高中：2023届余杭高级中学高三年级下册周练10,答案

2023届余杭高级中学高三下周练（10）班级—姓名_______

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1,复数z满足（1+31”=",则（

)

12

B.——C.D.

1053

【答案】A

【解析】

31

【分析】应用复数相等及除法运算得z=-而-右i,进而求模.

ii(l-3i)i+331.

【详解】由题设zl+3i-一(1+3。(1—3i)-ICT10-10H

所以IW=J（-新+（-#=噜

故选：A

Rlog2^<o|,则集合(々A)cB=(

2.设集合4=(0,3),8=<XG)

A.(f0]U[3,4]B.(-oo,0]_[3,+oo)

C.(-oo,4]D.[3,4]

【答案】D

【解析】

【分析】先化简B,再求出冬入，进而利用交集概念求出结果即可.

【详解】解：因为8log2；W0>={x[0<x«4},

因为A=（0,3）,所以4A=,

所以(々A)c3=[3,4].

故选：D

3.将6个人（含甲乙两人）平均分成3组，则甲乙不在同一组的概率为（)

1414

A.—B.-C.一D.

155515

【答案】C

【解析】

【分析】由组合数求出6人任意分组、甲乙在同一组的分法，应用古典概率的求法求概率即可.

C；c氾种分法，其中甲乙在同一组的情况有冬种,

【详解】由题意,6人任意分组共有

A；

c沮A；=114

所以甲乙在同一组的概率为故甲乙不在同一组的概率为=

C：C：C；A；5

故选：C

4.“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点，必在

一个与椭圆同心的圆上.称此圆为该椭圆的“蒙日圆”，该圆由法国数学家加斯帕尔•蒙日（1746T818）最先

2

发现，已知长方形R的四条边均与椭圆C:会+;/=1相切，则长方形/?的面积的最大值为（）

A.9B.8C.6D.3

【答案】B

【解析】

【分析】根据所有的长方形在一个同心圆上，结合椭圆方程得圆的方程为/+;/=4,设圆心与长方形中

相邻的两个顶点的两条射线夹角大小为6e（0,2,则长方形S=8sin6,即可得最大值.

【详解】由题意，任意一个长方形R的四个顶点都在一个同心圆上，

则该圆的方程为f+V=〃+〃=4,即半径为厂=2,

若圆心与长方形中相邻的两个顶点的两条射线夹角大小为6e（0,兀），

Ic7T

则长方形面积S=4xgx/sin6=8sin。，当。时5n1ax=8.

故选：B

5.在中，E为4C上一点，AC=3AE,P为线段班上任一点（不含端点），若AP=xAB+yAC,则

13

一+一的最小值是（）

x）'

A.8B.10C.13D.16

【答案】D

【解析】

1319

【分析】由题设A一P=一2A/，+(l-/l一)AE且0<2<1,进而可得《产1—4,将目标式化为一+—=：+1=

y=------XyAI-A.

结合基本不等式“1”的代换求最小值，注意等号成立条件.

【详解】由题意，如下示意图知：AP=AAB+(1-A)AE,且又AC=3AE，

B

4E。

x=A

1-A

所以AP=/IA8+——AC,故《1—4且OvXvl,

3y=----

I3

,.1319cq1—A9411—A-

故Jy=%z+1-产+(ii+Jl-产l°+2j。6,

1-A

1-2o；1

仅当——=——,即4=—时等号成立.

21-24

13

所以一+一的最小值是16.

xy

故选：D

6.已知函数/(x)=sin((yx+E3>0)在(0,g上单调递增，在(二2兀1

上单调递减，则“X)的一个

对称中心可以为()

DJ号,0)

A.加B.卜利。倍可

【答案】B

【解析】

2兀=1,周期TN,，

【分析】由条件可知/由此可求0,再由正弦函数性质求其对称中心.

【详解】因为函数/（x）=sin"+V在（0母上单调递增，在［叶，兀上单调递减,

所以/用=1且T吟，

2兀JTTT27147c

所以---<y+—=2E+—eZ,—,又。>0,

362I画3

13

所以。=3%+—,0<d?<—,

22

।（［兀、

所以0=-，故/（x）=sin-X+-J,

2\26；

由一x+一二nrn.meZ,可得x=---，

263

取加=0,可得x=—三，又/（—1］=°,

所以［一（，°］是函数/（力一个对称中心.

