高中不等式知识点

一、不等式知识点

1.不等式与不等关系

两实数之间有且只有以下三个大小关系之一：a>b;a<b;a=b；

a>boa-b>0a<boa-h<0-,a=b<^>a-h=O.

不等式的性质：

(1)对称性:a>bob<a,a<boh>a

(2)传递性：>c=>,a>c

(3)可力口性：〃>/?=.a-i-ob+c

移项法则：a+/?>coa>c-b

推论：同向不等式可加.a>h,c>da+c>h+d

(4)可乘性：a>Z7,c>0=>ac>Z?c,<2>Z?,c<0=>ac<be

推论1：同向(正)可乘：a>h>O,c>d>0^>ac>hd

推论2：可乘方(正)：〃>方>0nan>bn'(〃wN*,〃22)

(5)可开方(正)：a>8>()=标〉物(neN\n>2)

2.一元二次不等式ax2+Zzx+c>0(a>0)与相应的函数y=ax2+bx+c(a>0)、相

应的方程依2+Ax+c=0(a>0)之间的关系：

1

2*

ax+"+c>0VX］或¥>/}h

X"-->----R

(a>0)的解集2a

ax2++c<0

{小］<x<x2)00

(a>0)的解集

3.一元二次不等式恒成立情况小结:

a>0

ax24-/?x4-c>0(awO)恒成立<=>，

A<0

a<0

ax2-\-bx+c<Q(〃w0)恒成立

A<0

4.一般地，直线丁=依+匕把平面分成两个区域(如图)：

y>依+〃表示直线上方的平面区域；y<"+人表示直线下方的平面区域.

说明：(1)y2"+Z?表示直线及直线上方的平面区域；

y<依+人表示直线及直线下方的平面区域.

(2)对于不含边界的区域，要将边界画成虚线.

5.基本不等式：

(1).如果a,8eR,那么。2+Z?2n2。/?.

(2).病4%，(4>0力>0).(当且仅当a=b时取"=")

二.例题与练习

例1.解下列不等式：

(1)%?—7x+12>0；(2)—%?—2x+320；

(3)x?—2x+l<0；(4)£—2x+2<0.

2

练习1.（1）解不等式工4<0；（若改为二Cwo呢？）

x+7x+7

?r-3

（2）解不等式三」<1；

x+7

例2.已知关于x的不等式x2-mx+n<0的解集是“|一5«x<1｝,求实数m,n之值.

练习2.已知不等式ax?+Z?x+c>0的解集为｛x[2<x<3｝求不等式ex?一法+。>0

的解集.

x-4y<-3

例3.设z=2x+y,式中变量满足条件<3x+5y<25,求z的最大值和最小值.

x>\

3

x-^y<-3

练习3.设z=6x+10y,式中x,y满足条件<3x+5y<25,求z的最大值和最小值.

x>\

例4.若>0,且x+2y=1,求，+工的最小值。

xy

三、课后作业

1.如果。<0/>0,那么，下列不等式中正确的是()

(A)—<—(B)N-a<\fb(C)a~<.h"(D)\u|>|h\

ab

2.不等式,〈工的解集是()

x2

A.(-oo,2)B.(2,+oo)C.(0,2)D.(—oo,0)u(2,+oo)

3.若a、b、CGR,a>b,则下列不等式成立的是()

(A)(B)a2>b2.(C)—.(D)a\c\>b\c\.

ahc2+1c2+1

4.若a,6,c>0且a(a+Z^c)+6c=4-26,则2a+〃"C的最小值为()

(A)V3-1(B)V3+1(C)26+2(D)2V3-2

1-2r

5.不等式一20的解集是.

x+1

x+y-3>0

x+2y—5(0

6.已知实数苍y满足/，则y—2x的最大值是_________.

x>0

y>0

4

7.设函数/(x)=lg(2x-3)的定义域为集合M,函数g。)的定义域为集

合N.求：(1)集合M,N：(2)集合MflN,MUN.

8.若》＞一1,则x为何值时x+」一有最小值，最小值为多少？

X+1

5

高一数学必修5不等式与不等关系专题练习

一、选择题

1.已知a,b,cCR,下列命题中正确的是

A^a>b^>ac1>be2B、ac2>he2=>a>h

C、a3>b3^-<-D>a2>h2=>a>\b\

ab

2.设a,b£R,且aWb,a+b=2,则下列不等式成立的是)

A、l<ab<3

B、

22

2222

「,a+ba+b

C、ab<---------<11D、---------<ab<l

22

3.二次方程/+（片+l）x+。-2=0,有一个根比1大，另一个根比-1小，则a的取值范

围是()

A.—3<a<1B.-2<a<0C.-1<6Z<0D.()<a<2

4.下列各函数中,最小值为2的是)

11

A.y=x+—B.y=sinx+,xe(0,—)

xsinx2

X2+3n2,

C.yID・

/x2+2

5.已知函数y=a?+Ax+c（a/0）的图象经过点（一1,3）和（1,1）两点，若0<c<1,则a

的取值范围是（）

A.（1,3）B.（1,2）C.[2,3)D.[1,3]

y>x-\

6.不等式组《的区域面积是)

'y<-3|x|+l

1B.2,

A.-D.1

22

Q1

7、已知正数X、y满足2+±=1,则x+2y的最小值是（）

%y

A.18B.16C.8D.10

8.已知不等式ax2-5x+h>0的解集为{x|-3<x<2},则不等式芯2_5x+a>0的解集

为

A-11

A^{x—<xv一B->{x|x<—>—}

3232

C、{x|-3<x<2}D、{%|%<-3或%〉2}()

二、填空题

9.不等式1-二2%^>0的解集是

x+1

6

10.已知x>2,贝0=x+—!—的最小值是___________.

x—2

a

11.对于任意实数X,不等式2依2+依一±<0恒成立，则实数4的取值范围是

8

12、设x,y满足x+4y=40,且x,ywR+,则1gx+1gy的最大值是。

三、解答题

13.解不等式—4<—一》—3<一2

22

x+y-3<0

14.已知不、渊足不等式，x-y+3>0,求z=3x+yfi勺最大值与最小值。

y>-1

4-

3

2

-4-3-2-101234x

-1

一3一