2+y2=(x+y)2—2xy=a2—2b

②x3+y3=(x+y/—3xy(x+y)=a3—3ab

(§)x4+y4=(x+y)4—4xy(x2+y2)—6x2y2=a4—4a2b+2b2

④x$+y5=(x+y)(x4—x3y+x2y2—xy3+y4)

=(x+y)[x4+y4—xy(x2+y2)+x2y2]

=a[a4-4a2b+2b2-b(a2-2b)+b2]

=a5-5a3b+5ab2

例2.求证：四个速续整数的积加上1的和，一定是整数的平方。

证明：设这四个数分别为a,a+l,a+2,a+3(a为整数)

a(a+l)(a+2)(a+3)+1=a(a+3)(a+l)(a+2)+1=(a2+3a)(a2+3a+2)+1

=(a2+3a)2+2(a2+3a)+l=(a2+3a+1)2

Ya是整数，整数的和、差、积、商也是整数

.,.a2+3a+l是整数证毕

例3.求证：2222+31能被7整除

证明：2222+3”】=(22)|11+3111=4|11+3111

根据a2n+「b2e能被a+b整除，(见内容提要4)

.•.4IU+3E能被4+3整除

•••2222+3川能被7整除

例4.由完全平方公式推导“个位数字为5的两位数的平方数”的计算规律解：

(1Oa+5)2=100a2+2XIOaX5+25=1OOa(a+1)+25

•••"个位数字为5的两位数的平方数”的特点是：幕的末两位数字是底数个位数字5

的平方，某的百位以上的数字是底数十位上数字乘以比它大1的数的积。

如：6=225塞的百位上的数字2=1X2),25?=625(6=2X3),

352=1225(12=3X4)452=2025(20=4X5)

三、练习15

1.填空:

@a2+b2=(a+b)2_②(a+b)2=(a—b)2+___

@a3+b3=(a+b)3-3ab(—)©a4+b4=(a2+b2)2-

，⑤a5+b5=(a+b)(a4+t)4)—@a5+b5=(a2+b2)(a3+b3)-

2.填空：

®(x+y)()=x4—y4②(x-y)()=x4—y4

③(x+y)()=x5+y5(4)(x—y)()=x5—y5

3.计算:

①552=②6$2=③75?=④852=⑤95?=

4.计算下列各题，你发现什么规律

⑥11X19=⑦22X28=⑧34X36=⑨43X47=⑩76X74=

5..已知X+，=3,求①x2+[②X3+A③X4+A的值

XXX

6.化简：①(a+b)2(a—b)2

(§)(a+b)(a2—ab+b2)

③(a—b)((a+b)3—2ab(a2—b2)

④(a+b+c)(a+b—c)(a—b+c)(—a+b+c)

7.己知a+b=l,求证：a3+b3—3ab=l

8.己知a2=a+l,求代数式a5—5a+2的值

9求证:233+1能被9整除

10.求证：两个连续整数的积加上其中较大的一个数的和等于较大的数

的平方

11.如图三个小圆圆心都在大圆的直径上，它们一一

的直径分别是a,b,c/\

①求证：三个小圆周长的和等于大圆的周长片

②求：大圆面积减去三个小圆面积和的差。卜—4廿卡C

练习15参考答案：

4.十位上的数字相同，个位数的和为10的两个两位数相乘，其积的末两位数是两个个位

数字的积，积的百位以上的数是，原十位上数字乘上比它大1的数的积

10.n(n+1)+(n+1)=(n+1)2

11.①可证明3个小圆周长的和减去大圆周长，其差等于0

②一(ab+ac+bc)

2

1.列一元一次方程解应用题的一般步骤

(1)审题：弄清题意.

(2)找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系.

(3)设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母

的式子，然后利用已找出的等量关系列出方程.

(4)解方程：解所列的方程，求出未知数的值.

(5)检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，

是否符合实际，检验后写出答案.

2.和差倍分问题：增长量=原有量X增长率现在量

=原有量+增长量

3.等积变形问题：常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，

依据形虽变，但体积不变.

①圆柱体的体积公式V=底面积X高=S•h=^r2h

②长方体的体积丫=长><宽义高=abc

4.数字问题

一般可设个位数字为a,十位数字为b,百位数字为c.十位数

可表示为10b+a,百位数可表示为100c+10b+a.

然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程.

5.市场经济问题

(1)商品利润=商品售价一商品成本价(2)商品利润率=

商品利润

X100%

商品成本价

(3)商品销售额=商品销售价X商品销售量

(4)商品的销售利润=(销售价一成本价)义销售量

(5)商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打

8折出售，即按原标价的80%出售.