故选：B.

7.已知数列｛。,,｝满足：卬=,，*=（〃+］；：［+］）（〃wN）数列｛勿｝满足：々=2〃2,若［可表示

不超过x的最大整数（例如—1.1］=—2）,则［磔2］+&4］++［aAo］=（）

A.26B.25C.23D.21

【答案】D

【解析】

111

【分析】根据已知递推关系可得:---------=11,结合等差数列通项公式得4=二~进而确定

4也用的通项公式，根据新定义求目标式的值.

【详解】由题设，」一=（〃+1）（1+」一）]1,1

整理得­=1,而—=2

4M叫5+1)%na„lx

,1,11

所以｛——｝是首项为2,公差为1的等差数列，故一=〃+1,则%=二一

nannann(n+1)

又h=2/，故a也+|=2=2(1+-)，

n卢'

n(n+\)n

所以[a也]+[/4]++p^10]=[2x(l+l)]+[2x(l+l)]+...+[2x(l+l)l)=21.

故选：D

8.若函数/(x)=e'-2成一2Hnx+办2有两个不同的零点，则实数a的取值范围是()

A.(f-e)B.(-00,-e]

C.(-e,0)D.\/e,oj

【答案】A

【解析】

QX2-21nxx2-2lnx

【分析】将问题转化为函数y=-。与)，=-------图象有两个不同的交点，根据换元法将函数y=f------

x2-2\nxx2-2\nx

转化为g(f)=，，利用导数讨论函数的单调性求出函数的值域，进而得出参数的取值范围.

【详解】函数的定义域为(0,+8),

/(x)=er-2lnr-2alnx+ax2=ex?~2,nx4-(x2-2In,

h(x)=x2-2Inx(x>0)，则〃'(x)=—2=2(x+l)(xD,

xx

令hf(x)>0=>x>1,令hf(x)vOnOvxvl,

所以函数〃(x)在(0,1)上单调递减，在。,行)上单调递增，且〃。)二1,

所以〃(X)min=〃(l)=l，所以/X)N1,

函数〃力有两个不同的零点等价于方程/。)=0有两个不同的解，

/—2ln.r

则e.21nx+a(炉一21nx)=0=>一〃=:------,

')x2-21nx

.x2-2Jnx

等价于函数y=-。与)，=-4------图象有两个不同的交点.

x2-21nx

令f-21nx=r，g⑺=7J〉1,

p

则函数y=—。与g（，）=匕,f>1图象有一个交点，

则g'（>宁=竽>。，

所以函数g（f）在（1,"。）上单调递增，

所以g（/）>g（l）=e,

且，趋向于正无穷时，8（。=亍趋向于正无穷，

所以一a>e,解得a<-e.

故选：A.

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是

符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下列命题中，说法正确的是（）

A.已知《N（0,l）,若P（J>D=p,则P（—lwg<0）=g_p

B.若从小到大排列的一组数据为24,27,28,37,40,42,46,48,50,52.则这组数据的第25百分位数与第60

7

百分位数的比值为五

C.若A5两个事件独立，那么P（A_B）=P（A）+P（B）

1__n1

D.若P（AB）=§,P（X）=§,P⑻=§，则事件A与事件B相互独立

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据正态分布密度曲线的性质判断A,根据百分位数的定义求这组数据的第25百分位数与第60

百分数，由此判断B,通过举例判断C,根据独立事件的概率公式判断D.

【详解】对于A：因为JN（0,l）,

所以P（JZ0）=；,又PC>1）=〃，

所以「（OWj41）=g-〃，

由对称性可得P（-14gw0）=；-p,A正确；

对于B：由已知样本数据中有10个数，

又10x25%=2.5,10x6（）%=6,

42+46

所以样本数据的第25百分位数为28,第60百分位数为------=44,

2

7

所以这组数据的第25百分位数与第60百分位数的比值为打，B正确；

对于C：举例如下：

分别抛掷两枚质地均匀的硬币，

设A="第一枚硬币正面朝上"，B="第二枚硬币正面朝上”，

则P（A）=P（5）=—,P（AB）=-,尸（A8）=.,

所以A,8两个事件独立，但是尸（A6）/P（A）+P（B）,C错误；

因为产（入）=|,所以尸（A）=l—1=；,

又「（A6）=",P（B）=/

所以尸（AB）=P（A）P（B）,

所以事件A与事件B相互独立，D正确.

