山东高考数学考点梳理

高考数学考点梳理一、考前必记的34个概念、公式1．四种命题的相互关系2．熟记五种常考函数的定义域(1)当f(x)为整式时，函数的定义域为R.(2)当f(x)为分式时，函数的定义域是使分母不为0的实数集合．(3)当f(x)为偶次方根时，函数的定义域是使被开方数不小于0的实数集合．(4)当f(x)为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为大于0且不为1的实数集合．(5)当f(x)中有tanx时，那么应考虑x≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)．3．指数函数与对数函数的比照区分表关于直线关于直线y＝x对称图像R(0，＋∞)值域(0，＋∞)R定义域y＝logax(a＞0且a≠1)y＝ax(a＞0且a≠1)解析式00＜a＜1时，在(0，＋∞)上是减函数；a＞1时，在(0，＋∞)上是增函数0＜a＜1时，在R上是减函数；a＞1时，在R上是增函数单调性非奇非偶非奇非偶奇偶性y＝logax(a＞0且a≠1)y＝ax(a＞0且a≠1)解析式4.方程的根与函数的零点(1)方程的根与函数零点的关系：由函数零点的定义，可知函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图像与x轴的交点的横坐标．所以，方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图像与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(2)函数零点的存在性：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且f(a)·f(b)＜0，那么函数f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的实数根．5．导数公式及运算法那么(1)根本导数公式：C′＝0(C为常数)；(xm)′＝mxm－1(m∈Q)；(sinx)′＝cosx；(cosx)′＝－sinx；(ex)′＝ex；(ax)′＝axlna(a>0且a≠1)；(lnx)′＝eq\f(1,x)；(logax)′＝eq\f(1,xlna)(a>0且a≠1)．(2)导数的四那么运算：(u±v)′＝u′±v′；(uv)′＝u′v＋uv′；eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(u,v)))′＝eq\f(u′v－uv′,v2)(v≠0)．(3)复合函数的导数：[f(ax＋b)]′＝af′(ax＋b)，如y＝sin2x有y′＝2cos2x.6．导数与极值、最值(1)函数f(x)在x0处的导数f′(x0)＝0且f′(x)在x0附近“左正右负〞⇔f(x)在x0处取极大值；函数f(x)在x0处的导数f′(x0)＝0且f′(x)在x0附近“左负右正〞⇔f(x)在x0处取极小值．(2)函数f(x)在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极值与其端点值中的“最大值〞；函数f(x)在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极值与其端点值中的“最小值〞．7．同角三角函数的根本关系(1)商数关系：eq\f(sinα,cosα)＝tanαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z))；(2)平方关系：sin2α＋cos2α＝1(α∈R)．8．三角函数的诱导公式(1)sin(2kπ＋α)＝sinα，cos(2kπ＋α)＝cosα，tan(2kπ＋α)＝tanα，k∈Z.(2)sin(π＋α)＝－sinα，cos(π＋α)＝－cosα，tan(π＋α)＝tanα.(3)sin(－α)＝－sinα，cos(－α)＝cosα，tan(－α)＝－tanα.(4)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝cosα，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝sinα，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝cosα，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝－sinα.9．三角函数图像的三种根本变换y＝sinx的图像向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移|φ|个单位得到y＝sin(x＋φ)的图像；y＝sinx图像上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的eq\f(1,ω)倍，得到y＝sinωx的图像；y＝sinx图像上所有点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的A倍，得到y＝Asinx的图像．10．三角函数的对称中心与对称轴(1)函数y＝sinx的对称中心为(kπ，0)(k∈Z)，对称轴为x＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)．(2)函数y＝cosx的对称中心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)，0))(k∈Z)，对称轴为x＝kπ(k∈Z)．(3)函数y＝tanx的对称中心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))(k∈Z)，没有对称轴．11．三角恒等变换的主要公式sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ；cos(α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβ；tan(α±β)＝eq\f(tanα±tanβ,1∓tanαtanβ)；sin2α＝2sinαcosα；cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α).12．辅助角公式asinα＋bcosα＝eq\r(a2＋b2)sin(α＋φ)，其中sinφ＝eq\f(b,\r(a2＋b2))，cosφ＝eq\f(a,\r(a2＋b2)).13．平面向量的有关运算(1)两个非零向量平行(共线)的充要条件：a∥b⇔a＝λb.两个非零向量垂直的充要条件：a⊥b⇔a·b＝0⇔|a＋b|＝|a－b|.(2)平面向量根本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于该平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.(3)三个点A，B，C共线⇔，共线；向量、、中三终点A，B，C共线⇔存在实数α，β，使得＝α＋β，且α＋β＝1.(4)向量的数量积：假设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，那么|a|2＝a2＝a·a，a·b＝|a|·|b|·cosθ＝x1x2＋y1y2，cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))，a在b上的投影为|a|cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))).14．中点坐标和三角形重心坐标(1)P1，P2的坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，1＋2＝2⇔P为线段P1P2的中点，中点P的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2))).(2)△ABC的三个顶点的坐标分别为A(x1，y1)．B(x2，y2)，C(x3，y3)，那么△ABC的重心的坐标是Geq\b\lc\(\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2＋x3,3)))，eq\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y1＋y2＋y3,3))).15．