6.行程问题：路程=速度X时间时间=路程+速度速度=路

程小时间

(1)相遇问题：快行距+慢行距=原距

(2)追及问题：快行距一慢行距=原距

(3)航行问题：顺水(风)速度=静水(风)速度+水流(风)

速度

逆水（风）速度=静水（风）速度一水流（风）

速度

抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考

虑相等关系.

7.工程问题：工作量=工作效率X工作时间

完成某项任务的各工作量的和=总工作量=1

8.储蓄问题

利润=每个期的利息X100%利息=本金义利率义期数

本金

实际问题与二元一次方程组题型归纳（练习题答案）

类型一：列二元一次方程组解决一一行程问题

【变式1】甲、乙两人相距36千米，相向而行，如果甲比乙先走2小时，

那么他们在乙出发2.5小时后相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出

发3小时后相遇，甲、乙两人每小时各走多少千米？

解：设甲，乙速度分别为x,y千米/时，依题意得：

（2.5+2）x+2.5y=36

3x+（3+2）y=36

解得：x=6,y=3.6

答：甲的速度是6千米/每小时，乙的速度是3.6千米/每小时。

【变式2】两地相距280千米，一艘船在其间航行，顺流用14小时，逆流用

20小时，求船在静水中的速度和水流速度。

解：设这艘轮船在静水中的速度x千米/小时，则水流速度y千米/小时，有：

20（x-y）=280

14（x+y）=280

解得：x=17,y=3

答：这艘轮船在静水中的速度17千米/小时、水流速度3千米/小时，

类型二：列二元一次方程组解决一一工程问题

【变式】小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作6周完成需工钱5.2

万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周完成，需工钱4.8万元.若

只选一个公司单独完成，从节约开支的角度考虑，小明家应选甲公司还是乙公司？请你说

明理由.

解：

设甲、乙两公司每周完成工程的x和y,则

'1X=—

£得，10故1-2-=10（周）11+工=15周

“c,11015

,4x+9,=ly=—

即甲、乙完成这项工程分别需10周，15周

又设需付甲、乙每周的工钱分别为3元，b万元则

'_3

（6a+6b=5.2a~§[10a=6（万元）

l得,此时|'一^一

14a+96=4.8_411%=4②兀）

,15

比较知，从节约开支角度考虑，选乙公司划算

类型三：列二元一次方程组解决一一商品销售利润问题

【变式1]（2011湖南衡阳）李大叔去年承包了10亩地种植甲、乙两种蔬菜，

共获利18000元，其中甲种蔬菜每亩获利2000元，乙种蔬菜每亩获利1500元,

李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩？

解：设甲、乙两种蔬菜各种植了x、y亩，依题意得：

①x+y=10

②2000x+1500y=18000

解得：x=6,y=4

答：李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了6亩、4亩

【变式2】某商场用36万元购进A、B两种商品，销售完后共获利6万元，其进价和售价

如下表：

AB

进价（元/件）12001000

售价（元/件）13801200

（注：获利=售价一进价）求该商场购进A、B两种商品各多少件;

解：设购进A的数量为x件、购进B的数量为y件，依据题意列方程组

1200x+1000y=360000

(1380-1200)x+(1200-1000)y=60000

解得x=200,y=120

答：略

类型四：列二元一次方程组解决一一银行储蓄问题

【变式2】小敏的爸爸为了给她筹备上高中的费用，在银行同时用两种方式共

存了4000元钱.第一种，一年期整存整取，共反复存了3次，每次存款数都相

同，这种存款银行利率为年息2.25%；第二种，三年期整存整取，这种存款银行

年利率为2.70%.三年后同时取出共得利息303.75元（不计利息税），问小敏的爸

爸两种存款各存入了多少元？

解：设x为第一种存款的方式，丫第二种方式存款，则

X+Y=4000

X*2.25%*3+Y*2.7%*3=303.75

解得：X=1500,Y=2500»

答：略。

类型五：列二元一次方程组解决一一生产中的配套问题

【变式1】现有190张铁皮做盒子，每张铁皮做8个盒身或22个盒底，一个盒身与

两个盒底配成一个完整盒子，问用多少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底，可以正好制成

一批完整的盒子？

解：设x张做盒身，y张做盒底，则有盒身8x个，盒底22y个

x+y=190

8x=22y/2

解得x=110,y=80

即110张做盒身，80张做盒底

【变式2]某工厂有工人60人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的配套产品,

每人每天生产螺栓14个或螺母20个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺

母，才能使生产出的螺栓和螺母刚好配套。

解：设生产螺栓的工人为x人，生产螺母的工人为v人

x+y=60

28x=20y

解得x=25,y=35

答：略

【变式3]一张方桌由1个桌面、4条桌腿组成，如果1立方米木料可以做

桌面50个，或做桌腿300条。现有5立方米的木料，那么用多少立方米木料做

桌面，用多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿，恰好配成方桌？能配多少

张方桌？

解：设用X立方米做桌面，用丫立方米做桌腿

X+Y=5.........................(1)