故选：ABD.

10.已知函数/（x）=x+2-ln（如），则下列说法正确的是（）

A.当机＞0时，函数/（x）的图象在点（2,/⑵）处的切线的斜率为g

B.当加=1时，〃x）＞0恒成立

C.当加=1时，/（e）在（0,+8）上单调递增

D.当施=e时,f（x）=0有两个零点

【答案】ABC

【解析】

【分析】由题设得/'（x）=l-4且＞0,根据各项参数，〃的范围或取值，研究/（X）的单调性、最值和零

X

点判断正误即可.

【详解】由题设f（x）=l—L且〃a＞0,

X

A：当机＞0时xe（0,+8）,则/（2）=g,故/*）的图象在点（2,/（2））处的切线的斜率为正确；

B、C：加=1时XG(O,+«)),则(0,1)上/'(x)<0,/(X)递减，(1,4W)上r(x)>0,Bx)递增,

所以f(x)N/⑴=3>O,B正确；

/=6、在(。,+8)上递增，又/(f)在te(l,+。)上递增，故/(e)在(0,+8)上单调递增，c正确；

D：m=e时有/(x)=x+l—Inx,同上分析知：/(%)(0,1)上递减，(1,+8)上递增，

所以J(x)W〃l)=2>0,故/3无零点,错误.

故选：ABC

11.已知4目,%),3(%2，%)是圆O：/+y2=3上的两点，则下列结论中正确的是()

A.若点。到直线AB的距离为a，则|AB|=1

B.若直线A8的方程为乙一丁+1-左=0,则圆心到直线距离的最大值为

C.再%2+%%的最小值为一3

D.若=则(为+/)2+(0+%)2的值为6

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据几何法求圆的弦长判断A,判断直线AB的定点，从而将圆心到直线AB距离的最大值转化为

圆心到点(1,1)的距离求解判断B,利用数量积的定义求解Q4-O8的最小值，即可判断C,求解向量

\OA+OB^,即可得(％+々)2+(凶+%)2的值，判断D.

【详解】对A,由题意，圆。的半径为G，且点。到直线A6的距离为0，

所以|AB|=2](6)-(V5)=2>故A错误；

对B,由直线AB的方程依一y+1-左=0,可得直线过定点(1』)，

则圆心到直线AB距离的最大值为圆心到点(1,1)的距离，

即最大值为｛(—Of+(1.0)2=J5,故B正确；

对C,西龙2+多力为。4・。？的值，因为圆。的半径为6，

可得烟=3=百，又—IWCOSZAOBWI,

所以04・。3=大X2+,%-1|cos^OB>-3,

所以玉Z+X%的最小值为一3,故c正确;

对D,04+。8=（石+工2，乂+%），

则|OA+081=（玉+/『+（必+%）12，

JT..

因为NAO8=5，所以QA-O6=0，

I|2.22

所以|。4+04=0A+20A03+05=3+3=6,

所以（％+X2『+（y+必）2的值为6,故D正确.

故选：BCD

12.如图所示，在棱长为2的正方体ABC。—AAGA中，E是线段的中点，点M,N满足

\M=AA^C,BN=〃BC,其中4"e（O,l）,则（）

12

A.当％=1,〃=二时，过E,M,N三点的平面截正方体得到的截面多边形为正方形

23

B.存在/le（O,l）,使得平面A。/_L平面做C

C.存在九4e（0,1），使得平面MEN平面AB、C

D.当〃=g时，点A到平面ANC的距离为手

【答案】BD

【解析】

|2

【分析】根据4=一，4=—找至iJM,N位置，通过平行补全过E,M,N三点的平面截正方体所得的截面，

23

即可判断A；先找到垂直于平面ABC的直线，判断是否存在力€（。,1）使得平面能与该直线平行即

可；找到与平面做C平行的平面，进而判断M,N的位置即可判断C；补全平面ANC,用等体积法即可

求得点A到平面4NC的距离，进而判断D.