an与Sn的关系(1)对于数列{an}，Sn＝a1＋a2＋…＋an为数列{an}的前n项和．(2)an与Sn的关系式：an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))16．判断等差数列的常用方法(1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇔{an}是等差数列．(2)中项公式法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列．(3)通项公式法：an＝pn＋q(p，q为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列．(4)前n项和公式法：Sn＝An2＋Bn(A，B为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列．17．判断等比数列的三种常用方法(1)定义法：eq\f(an＋1,an)＝q(q是不为0的常数，n∈N*)⇔{an}是等比数列．(2)通项公式法：an＝cqn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)⇔{an}是等比数列．(3)中项公式法：aeq\o\al(2,n＋1)＝an·an＋2(an·an＋1·an＋2≠0，n∈N*)⇔{an}是等比数列．18．不等式的性质(1)a＞b，b＞c⇒a＞c.(2)a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc.(3)a＞b⇒a＋c＞b＋c.(4)a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d.(5)a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd.(6)a＞b＞0，n∈N，n≥1⇒an＞bn.(7)a>b>0，n∈N，n≥2⇒eq\r(n,a)>eq\r(n,b).19．一元二次不等式的恒成立问题(1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立的条件是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞0，,Δ＜0.))(2)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)恒成立的条件是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＜0，,Δ＜0.))20．简单分式不等式的解法(1)eq\f(fx,gx)＞0⇔f(x)g(x)＞0，eq\f(fx,gx)＜0⇔f(x)g(x)＜0.(2)eq\f(fx,gx)≥0⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fxgx≥0，,gx≠0，))eq\f(fx,gx)≤0⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fxgx≤0，,gx≠0.))(3)对形如eq\f(fx,gx)＞a(x≥a)的分式不等式要采取：移项—通分—化乘积的方法转化为(1)或(2)的形式求解．21．简单几何体的外表积和体积(1)S直棱柱侧＝ch(c为底面的周长，h为高)．(2)S正棱锥侧＝eq\f(1,2)ch′(c为底面周长，h′为斜高)．(3)S正棱台侧＝eq\f(1,2)(c′＋c)h′(c与c′分别为上、下底面周长，h′为斜高)．(4)圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式：S圆柱侧＝2πrl(r为底面半径，l为母线)，S圆锥侧＝πrl(同上)，S圆台侧＝π(r′＋r)l(r′，r分别为上、下底的半径，l为母线)．(5)体积公式：V柱＝Sh(S为底面面积，h为高)，V锥＝eq\f(1,3)Sh(S为底面面积，h为高)，V台＝eq\f(1,3)(S＋eq\r(SS)′＋S′)h(S，S′为上、下底面面积，h为高)．(6)球的外表积和体积公式：S球＝4πR2，V球＝eq\f(4,3)πR3.22．空间向量与空间角(1)夹角公式：设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，那么cosa，b＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))·\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3))).推论：(a1b1＋a2b2＋a3b3)2≤(aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋aeq\o\al(2,3))(beq\o\al(2,1)＋beq\o\al(2,2)＋beq\o\al(2,3))．(2)异面直线所成的角：cosθ＝|cosa，b|＝eq\f(|a·b|,|a||b|)，其中θ(0°＜θ≤90°)为异面直线a，b所成的角，a，b分别表示异面直线a，b的方向向量．(3)直线AB与平面α所成的角β满足：sinβ＝|cos<，m>|＝eq\f(|·m|,|||m|)(m是平面α的法向量)．(4)二面角α­l­β的平面角θ满足：|cosθ|＝|cos<m，n>|＝eq\f(|m·n|,|m||n|)(m，n分别是平面α，β的法向量)．23．直线的方程(1)点斜式：直线过点(x0，y0)，其斜率为k，那么直线方程为y－y0＝k(x－x0)，它不包括垂直于x轴的直线．24．点到直线的距离及两平行直线间的距离(1)点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离为d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))；(2)两平行线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离为d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).25．直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系(1)平行⇔A1B2－A2B1＝0(斜率相等)且B1C2－B2C1≠0(在(2)相交⇔A1B2－A2B1≠0；(3)重合⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C(4)垂直⇔A1A2＋B1B226．圆的方程(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，只有当D2＋E2－4F＞0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0才表示圆心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，半径为eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F)的圆．27．椭圆及其性质(1)定义：|MF1|＋|MF2|＝2a(2a>2c＝|F(2)标准方程：焦点在x轴上，eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)；焦点在y轴上，eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)．(3)性质：①范围；②顶点；③对称性；④离心率．28．双曲线及其性质(1)定义：||MF1|－|MF2||＝2a(2a<2c＝|F(2)标准方程：焦点在x轴上，eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)；焦点在y轴上，eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)．(3)性质：①范围；②顶点；③对称性；④离心率；⑤渐近线．