50X：300Y=1：4.......................(2)

解得：Y=2,X=5-2=3

答：用3立方米做桌面，2立方米的木料做桌腿。

类型六：列二元一次方程组解决一一增长率问题

【变式2】某城市现有人口42万，估计一年后城镇人口增加0.8%,农村人

口增加1.1%,这样全市人口增加1%,求这个城市的城镇人口与农村人口。

解：设该城市现在的城镇人口有x万人，农村人口有y万人。

x+y=42

0.8%xX+l.l%xY=42x1%

解这个方程组，得：x=14,y=28

答：该市现在的城镇人口有14万人，农村人口有28万人。

类型七：列二元一次方程组解决一一和差倍分问题

【变式1】略

【变式2】游泳池中有一群小朋友，男孩戴蓝色游泳帽，女孩戴红色游泳帽。

如果每位男孩看到蓝色与红色的游泳帽一样多，而每位女孩看到蓝色的游泳帽比

红色的多1倍，你知道男孩与女孩各有多少人吗？

解：设：男有X人，女有丫人，则

X-1=Y

2(Y-1)=X

解得：x=4,y=3

答：略

类型八：列二元一次方程组解决一一数字问题

【变式1】一个两位数，减去它的各位数字之和的3倍，结果是23；这个两位数除以

它的各位数字之和，商是5,余数是1,这个两位数是多少？

解：设这个两位数十位数是x,个位数是y,则这个数是(10x+y)

10x+y-3(x+y)=23(1)

10x+y=5(x+y)+1(2)

由(1),(2)得

7x-2y=23

5x-4y=1

解得：x=5

y=6

答：这个两位数是56

【变式2】一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大5,如果把十位上的数字与个

位上的数字交换位置，那么得到的新两位数比原来的两位数的一半还少9,求这个两位数？

解：设个位X,十位Y,有

X-Y=5

(10X+Y)+(10+X)=143

即

X-Y=5

X+Y=13

解得：X=9,Y=4

这个数就是49

【变式3】某三位数，中间数字为0,其余两个数位上数字之和是9,如果百位

数字减b个位数字加1,则所得新三位数正好是原三位数各位数字的倒序排列,

求原三位数。

解：设原数百位是x,个位是y那么

x+y=9

x-y=1

两式相加得到2x=10=>x=5=>y=5-1=4

所以原数是504

类型九：列二元一次方程组解决一一浓度问题

【变式1】要配浓度是45%的盐水12千克，现有10%的盐水与85%的盐水，这两种盐水

各需多少？

解：设10%的X克，85%的Y克

X+Y=12

X*10%+Y*85%=12*45%

即:X+Y=12

X+8.5Y=54

解得：Y=5.6

答：略

【变式2]一种35%的新农药，如稀释到1.75%时，治虫最有效。用多少千克浓度为35%

的农药加水多少千克，才能配成1.75%的农药800千克？

解：800千克1.75%的农药中含纯农药的质量为800x1.75%=14千克

含14千克纯农药的35%的农药质量为14+35%=40千克

由40千克农药稀释为800千克农药应加水的质量为800-40=760千克

答：用40F克浓度为35%的农药添加760千克的水，才能配成浓度为1.75%的农药

800千克。

类型十：列二元一次方程组解决一一几何问题

【变式1】用长48厘米的铁丝弯成一个矩形，若将此矩形的长

边剪掉3厘米，补到较短边上去，则得到一个正方形，求正方形

的面积比矩形面积大多少？

解：设长方形的长宽分别为x和y厘米，则

2(x+y)=48

x-3=y+3

解得：x=15,y=9

正方形的面积比矩形面积大

(x-3)(y+3)-xy=(15-3)(9+3)-15*9=144-135=9(cm2)

答：略

【变式2】一块矩形草坪的长比宽的2倍多10m,它的周长是132m,则长和宽分别为多少？

解：设草坪的长为XIE，宽为则

⑵+10=xly=y

所以宽和长分别为竽m、-y-m.

类型十一：列二元一次方程组解决一一年龄问题

【变式1】今年，小李的年龄是他爷爷的五分之一.小李发现，12年之后,

他的年龄变成爷爷的三分之一.试求出今年小李的年龄.