12

【详解】解：由2=5，〃=],可知M为AC中点，N为qG靠近G的三等分点,

连接EM并延长交平面CBB©与点片,

由E为AA中点，M为4c中点可知，片为BG中点，

连接Ng并延长交BC于点耳，由4c1〃8耳可知，

22

△G&NABER因为=所以月C=]3C,

所以《为BC靠近8的三等分点，取AO靠近A的三等分点产，

2

连接尸耳，再连接石产并延长交AR于点M，同理可得4N1=1AA，

连接NN|如图所示：

则可知过E,M,N三点的平面截正方体得到的截面多边形为FF\NN\,

22

在平面BCCg中，由耳N=§4G，片。=§5。可知6汽。。。|，

所以四边形咐NM不是正方形，故选项A错误；

连接DB如图所示,

因为正方体ABC。一AAGA,所以。。，平面438,所以DD|，AC,

因为正方形ABC。，所以3。LAC,

因为。£>JBD=D,DD,u平面BDQ,80u平面BDD1,

所以AC_L平面8。，，即AC，8D1,同理可证与。，8，，

因为4CcAC=C,4Cu平面AB。，ACu平面AgC,

所以BQ,平面A4C,所以当丸=；时，加为AC8。中点，

由BD、，平面ABtC,可得D.M1平面ABC,

因为u平面中，所以平面AQM_1_平面的（7,

即选项B正确；

连接AG，A0，DG如图所示：

所以AGAC,因为ACU平面AC。，AC.平面AC0,

所以AC平面ACQ,因为4。BC，AQu平面ACQ,4cz平面4（0,

所以々C平面A££）,因为ACcqC=C,ACu平面ABC，^Cu平面A^C,

所以平面AG。1平面ABC，因E为4。中点，所以E在平面AC0内，

若平面A/EN平面ABC,则“与A|重合，N与C1重合，

即几=0,〃=1时成立，与题意不符，故选项C错误；

当〃=g时，N为B©中点、,取AO中点H,连接C",4",AC如图所示：

由图可知AN〃C"，且AN=CH,即四边形CHAN为平行四边形,

所以A到平面4NC的距离即为A到平面\HC的距离，

因为正方体棱为2,所以A"=1,AA=2,即=

同理C〃=石，因为AC=2，5，所以4c=2百，

在△4"。中，由余弦定理得：

5+5-12_1

cosZ24HC=

12A.HHC2•/•6一5

因为幺HCe(O,7i),所以sinNA”C=¥，

即SaAHc=g.AH.HC.sinN4"C=g・«-7^^=«，

且有％,c=gA"-C£)=gi2=l,

记A到平面A“c的距离为6,

可得V=—•5HC.h=--h-V-—•S•2=2,

A~/Ai|HHC3ZAA4/1|/7C3/A1|-/A1H/7C3ZAA/iizC3

即Y5〃=2,解得〃=逅，故选项D正确.

333

故选：BD

【点睛】方法点睛：此题考查立体几何的综合应用，属于难题，关于立体几何中找截面的方法有：

(1)直接连线法：有两点在几何体的同一个面上，两点连线即为几何体与截面的交线；

(2)作平行线：过直线与直线外一点作截面，若直线所在平面与点所在平面平行，通过过该点找直线的平

行线找到几何体与截面交线；

(3)延长线找交点：若直线相交，但立体几何图形中未体现，可通过作延长线的方法找到交点，然后借助

交点找到截面形成的交线；

(4)辅助平面法：若三个点两两都不在一个侧面或者底面中，则在作截面时需要作一个辅助平面.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题卡相应位置上：

13.我国国内生产总值(GDP)2022年比2013年翻了一番，则平均每年的增长率是.

【答案】^2-1

【解析】

【分析】国内生产总值从2013年到2022年共增长9次，由于平均每年增长率相同，故模型为指数函数，根

据翻一番可列方程(l+x)9=2求解.

【详解】设年均增长率为x,根据题意得，

(1+力9=2,解得了=也一1，

所以平均每年的增长率应是吸.

故答案为：^2-1

14.(l-x)2+(l-x)3++(1-x)6的展开式中/的系数为.(用数字作答)

【答案】35

【解析】

【分析】(1—x)”的展开式的通项为7；+i=C：(—x)'=C：(T)"£,取尸=2,计算得到答案.