(4)与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1具有共同渐近线的双曲线系为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)．29．抛物线及其性质(1)定义：|MF|＝d.(2)标准方程：y2＝2px；y2＝－2px；x2＝2py；x2＝－2py.(p＞0)(3)性质：①范围；②顶点；③对称性；④离心率．30．排列、组合数公式及其相关性质(1)排列数公式：Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝eq\f(n！,n－m！)(m≤n，m，n∈N*)，Aeq\o\al(n,n)＝n！＝n×(n－1)×(n－2)×…×2×1(eq\a\vs4\al(n∈)N*)．(2)组合数公式：Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(A\o\al(m,n),A\o\al(m,m))＝eq\f(nn－1…n－m＋1,m！)＝eq\f(n！,m！n－m！)(m≤n，n，m∈N*)．(3)组合数性质：Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)(m≤n，n，m∈N*)；Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al(m－1,n)＋Ceq\o\al(m,n)(m≤n，n，m∈N*)；Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(r,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n；Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋…＝Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(4,n)＋…＝2n－1.31．抽样方法(简单随机抽样、分层抽样、系统抽样)(1)沉着量为N的总体中抽取容量为n的样本，那么每个个体被抽到的概率都为eq\f(n,N)；(2)分层抽样实际上就是按比例抽样，即总体与样本中各层在总体中所占的比例都相等；(3)简单随机抽样的特征是逐个抽取；(4)系统抽样的特征是“等距〞抽取．32．复数的四那么运算法那么(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i.(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i.(a＋bi)÷(c＋di)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i(a，b，c，d∈R，c＋di≠0)．33．算法的三种根本逻辑结构(1)顺序结构：如图(1)所示．(2)条件结构：如图(2)和图(3)所示．(3)循环结构：如图(4)和图(5)所示．34．用数学归纳法证明问题的一般步骤用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：(1)证明当n取第一个值n0时，结论正确；(2)假设当n＝k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确，证明当n＝k＋1时结论也正确．由(1)(2)，可知命题对于从n0开始的所有正整数都正确．二、考前必会的27个规律、推论1．集合问题必须牢记的重要结论(1)a与{a}的区别：一般地，a表示一个元素，而{a}表示只有一个元素a的集合．(2)易混淆0，∅，{0}：0是一个实数，∅是一个集合，它含有0个元素，{0}是以0为元素的单元素集合，但是0∉∅，而∅⊆{0}．(3)∅是任意一个集合的子集，是任意一个非空集合的真子集．所以当两个集合之间存在子集关系时，不要忘记对空集的讨论，即假设A⊆B，那么应分A＝∅和A≠∅两种情况进行分析．(4)假设集合是不等式的解集，那么在两个集合的交集与并集以及集合的补集的求解过程中要注意端点值的取与舍，不能遗漏，在利用数轴表示集合时，注意端点值的标注，区分实点和虚点．(5)求解集合的补集时，要先求出集合，然后再写其补集，不要直接转化条件导致出错，如A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＞0))的补集是{x|x≤0}，而不是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))≤0)).(6)交集的补集等于补集的并集，即∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)；并集的补集等于补集的交集，即∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)．(7)对于含有n个元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n,2n－1，2n－1，2n－2.(8)如下图的Venn图中区域Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ依次表示集合∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)，A∩(∁UB)，A∩B，B∩(∁UA)．2．常用逻辑用语的常用规律(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．(3)在判断一些命题的真假时，如果不容易直接判断，可转化为判断其逆否命题的真假．3．有关函数单调性和奇偶性的重要结论(1)f(x)与f(x)＋c(c为常数)具有相同的单调性．(2)当k＞0时，函数f(x)与kf(x)的单调性相同；当k＜0时，函数f(x)与kf(x)的单调性相反．(3)当f(x)，g(x)同为增(减)函数时，f(x)＋g(x)那么为增(减)函数．(4)奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性．(5)f(x)为奇函数⇔f(x)的图像关于原点对称；f(x)为偶函数⇔f(x)的图像关于y轴对称．(6)偶函数的和、差、积、商是偶函数，奇函数的和、差是奇函数，积、商是偶函数，奇函数与偶函数的积、商是奇函数．(7)函数f(x)与kf(x)，eq\f(1,fx)(f(x)≠0)的奇偶性相同(其中k为非零常数)．(8)定义在(－∞，＋∞)上的奇函数的图像必过原点，即有f(0)＝0.存在既是奇函数，又是偶函数的函数：f(x)＝0.(9)f(x)＋f(－x)＝0⇔f(x)为奇函数；f(x)－f(－x)＝0⇔f(x)为偶函数．4．判断函数周期的几个重要结论(1)假设满足f(x＋a)＝f(x－a)，那么f(x)是周期函数，T＝2a(2)假设满足f(x＋a)＝－f(x)，那么f(x)是周期函数，T＝2a(3)假设满足f(x＋a)＝eq\f(1,fx)，那么f(x)是周期函数，T＝2a.(4)假设满足f(x＋a)＝eq\f(1,－fx)，那么f(x)是周期函数，T＝2a.(5)假设函数y＝f(x)的图像关于直线x＝a对称，且关于直线x＝b对称，那么f(x)是周期函数，T＝2|b－a|(b≠a)．5．函数图像对称变换的相关结论(1)y＝f(x)的图像关于y轴对称的图像是函数y＝f(－x)的图像．(2)y＝f(x)的图像关于x轴对称的图像是函数y＝－f(x)的图像．(3)y＝f(x)的图像关于原点对称的图像是函数y＝－f(－x)的图像．(4)y＝f(x)的图像关于直线y＝x对称的图像是函数y＝f－1(x)的图像．(5)y＝f(x)的图像关于直线x＝m对称的图像是函数y＝f(2m－x(6)y＝f(x)的图像关于直线y＝n对称的图像是函数y＝2n－f(x)的图像．(7)y＝f(x)的图像关于点(a，b)对称的图像是函数y＝2b－f(2a－x6．函数图像平移变换的相关结论(1)把y＝f(x)的图像沿x轴左右平移|c|个单位(c＞0时向左移，c＜0时向右移)得到函数y＝f(x＋c)的图像(c为常数)．(2)把y＝f(x)的图像沿y轴上下平移|b|个单位(b＞0时向上移，b＜0时向下移)得到函数y＝f(x)＋b的图像(b为常数)．