解：设小李X岁，爷爷Y岁，则

5X=Y

3(X+12)=Y+12

两式联立解得：X=12Y=60

所以小李今年12岁，爷爷今年60岁。

类型十二：列二元一次方程组解决一一优化方案问题:

【变式】某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机，已知厂家生产三种不同

型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元。

(1)若商场同时购进其中两种不同型号的电视机50台，用去9万元，请你研究一下商

场的进货方案；

(2)若商场销售一台甲、乙、丙电视机分别可获利150元、200元、250元，在以上的

方案中，为使获利最多，你选择哪种进货方案？

解：（1）分情况计算：设购进甲种电视机X台,乙种电视机y台，丙种电视机Z台.

x-Fjr=50,r=25,

{】500x+2100y=90000解得b=25.

x+z=50,x=35,

{】500日2500,=90000一解得&=15一

jy+z=50,b=875

（IQ）购进乙、丙两种电视机1210°"2500z=90000解得-375（不合实际，舍去）

故商场进货方案为购进甲种25台和乙种25台；或购进甲种35台和丙种15台.

（2）按方案（I），获利150x25+200x25=8750（元）;

按方案（II）,获利150x35+250xl5=9000（元）.

，选择购进甲种35台和丙种15台.

三、列方程解应用题

1.将一批工业最新动态信息输入管理储存网络，甲独做需6小时，乙独做需4小时，甲先

做30分钟，然后甲、乙一起做，则甲、乙一起做还需多少小时才能完成工作？

2.兄弟二人今年分别为15岁和9岁，多少年后兄的年龄是弟的年龄的2倍?

3.将一个装满水的内部长、宽、高分别为300毫米，300毫米和80毫米的长方体铁盒中的

水，倒入一个内径为200毫米的圆柱形水桶中，正好倒满，求圆柱形水桶的高（精确到

0.1毫米,14）.

4.有一火车以每分钟600米的速度要过完第一、第二两座铁桥，过第二铁桥比过第一铁桥

需多5秒，又知第二铁桥的长度比第一铁桥长度的2倍短50米，试求各铁桥的长.

5.有某种三色冰淇淋50克，咖啡色、红色和白色配料的比是2：3：5,这种三色冰淇淋

中咖啡色、红色和白色配料分别是多少克？

6.某车间有16名工人，每人每天可加工甲种零件5个或乙种零件4个.在这16名工人中,

一部分人加工甲种零件，其余的加工乙种零件.已知每加工一个甲种零件可获利16元,

每加工一个乙种零件可获利24元.若此车间一共获利1440元，求这一天有几个工人加

工甲种零件.

7.某地区居民生活用电基本价格为每千瓦时0.40元，若每月用电量超过a千瓦时，则超过

部分按基本电价的70%收费.

(1)某户八月份用电84千瓦时，共交电费30.72元，求a.

(2)若该用户九月份的平均电费为0.36元，则九月份共用电多少千瓦？应交电费是

多少元？

8.某家电商场计划用9万元从生产厂家购进50台电视机.已知该厂家生产3种不同型号

的电视机，出厂价分别为A种每台1500元，B种每台2100元，C种每台2500元.

(1)若家电商场同时购进两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，请你研究一下

商场的进货方案.

(2)若商场销售一台A种电视机可获利150元，销售一台B种电视机可获利200元，

销售一台C种电视机可获利250元，在同时购进两种不同型号的电视机方案中，为了使销

售时获利最多，你选择哪种方案？

答案

1.解：设甲、乙一起做还需x小时才能完成工作.

根据题意，得一X—+(--1--)X-1

6264

解这个方程，得乂=”

y=2小时12分

答：甲、乙一起做还需2小时12分才能完成工作.

2.解：设x年后，兄的年龄是弟的年龄的2倍，

则x年后兄的年龄是15+x,弟的年龄是9+x.

由题意，得2X(9+x)=15+x

18+2x=15+x,2x-x=15-18

x=-3

答：3年前兄的年龄是弟的年龄的2倍.

(点拨：-3年的意义，并不是没有意义，而是指以今年为起点前的3年，是与3年后

具有相反意义的量)

3.解：设圆柱形水桶的高为x毫米，依题意，得

7T•(——200)\2=300X300X80

2

X心229.3

答：圆柱形水桶的高约为229.3毫米.

4.解：设第一铁桥的长为x米，那么第二铁桥的长为(2x-50)米，过完第一铁桥所需的

过完第二铁桥所需的时间为丁2r—手50分.依题意，可列出方程-v^7+—5=2"r——5?0