【详解】(1—x)”的展开式的通项为7；+i=C：(—口

则f的系数为：

^(-1)2+^(-1)2+^(-1)2+^(-1)2+^(-1)2=1+3+6+10+15=35

故答案为：35

【答案】：##0.5

【解析】

【分析】应用诱导公式、二倍角余弦公式得2cos2(x—工)+3cos(x-四)—2=0,即可求目标式的值.

66

7T7T7T7T

【详解】由cos（2x一一）=sin[-+（2x—一）]=sin（2x+-），

所以sin（2工+弓）+3cos（工一弓）-1=cos（2x-]）+3cos（x一弓）一1=0,

由cos(2x——)=2cos?(x—-)-1,贝ij2cos2(x——)4-3cos(x--)-2=0,

3666

TTJlTT1TT

所以[2cos(九—)—l][cos(x—)+2]=0f可得cos(x—)——或cos(x—)——2(舍),

66626

综上，cos(x--)=—.

62

故答案为：g

16.已知过点〃(3,-1)作抛物线。:/=2〃＞，(0＞0)的两条切线，切点分别为A3,直线A8经过抛物

线C的焦点/，则+\MBf=.

【答案】169

【解析】

【分析】设出A(玉,凶),3(%,%)，分别求在A3两点处导数，进而求出在A5两点处的切线方程，将

M(3,—1)代入，利用同构即可求得直线A3方程，根据直线AB经过焦点F，代入直线方程即可求得P,

联立直线与抛物线方程，求得%+%20・％2,进而求得X+%，*%，写叫『的式子进行化简

求值即可.

【详解】解：由题知尸(0,^),设A(石,％),8(々,必)，所以西2=2py,々2=2〃%，

x2x

因为Cd=2py(p＞0),即＞=了，所以y'=q,

故勺M='，匕WB=上，所以'MA：y=-H%—xj+x，

ppp

即：y=2x—上+工，即〉=2》_工，即y=±x-y,

PP2Pp2pp

同理可得：/血：〉=上》一＞2,

P

-1二一一y

P

因为M(3,—l)在直线上，所以有＜

3X2

-^=--y2

P

13x

故A3在直线-1二----y上，即：3x-〃y+〃=0,

因为A6经过抛物线C的焦点尸。,彳

所以—1=—K,解得p=2,故抛物线为f=4y,

2

所以兀：3x-2y+2=0,

(3x-2y+2=Q

联立〈2/＞即/一6%—4=0，所以司+无，=6,%=一4,

x=4y

Rr2.r2

所以y+%=5(%+w)+2=11,x•%='I=1

2222

所以|M4『+\MBf=(x)-3)+(y+1)+(x2-3)+(y2+1)

=xJ+X~-6%|+2y+10+x2+y2—6/+21y2+1()

书2+/2+城+%2_6&+£)+2(%+%)+20

=(玉+%2f-2中2+(y+%f-2y,y2-6(x,+&)+2(y+%)+20

=36+8+121-2-36+22+20=169.

故答案为：169

【点睛】思路点睛，该题考查开口向上的抛物线的切线问题，属于难题，关于过抛物线外一点做抛物线两

条切线，切点所在的直线方程的思路有：

(1)设出两切点坐标A(X，X),8(X2，%)，根据求导分别求出两条切线的斜率；

(2)根据点的坐标及切线斜率写出切线方程，并化简至关于王,々，%，内的一次方程；

(3)将抛物线外一点分别带入两条切线方程，通过同构即可得出切点所在直线方程.

四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知函数/(x)=cos7u-sinTLr(xeR)的所有正的零点构成递增数列{a“}(〃eN)

（I）求数列｛4｝的通项公式;

、、

（2）设么,求数列｛2｝的前"项和

77

3

【答案】（1）^=^--

⑵(=2—(〃+2)出“

【解析】

【分析】（1）先化简/（X），求得其正的零点，进而判断数列｛%｝的类型，求出基本量，写出通项公式即

可;

（2）将（1）中的通项公式代入可得｛d｝的通项公式，再用乘公比错位相减求出前〃项和T“即可.

【小问1详解】

71

解：因为/(x)=COSTLY-sin7LX=0cos7LT+—

4

令〃可得血

x)=0cos(6+7)=0,即7LX+；=]+E,(&wZ),

解得x=；+M左eZ）,因为｛4｝为所有正的零点构成的,

故4=；,且。“-。,一|=1,故｛%｝为以:为首项，I为公差的等差数列,

3

=n——

4'74

【小问2详解】

3/1、33、

由（1）知?二九一w,所以2几------1—=n

12；4472

所以7；=々+b2+h3++%+hn

・(

j++72-1)①,

母2配出C.