7．函数图像伸缩变换的相关结论(1)把y＝f(x)的图像上各点的纵坐标伸长(a＞1)或缩短(0＜a＜1)到原来的a倍，而横坐标不变，得到函数y＝af(x)(a＞0)的图像．(2)把y＝f(x)的图像上各点的横坐标伸长(0＜b＜1)或缩短(b＞1)到原来的eq\f(1,b)倍，而纵坐标不变，得到函数y＝f(bx)(b＞0)的图像．8．正余弦定理及其推论(1)正弦定理：eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R(2R为△ABC外接圆的直径)．变形：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC.(2)余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝a2＋c2－2accosB；c2＝a2＋b2－2abcosC.推论：cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab).变形：b2＋c2－a2＝2bccosA；a2＋c2－b2＝2accosB；a2＋b2－c2＝2abcosC.9．三角形四心的向量形式设O为△ABC所在平面上一点，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，那么O是三边中垂线的交点⇔O是△ABC的外心⇔||＝||＝||＝eq\f(a,2sinA)；(2)O是三条中线的交点⇔O是△ABC的重心⇔＋＋＝0；(3)O是三条高线的交点⇔O是△ABC的垂心⇔·＝·＝·；(4)O是三个内角角平分线的交点⇔O是△ABC的内心⇔a＋b＋c＝0.10．等差数列{an}的常用性质(1)an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d；p＋q＝m＋n⇒ap＋aq＝am＋an.(2){kan}也成等差数列．(3)Sm，S2m－Sm，S3m－S2(4)Sn＝eq\f(na1＋an,2)，Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n.(5)ap＝q，aq＝p(p≠q)⇒ap＋q＝0，Sm＋n＝Sm＋Sn＋mnd.11．等比数列{an}的常用性质(1)an＝a1qn－1＝amqn－m；p＋q＝m＋n⇒ap·aq＝am·an.(2){an}，{bn}成等比数列⇒{anbn}成等比数列．(3)Sm，S2m－Sm，S3m－S2m…，成等比数列((4)Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a1－anq,1－q)＝\f(a11－qn,1－q)，q≠1))Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,－\f(a1,1－q)·qn＋\f(a1,1－q)，q≠1.))12．等差数列与等比数列的区分与联系(1)如果数列{an}成等差数列，那么数列{}(总有意义)必成等比数列．(2)如果数列{an}成等比数列，且an＞0，那么数列{logaan}(a＞0，a≠1)必成等差数列．(3)如果数列{an}既成等差数列又成等比数列，那么数列{an}是非零常数数列．数列{an}是常数数列仅是数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件．(4)如果两个等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是两个原等差数列公差的最小公倍数．(5)如果由一个等差数列与一个等比数列的公共项顺次组成新数列，那么常选用“由特殊到一般〞的方法进行讨论，且以等比数列的项为主，探求等比数列中哪些项是它们的公共项，构成什么样的新数列．13．常用常考的不等式(1)|a|≥0，a2≥0(a∈R)．(2)a，b∈R⇒a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时取等号)．(3)a>0，b>0⇒eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)(当且仅当a＝b时取等号)．(4)a3＋b3＋c3≥3abc(a＞0，b＞0，c＞0)，a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac，当且仅当a＝b＝c时取等号．(5)|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|.(6)eq\f(2ab,a＋b)≤eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)≤eq\r(\f(a2＋b2,2))(当且仅当a＝b时取等号，且a>0，b>0)．14．给定区间上，含参数的不等式恒成立或有解的条件依据(1)在给定区间(－∞，＋∞)的子区间L(形如[α，β]，(－∞，β]，[α，＋∞)等)上，含参数的不等式f(x)≥t(t为参数)恒成立的充要条件是f(x)min≥t(x∈L)．(2)在给定区间(－∞，＋∞)的子区间L上，含参数的不等式f(x)≤t(t为参数)恒成立的充要条件是f(x)max≤t(x∈L)．(3)在给定区间(－∞，＋∞)的子区间L上，含参数的不等式f(x)≥t(t为参数)有解的充要条件是f(x)max≥t(x∈L)．(4)在给定区间(－∞，＋∞)的子区间L上，含参数的不等式f(x)≤t(t为参数)有解的充要条件是f(x)min≤t(x∈L)．15．直观图(1)空间几何体直观图的画法常采用斜二测画法．对斜二测画法的规那么可以记忆为：“平行要保持，横长不变，纵长减半〞．(2)由直观图的画法规那么可知：任何一个平面图形的面积S与它的斜二测画法得到的直观图的面积S′之间具有关系S′＝eq\f(\r(2),4)S.用这个公式可以方便地解决相关的计算问题．16．三视图(1)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．画三视图的根本要求：正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高．(2)三视图排列规那么：俯视图放在正视图的下面，长度与正视图一样；侧视图放在正视图的右面，高度和正视图一样，宽度与俯视图一样．(3)一般地，假设俯视图中出现圆，那么该几何体可能是球或旋转体；假设俯视图是多边形，那么该几何体一般是多面体；假设正视图和侧视图中出现三角形，那么该几何体可能为锥体．17．两直线的位置关系的应用(1)讨论两条直线的位置关系应注意斜率不存在或斜率为0的情况，当两条直线中的一条直线斜率不存在，另一条直线斜率为0时，它们也垂直．(2)直线l：Ax＋By＋C＝0，那么与直线l平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0(m≠C)；与直线l垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋n＝0.18．点与圆的位置关系点M(x0，y0)及圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，(1)点M在圆C外⇔|CM|＞r⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2；(2)点M在圆C内⇔|CM|＜r⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2；(3)点M在圆C上⇔|CM|＝r⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.19．直线与圆的位置关系直线l：Ax＋By＋C＝0和圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)有相交、相离、相切．可从代数和几何两个方面来判断：(1)代数方法(判断直线与圆的方程联立所得方程组的解的情况)：Δ＞0⇔相交；Δ＜0⇔相离；Δ＝0⇔相切；(2)几何方法(比拟圆心到直线的距离与半径的大小)：设圆心到直线的距离为d，那么d＜r⇔相交；d＞r⇔相离；d＝r⇔相切.20．