3、〃+1

I++〃]

所以±7；=削2〔加出②,

2"7

①-②可得:

(]\rt+1

=1一(〃+2)T

故事=2—(〃+2)反/iY.

7T

18.在ABC中，。为BC上的中点，满足/8A£)+/AC8=—.

2

(1)证明：_ABC为等腰三角形或直角三角形；

(2)若角A为锐角，E为边AC上一点，AE=2EC,BE=2,BC=6求JRC的面积.

【答案】(1)证明见解析;

【解析】

【分析】⑴设NACB=a，/ABC=B,由正弦定理可得丝=星空，券=与与

BDcosaCDcos/3

TT

根据二倍角正弦公式和正弦函数性质证明。=£或a+4=5即可；

(2)由余弦定理列方程求C£,AC,再求NAC8的余弦值和正弦值，再利用三角形面积公式求解.

【小问1详解】

71

因为/BA£)+/AC3=—,

2

7t

所以/C4£>+NABC=兀一NBA。一ZAC8=—,

2

设NAC8=a,ZABC=0,

7171

则/540=万一々，NCADf-B，

ADBDBD

在△A3Z)中，由正弦定理可得sin，.(it)cosa,

(2)

*,,ADsinB

所以——=-

BDcosa

AD_CDCD

在,AC£>中，由正弦定理可得sina-.(ncos/7,

ADsina

所以=----，

CDcospQ

又BD=CD,

sinBsina

所以一-=-

cosacosp

所以sin/?cos力=sincrcoscr,

所以sin2a=sin2/?,

所以2a—2月=2E或2a+2/7=2也+兀,%eZ,

又a,4£（0,兀），a+/3e（0,K）,

TT

所以a=万或a+£=5，

71

即？ACS?9。或/4。8+/48。=一，

2

兀

所以？AC5?ABC或NBAC=一，

2

所以J3C为等腰三角形或直角三角形；

【小问2详解】

因为角A为锐角，由（1）可得NABC=NACB,

所以AB=AC,设AB=3x,则AC=3x,

因为AE=2EC,所以CE=x,

在，BCE中，由余弦定理可得cosNBCE=纸+0&-8k

2CBCE

.「乂2_A〃2

在V8C4中，由余弦定理可得cosN8C4=一

2CBCA

又BE=2,BC=>5

2

CR,5+X-45+9%2—9尤2

所以一—=----1=------，

2xy/r5xx2xv5x3x

所以x=，cosZBCA=413,

312

所以sinNBCA=@^4,

12

所以..ABC的面积S=，C8-C4sinN6C4=』xJ^xJ^x"亘=叵.

22124

1］如图所示，在四棱锥P—ABC。中，底面A8CD是等腰梯形，ABCD,A3=2CD=4.平面

平面ABCO,。为A3的中点，NZMO=NAQP=60°,OA=OP,E,F,G分别为8C,PD，PC

的中点.

（1）求证：平面PCDJ_平面AFGB：

（2）求平面尸£应与平面ABCD所成锐二面角的正切值.

【答案】（1）证明见解析

⑵乎

【解析】

【分析】（1）根据线面垂直判定定理以及性质定理，结合面面垂直判定定理，可得答案;

（2）建立空间直角坐标系，利用二面角的空间向量计算公式，可得答案.

【小问1详解】

如图所示，取4。的中点H,连接HO,HP,

在等腰梯形ABCO中，ABCD,AB=4，8=2,NDAO=60°.

•••O为A3的中点，即有四边形BCD。是平行四边形，

AOD//BC,ZDOA=ZCBO=ZDAO=60°.

△Q4D为正三角形，二AD=2，HD1AO.

在，AQP中，OA=OP=2,ZAOP=60°,

,.AQP为边长为2的正三角形，二AP=2，PHIAO.

AAP^AD,又尸为尸。的中点，.••A尸

VHD±AO,PHLAO,HDcPH=H，HD,PHu平面PHD，

AO,平面PH。，即ABI平面•••QDu平面P”。，...AB_LFD.

而G为PC中点，则尸G//CD//A3,又；MeM=A,A£ABu平面AFGB,，PD_L平面AFGB.

,：PDu平面PCD,：.平面PCD_L平面AFGB.

【小问2详解】

•/PH±AB,平面Q4B_L平面ABC。，平面IBc平面ABC。=AB,/Wu平面Q4B，

/.P//_L平面A8CD,

...由（1）知，PH,HD,AB两两垂直,

以H为坐标原点，HD,HB,所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系,

则”（0,0,0）,P（0,0,A/3）,r＞（V3,0,0）,E怦怖,0,

I22J

于是HP=（0,0,石），=（＞/3,0,-V3）,DE=-^-,-,0.

I22J

设平面PDE的法向量为n=（%,y,z），

V3x-A/3Z=0,

fl.PD=0,

取则〃（）

则〈即＜6Jx=5,=5,g,5,

n-DE=0,-----x+—y=0,

I2------2〉

设平面PDE与平面ABC。所成锐二面角为氏

•••”p为平面A8CD的一个法向量，

cI,zn|In-HP\5百5

・COS”=COSH,HP\=——i-----r=—?=——r=='i——

••11\n\\HP\屈xGV53,

..n「［TA2币*csin®277

・・sing=vl—cos0=,—,tan。=-----=------

,53cos<95

平面POE与平面ABC。所成锐二面角的正切值为名自.

5

20.杭州某地准备建造一个以水仙花为主题的公园.在建园期间，甲、乙、丙三个工作队负责采摘及雕刻水仙

花球茎.雕刻时会损坏部分水仙花球茎，假设水仙花球茎损坏后便不能使用，无损坏的全部使用.已知甲、乙、

丙工作队所采摘的水仙花球茎分别占采摘总量的25%,35%,40%,甲、乙、丙工作队采摘的水仙花球茎的使

能使用的水仙花球茎数

用率分别为0.8,0.6,0.75（水仙花球茎的使用率=).

采摘的水仙花球茎总数

（1）从采摘的水仙花球茎中有放回地随机抽取三次，每次抽取一颗，记甲工作队采摘的水仙花球茎被抽取

到的次数为求随机变量J的分布列及期望；

（2）已知采摘的某颗水仙花球茎经雕刻后能使用，求它是由丙工作队所采摘的概率.

【答案】（1）分布列见解析，期望为？

4

【解析】

【分析】（1）根据题意得到J的所有取值且8卜；］,求得相应的概率，得出分布列，利用期望的公式,

即可求解;

（2）用A，A2,4分别表示水仙花球茎由甲，乙，丙工作队采摘，B表示采摘水仙花球茎经雕刻后能

使用，则尸（4）,尸（4）,P（A）,及尸（B|A），「（用4），尸（川4）,即可求解.

【小问1详解】

解：在采摘的水仙花球茎中，任取一颗是由甲工作队采摘的概率是

4

依题意，J的所有取值为0,1,2,3,且

、3-A

3

所以P(“6，k=0,1,2,3,

7

27279j

即蛇=。）=才%=1）=守32）=#%=3）=互,

所以J的分布列为:

0123

272791

P

64646464

13

所以EC)=3x—=—

44

【小问2详解】

解：用4，A?,4分别表示水仙花球茎由甲，乙，丙工作队采摘，8表示采摘的水仙花球茎经雕刻后能使

用,

则尸（A）=0.25,P（4）=0.35,P（A,）=0.4,

且P（同A）=0.8,P（用4）=0.6,P（B\4）=0.75,

故故砂=P（网）+p（%）+P（即）=p（A）P（51A）+P（4）P（BI&）+p（A）P（BIA）

=0.25x0.8+0.35x0.6+0.4x0.75=0.71,

p（&8）_P（A）P（*4）_0.3_30

所以P(AlB)

P（B）P（B）0.7171

30

即采摘出的某颗水仙花球茎经雕刻后能使用，它是由丙工作队所采摘的概率为二.

71

2151

同理它是由甲乙工作队所采摘的概率为一.，所以是由乙工作队或丙工作队所采摘的概率一

7171

22

21.已知椭圆/：二+2L=1,如图所示，A,3为其左、右顶点，P为椭圆上位于第一象限内的点，直线

43

交直线/：X=