圆与圆的位置关系两圆的圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，那么(1)当|O1O2|＞r1＋r2时，两圆外离；(2)当|O1O2|＝r1＋r2时，两圆外切；(3)当|r1－r2|＜|O1O2|＜r1＋r2时，两圆相交；(4)当|O1O2|＝|r1－r2|时，两圆内切；(5)当0≤|O1O2|＜|r1－r2|时，两圆内含．21．圆锥曲线的对称问题曲线F(x，y)＝0关于原点O成中心对称的曲线是F(－x，－y)＝0；曲线F(x，y)＝0关于x轴对称的曲线是F(x，－y)＝0；曲线F(x，y)＝0关于y轴对称的曲线是F(－x，y)＝0；曲线F(x，y)＝0关于直线y＝x对称的曲线是F(y，x)＝0；曲线F(x，y)＝0关于直线y＝－x对称的曲线是F(－y，－x)＝0.22．二项式定理及其相关推论(1)二项式定理：(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b＋…＋Ceq\o\al(r,n)an－rbr＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*)，展开式共有n＋1项，其中第r＋1项为Tr＋1＝Ceq\o\al(r,n)an－rbr，组合数Ceq\o\al(r,n)叫做第r＋1项的二项式系数．(2)二项展开式中二项式系数(组合数)的性质：对称性、增减性与最大值，二项式系数和Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋…＋Ceq\o\al(r,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n.(3)奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，都等于2n－1，即Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(4,n)＋…＝Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋…＝2n－1.23．有关事件关系的重要结论(1)事件B包含事件A：事件A发生，那么事件B一定发生，记作A⊆B.(2)事件A与事件B相等：假设A⊆B，B⊆A，那么事件A与B相等，记作A＝B.(3)并(和)事件：某事件发生，当且仅当事件A发生或事件B发生，记作A∪B(或A＋B)．(4)交(积)事件：某事件发生，当且仅当事件A发生且事件B发生，记作A∩B(或AB)．(5)事件A与事件B互斥：假设A∩B为不可能事件(A∩B＝∅)，那么事件A与事件B互斥．(6)对立事件：A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么A与B互为对立事件．24．概率的计算公式(1)古典概型的概率计算公式：P(A)＝eq\f(事件A包含的根本领件数m,根本领件总数n)；(2)互斥事件的概率计算公式：P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；(3)对立事件的概率计算公式：P(eq\x\to(A))＝1－P(A)；25．概率与统计(1)离散型随机变量的分布列的两个性质：①pi≥0(i＝1，2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1.(2)数学期望公式：E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn.(3)数学期望的性质：①E(aX＋b)＝aE(X)＋b；②假设X～B(n，p)，那么E(X)＝np.(4)方差公式：D(X)＝[x1－E(X)]2·p1＋[x2－E(X)]2·p2＋…＋[xn－E(X)]2·pn，标准差：eq\r(DX).(5)方差的性质：①D[a(X)＋b]＝a2D(X)；②假设X～B(n，p)，那么D(X)＝np(1－p)．(6)方差与期望的关系：D(X)＝E[X－E(X)]2.(7)概率公式：①独立事件同时发生的概率计算公式是：P(AB)＝P(A)P(B)；②独立重复试验的概率计算公式是：Pn(k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k；③条件概率公式：P(B|A)＝eq\f(PAB,PA).26．复数的运算(1)复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律，即对任意z1，z2，z3∈C，有：z1·z2＝z2·z1；(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)；z1·(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3.(2)两个共轭复数z，eq\x\to(z)的积是一个实数，这个实数等于每一个复数的模的平方，即z·eq\x\to(z)＝|z|2＝|eq\x\to(z)|2.27．复数的几个常见结论(1)(1±i)2＝±2i；(2)eq\f(1＋i,1－i)＝i，eq\f(1－i,1＋i)＝－i；(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈Z)；(4)ω＝－eq\f(1,2)±eq\f(\r(3),2)i，且ω0＝1，ω2＝eq\x\to(ω)，ω3＝1,1＋ω＋ω2＝0.三、考前必懂的26个解题方法1．解决集合问题要“四看〞(1)看代表元素：代表元素反映了集合中元素的特征，解题时需分清是点集、数集还是其他集合．(2)看元素组成：集合是由元素组成的，从研究集合的元素入手是解集合问题的常用方法．(3)看能否化简：有些集合是可以化简的，如果先化简再研究其关系，可使问题变得简捷．(4)看能否数形结合：常用的数形结合的形式有数轴、坐标系和Venn图．2．充分条件与必要条件的判断方法(1)定义法：正、反方向推理，假设p⇒q，那么p是q的充分条件(或q是p的必要条件)；假设p⇒q，且qp，那么p是q的充分不必要条件(或q是p的必要不充分条件)．(2)集合法：利用集合间的包含关系．例如，假设A⊆B，那么A是B的充分条件(B是A的必要条件)；假设A＝B，那么A是B的充要条件．(3)等价法：将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题．3．利用导数研究函数单调性的步骤第一步：确定函数f(x)的定义域；第二步：求f′(x)；第三步：解方程f′(x)＝0在定义域内的所有实数根；第四步：将函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和各实数根按从小到大的顺序排列起来，分成假设干个小区间；第五步：确定f′(x)在各小区间内的符号，由此确定每个区间的单调性．4．求函数y＝f(x)在某个区间上的极值的步骤第一步：求导数f′(x)；第二步：求方程f′(x)＝0的根x0；第三步：检查f′(x)在x＝x0左右的符号：①左正右负⇔f(x)在x＝x0处取极大值；②左负右正⇔f(x)在x＝x0处取极小值．5．求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤第一步：求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值(极大值或极小值)；第二步：将y＝f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比拟，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．6．求解恒成立问题的主要方法(1)别离参数法：当不等式中的参数(或关于参数的代数式)能够与其他变量完全别离开来，且别离后不等式另一边的函数(或代数式)的最值可求出时，应用别离参数法．(2)最值法：当不等式一边的函数(或代数式)的最值能够较容易地求出时，可直接求出这个最值(最值中可能需用参数表示)，然后建立关于参数的不等式求解．(3)数形结合法：如果不等式中涉及的函数、代数式对应的图像、图形较易画出时，可通过图像、图形的位置关系建立不等式求得参数范围．(4)更换主元法：在问题所涉及的几个变量中，选择一个最有利于问题解决的变量作为主元进行求解．7．判断函数f(ωx＋φ)的奇偶性的方法(1)假设y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，那么有φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)；假设为奇函数，那么φ＝kπ(k∈Z)．(2)假设y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数，那么有φ＝kπ(k∈Z)；假设为奇函数，那么φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)．(3)假设y＝tan(ωx＋φ)为奇函数，那么有φ＝eq\f(kπ,2)(k∈Z)．8．确定函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0)解析式的方法A＝eq\f(最大值－最小值,2)，B＝eq\f(最大值＋最小值,2)，ω＝eq\f(2π,T)，求φ时，常根据“五点法〞中的五个点求解，可以根据图像的升降找准第一个零点的位置，把第一个零点作为突破口．9．三角函数恒等变换的根本策略(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan45°等．项的分拆与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α；α＝(α－β)＋β；β＝eq\f(α＋β,2)－eq\f(α－β,2)；α可视为eq\f(α,2)的倍角；eq\f(π,4)±α可视为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)±2α))的半角等．(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次．(4)弦、切互化：一般是切化弦．(5)公式的变形应用：sinα＝cosαtanα，sin2α＝eq\f(1－cos2α,2)，cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，1±sinα＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2)±cos\f(α,2)))2等．(6)化简三角函数式：asinα＋bcosα＝eq\r(a2＋b2)sin(α＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(tanφ＝\f(b,a))).10．数列求和的常用方法(1)公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式；③常用公式：1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(1,2)n(n＋1)；12＋22＋32＋…＋n2＝eq\f(1,6)n(n＋1)(2n＋1)；1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.(2)分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式〞中“同类项〞先合并在一起，再运用公式法求和．(3)倒序相加法：在数列求和中，假设和式中到首尾距离相等的两项和有其共性，那么常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和．(4)错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法，将其和转化为“一个新的等比数列的和〞求解．(5)裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差〞的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和．常用的裂项形式有：①eq\f(1,nn＋1)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)；②eq\f(1,nn＋k)＝eq\f(1,k)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋k)))；③eq\f(1,k2)＜eq\f(1,k2－1)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k－1)－\f(1,k＋1)))；eq\f(1,k)－eq\f(1,k＋1)＝eq\f(1,k＋1k)＜eq\f(1,k2)＜eq\f(1,k－1k)＝eq\f(1,k－1)－eq\f(1,k)；④eq\f(1,nn＋1n＋2)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,nn＋1)－\f(1,n＋1n＋2)))；⑤eq\f(n,n＋1！)＝eq\f(1,n！)－eq\f(1,n＋1！)；⑥an＝Sn－Sn－1(n≥2)．11．数列的通项的求法(1)公式法：①等差数列的通项公式；②等比数列的通项公式．(2)Sn(即a1＋a2＋…＋an＝Sn)求an，用作差法：an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))(3)a1·a2·…·an＝f(n)，求an，用作商法：an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1，n＝1，,\f(fn,fn－1)，n≥2.))(4)假设an＋1－an＝f(n)，求an，用累加法：an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝f(n－1)＋f(n－2)＋…＋f(1)＋a1(n≥2)．(5)假设eq\f(an＋1,an)＝f(n)，求an，用累乘法：an＝eq\f(an,an－1)·eq\f(an－1,an－2)·…·eq\f(a2,a1)·a1＝f(n－1)·f(n－2)·…·f(1)·a1(n≥2)．(6)an＝kan－1＋b，an＝kan－1＋bn(k，b为常数)的递推数列都可以用待定系数法，先将问题转化为公比为k的等比数列后，再求an.(7)形如an＝eq\f(an－1,kan－1＋b)的递推数列可以用倒数法求通项．12．定值求极值的常考形式及应试方法(1)x>0，y>0，假设积xy是定值p，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2eq\r(p).(2)x>0，y>0，假设和x＋y是定值s，那么当x＝y时，积xy有最大值eq\f(1,4)s2.(3)a，b，x，y>0，假设ax＋by＝1，那么有eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝(ax＋by)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(1,y)))＝a＋b＋eq\f(by,x)＋eq\f(ax,y)≥a＋b＋2eq\r(ab)＝(eq\r(a)＋eq\r(b))2.13．求解线性规划问题(1)二元一次不等式表示的平面区域：设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，l：Ax＋By＋C＝0，假设Ax1＋By1＋C与Ax2＋By2＋C同号，那么P，Q在直线l的同侧；异号那么在直线l的异侧．(2)求解线性规划问题的步骤：①根据实际问题的约束条件列出不等式；②作出可行域，写出目标函数；③确定目标函数的最优位置，从而获得最优解．(3)可行域确实定：“线定界，点定域〞，即先画出与不等式对应的方程所表示的直线，然后代入特殊点的坐标，根据其符号确定不等式所表示的平面区域．14．证明位置关系的方法(1)线面平行：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥b,b⊂α,a⊄α))⇒a∥α，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥β,a⊂β))⇒a∥α，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,a⊥β,a⊄α))⇒a∥α.(2)线线平行：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥α,a⊂β,α∩β＝b))⇒a∥b，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))⇒a∥b，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥β,α∩γ＝a,β∩γ＝b))⇒a∥b，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥b,a∥c))⇒b∥c.(3)面面平行：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊂α，b⊂α,a∩b＝O,a∥β，b∥β))⇒α∥β，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,a⊥β))⇒α∥β，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥β,γ∥β))⇒α∥γ.(4)线线垂直：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊂α))⇒a⊥b.(5)线面垂直：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊂α，b⊂α,a∩b＝O,l⊥a，l⊥b))⇒l⊥α，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,α∩β＝l,a⊂α，a⊥l))⇒a⊥β，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥β,a⊥α))⇒a⊥β，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥b,a⊥α))⇒b⊥α.(6)面面垂直：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊂β,a⊥α))⇒α⊥β，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥β,a⊥α))⇒α⊥β.15．空间位置关系的转化16．平面法向量的求法求平面法向量的步骤为：(1)设平面的法向量为n＝(x，y，z)；(2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)；(3)根据法向量的定义建立关于x，y，z的方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·a＝0，,n·b＝0；))(4)解方程组，取其中的一个解，即得法向量的坐标．17．用空间向量求空间角(1)假设异面直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，它们所成的角为θ，那么cosθ＝|cos〈v1，v2〉|.(2)利用空间向量方法求直线与平面所成的角，可以有两种方法：一是分别求出斜线和它在平面内的射影的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；二是通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角．(3)利用空间向量方法求二面角，也可以有两种方法：一是分别在二面角的两个面内找到一个与棱垂直且从垂足出发的两个向量，那么这两个向量的夹角的大小就是二面角的平面角的大小；二是通过平面的法向量来求，设二面角的两个面的法向量分别为n1和n2，那么二面角的大小等于〈n1，n2〉(或π－〈n1，n2〉)．注意：利用空间向量方法求二面角时，注意结合图形判断二面角是锐角还是钝角．18．直线与圆锥曲线的位置关系可通过表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断．设直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，圆锥曲线方程为f(x，y)＝0.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C＝0，,fx，y＝0，))消元，如消去y后得ax2＋bx＋c＝0.(1)假设a＝0，当圆锥曲线是双曲线时，直线l与双曲线的渐近线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线l与抛物线的对称轴平行(或重合)．(2)假设a≠0，设Δ＝b2－4ac①Δ＞0时，直线和圆锥曲线相交于不同的两点；②Δ＝0时，直线和圆锥曲线相切于一点；③Δ＜0时，直线和圆锥曲线没有公共点．19．直线与圆锥曲线相交时的弦长问题斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，那么所得弦长|P1P2|＝eq\r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2])或|P1P2|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,k2)))[y1＋y22－4y1y2]).20．解答排列组合问题的角度解答排列组合应用题要从“分析〞“分辨〞“分类〞“分步〞的角度入手．(1)“分析〞就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素〞，哪些是“位置〞．(2)“分辨〞就是区分是排列还是组合，对某些元素的位置有无限制等．(3)“分类〞就是对于较复杂的应用题中的元素往往分成互相排斥的几类，然后逐类解决．(4)“分步〞就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列组合问题，然后逐步解决．21．解答关于二项式定理问题的五种方法(1)常规问题通项分析法．(2)系数和差型赋值法．(3)近似问题截项法．(4)整除(或余数)问题展开法．(5)最值问题不等式法．22．用样本估计总体(1)众数为频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标．(2)中位数为平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标．(3)平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．23．方差与标准差的计算标准差的平方就是方差，方差的计算(1)根本公式s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\x\to(x))2＋(x2－eq\x\to(x))2＋…＋(xn－eq\x\to(x))2]．(2)简化计算公式①s2＝eq\f(1,n)[(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋…＋xeq\o\al(2,n))－n·eq\x\to(x)2]，或写成s2＝eq\f(1,n)(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋…＋xeq\o\al(2,n))－eq\x\to(x)2，即方差等于原数据平方和的平均数减去平均数的平方．(3)简化计算公式②s2＝eq\f(1,n)(x′eq\o\al(2,1)＋x′eq\o\al(2,2)＋…＋x′eq\o\al(2,n))－eq\x\to(x)′2当一组数据中的数据较大时，可依照简化平均数的计算方法，将每个数同时减去一个与它们的平均数接近的常数a，得到一组新数据x1′＝x1－a，x2′＝x2－a，…，xn′＝xn－a，即得上述公式．24．复数的根本概念与运算问题的解题思路(1)与复数的相关概念和复数的几何意义有关的问题，一般是确定复数的实部和虚部，然后再根据实部、虚部所满足的条件，列方程(组)求解．(2)与复数z的模|z|和共轭复数eq\x\to(z)有关的问题，一般都要先设出复数z的代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，代入条件，用待定系数法解决．25．用程序框图描述算法应注意的问题(1)读懂程序框图，弄清程序框图的根本结构．(2)含有循环结构的程序，要执行完每一次循环，直至循环结束．26．应用合情推理应注意的问题(1)在进行归纳推理时，要先根据的局部个体，把它们适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论．(2)在进行类比推理时，要充分考虑对象性质的推理过程，然后类比推导类比对象的性质．四、考前必纠的37个易错点易错点1遗忘空集致误由于空集是任何非空集合的真子集，因此B＝∅时也满足B⊆A.解含有参数的集合问题时，要特别注意当参数在某个范围内取值时所给的集合可能是空集这种情况．易错点2无视集合元素的三性致误集合中的元素具有确定性、无序性、互异性，集合元素的三性中互异性对解题的影响最大，特别是带有字母参数的集合，实际上就隐含着对字母参数的一些要求．易错点3混淆命题的否认与否命题命题的“否认〞与命题的“否命题〞是两个不同的概念，命题p的否认是否认命题所作的判断，而“否命题〞是对“假设p，那么q〞形式的命题而言，既要否认条件也要否认结论．易错点4充分条件、必要条件颠倒致误对于两个条件A，B，如果A⇒B成立，那么A是B的充分条件，B是A的必要条件；如果B⇒A成立，那么A是B的必要条件，B是A的充分条件；如果A⇔B，那么A，B互为充分必要条件．解题时最容易出错的就是颠倒了充分性与必要性，所以在解决这类问题时一定要根据充分条件和必要条件的概念作出准确的判断．易错点5“或〞“且〞“非〞理解不准致误命题p∨q真⇔p真或q真，命题p∨q假⇔p假且q假(概括为一真即真)；命题p∧q真⇔p真且q真，命题p∧q假⇔p假或q假(概括为一假即假)；非p真⇔p假，非p假⇔p真(概括为一真一假)．易错点6函数的单调区间理解不准致误在研究函数问题时要时时刻刻想到“函数的图像〞，学会从函数图像上去分析问题、寻找解决问题的方法．对于函数的几个不同的单调递增(减)区间，切忌使用并集，只要指明这几个区间是该函数的单调递增(减)区间即可．易错点7判断函数的奇偶性忽略定义域致误判断函数的奇偶性，首先要考虑函数的定义域，一个函数具备奇偶性的必要条件是这个函数的定义域关于原点对称，如果不具备这个条件，函数一定是非奇非偶函数．易错点8函数零点定理使用不当致误如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是一条连续的曲线，并且有f(a)f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，但f(a)f(b)＞0时，不能否认函数y＝f(x)在(a，b)内有零点．函数的零点有“变号零点〞和“不变号零点〞，对于“不变号零点〞函数的零点定理是“无能为力〞的，在解决函数的零点问题时要注意这个问题．易错点9导数的几何意义不明致误函数在一点处的导数值是函数图像在该点处的切线的斜率．但在许多问题中，往往是要解决过函数图像外的一点向函数图像上引切线的问题，解决这类问题的根本思想是设出切点坐标，根据导数的几何意义写出切线方程．然后根据题目中给出的其他条件列方程(组)求解．因此解题中要分清是“在某点处的切线〞，还是“过某点的切线〞．易错点10导数与极值关系不清致误f′(x0)＝0只是可导函数f(x)在x0处取得极值的必要条件，即必须有这个条件，但只有这个条件还不够，还要考虑是否满足f′(x)在x0两侧异号．另外，极值点求参数时要进行检验．易错点11三角函数的单调性判断致误对于函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调性，当ω＞0时，由于内层函数u＝ωx＋φ是单调递增的，所以该函数的单调性和y＝sinx的单调性相同，故可完全按照函数y＝sinx的单调区间解决；但当ω＜0时，内层函数u＝ωx＋φ是单调递减的，此时该函数的单调性和函数y＝sinx的单调性相反，就不能再按照函数y＝sinx的单调性解决，一般是根据三角函数的奇偶性将内层函数的系数变为正数后再加以解决．对于带有绝对值的三角函数应该根据图像，从直观上进行判断．易错点12图像变换方向把握不准致误函数y＝Asin(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0，x∈R)的图像可看作由下面的方法得到：(1)把正弦曲线上的所有点向左(当φ＞0时)或向右(当φ＜0时)平行移动|φ|个单位长度；(2)再把所得各点横坐标缩短(当ω＞1时)或伸长(当0＜ω＜1时)到原来的eq\f(1,ω)倍(纵坐标不变)；(3)再把所得各点的纵坐标伸长(当A＞1时)或缩短(当0＜A＜1时)到原来的A倍(横坐标不变)．即先作相位变换，再作周期变换，最后作振幅变换．假设先作周期变换，再作相位变换，应左(右)平移eq\f(|φ|,ω)个单位．另外注意根据φ的符号判定平移的方向．易错点13无视零向量致误零向量是向量中最特殊的向量，规定零向量的长度为0，其方向是任意的，零向量与任意向量都共线．它在向量中的位置正如实数中0的位置一样，但有了它容易引起一些混淆，稍微考虑不到就会出错，考生应给予足够的重视．易错点14向量夹角范围不清致误解题时要全面考虑问题．数学试题中往往隐含着一些容易被考生所无视的因素，能不能在解题时把这些因素考虑到，是解题成功的关键，如当a·b＜0时，a与b的夹角不一定为钝角，要注意θ＝π的情况．易错点15an与Sn关系不清致误在数列问题中，数列的通项an与其前n项和Sn之间存在以下关系：an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))这个关系对任意数列都是成立的，但要注意的是这个关系式是分段的，在n＝1和n≥2时这个关系式具有完全不同的表现形式，这也是解题中经常出错的一个地方，在使用这个关系式时要牢牢记住其“分段〞的特点．易错点16对等差、等比数列的定义、性质理解错误等差数列的前n项和在公差不为0时是关于n的常数项为0的二次函数；一般地，有结论“假设数列{an}的前n项和Sn＝an2＋bn＋c(a，b，c∈R)，那么数列{an}为等差数列的充要条件是c＝0”；在等差数列中，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m(m易错点17数列中的最值错误数列问题中其通项公式、前n项和公式都是关于正整数n的函数，要善于从函数的观点认识和理解数列问题．数列的通项an与前n项和Sn的关系是高考的命题重点，解题时要注意把n＝1和n≥2分开讨论，再看能不能统一．在关于正整数n的二次函数中其取最值的点要根据正整数距离二次函数的对称轴的远近而定．易错点18错位相减求和时项数处理不当致误错位相减求和法的适用条件：数列是由一个等差数列和一个等比数列对应项的乘积所组成的，求其前n项和．根本方法是设这个和式为Sn，在这个和式两端同时乘以等比数列的公比得到另一个和式，这两个和式错一位相减，就把问题转化为以求一个等比数列的前n项和或前n－1项和为主的求和问题．这里最容易出现问题的就是错位相减后对剩余项的处理．易错点19不等式性质应用不当致误在使用不等式的根本性质进行推理论证时一定要准确，特别是不等式两端同时乘以或同时除以一个数式、两个不等式相乘、一个不等式两端同时n次方时，一定要注意使其能够这样做的条件，如果无视了不等式性质成立的前提条件就会出现错误．易错点20无视根本不等式应用条件致误利用根本不等式a＋b≥2eq\r(ab)以及变式ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2等求函数的最值时，务必注意a，b为正数(或a，b非负)，ab或a＋b其中之一应是定值，特别要注意等号成立的条件．对形如y＝ax＋eq\f(b,x)(a，b＞0)的函数，在应用根本不等式求函数最值时，一定要注意ax，eq\f(b,x)的符号，必要时要进行分类讨论，另外要注意自变量x的取值范围，在此范围内等号能否取到．易错点21解含参数的不等式时分类讨论不当致误解形如ax2＋bx＋c＞0的不等式时，首先要考虑对x2的系数进行分类讨论．当a＝0时，这个不等式是一次不等式，解的时候还要对b，c进一步分类讨论；当a≠0且Δ＞0时，不等式可化为a(x－x1)(x－x2)＞0，其中x1，x2(x1＜x2)是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，如果a＞0，那么不等式的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，如果a＜0，那么不等式的解集是(x1，x2)．易错点22不等式恒成立问题处理不当致