高中数学直线方程考点解析和例题辅导

直线和圆的方程一直线方程

高考要求：

理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握由一点和斜率导

出直线方程的方法；掌握直线方程的点斜式、两点式和直线方程的一般式，并能根据条件熟

练地求出直线方程.

知识点归纳；

1•数轴上两点间距离公式:\AB\=\XB-XA\,

2,直角坐标平面内的两点间距离公式：俨0|=5（项72）2+（必一%）2

3,直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与X轴相交的直线，如果把X轴绕着交点

按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为。，那么a就叫做直线的倾斜角.

当直线和X轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0°.

可见，直线倾斜角的取值范围是0°WaV180°.

4直线的斜率：倾斜角。不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用A

表示，即k=tanQ（。#90°）.

倾斜角是90°的直线没有斜率；倾斜角不是90°的直线都有斜率，其取值范围是

（—8,4-00）,

5,直线的方向向量：设F\（X1，力）、F2（%2»〉2）是直线上不同的两点，则向量产]尸2=（、2

一的，儿一了1）称为直线的方向向量，

向量」一而=a,左二工）=（1,n也是该直线的方向向量，&是直线的斜率

x2-X|x2-X|

,特别地，垂直于x轴的直线的一个方向向量为。=（0,1）

6•求直线斜率的方法

①定义法：已知直线的倾斜角为。，且aW90°,则斜率％=tan/

②公式法：已知直线过两点外（为，yi）、P，（x„丫2），且则斜率k打一）'二

々-X]

③方向向量法：若。=Cm,n）为直线的方向向量，则直线的斜率上仪.

m

平面直角坐标系内，每一条直线都有倾斜角，但不是每一条直线都有斜率.

对于直线上任意两点Pl（X|»yi）、PI（X2，了2），当X1=X2时，直线斜率k不存在，倾斜

角a=90°；当时，直线斜率存在，是一实数，并且时，a=arctaM；/<0时，

a=Ti+arctanfc

7,直线方程的五种形式

点斜式：y-yQ=k(x-x0),斜截式：y=kx+b

两点式：之二21=±NL,截距式：二+)=1

y2-y1x2-%1ab

一般式：Ax+By+C=0

题型讲解：

例1已知△ABC的三个顶点是A(3,一4)、B(0,3)、C(-6,0),求它的三条边所

在的直线方程.

分析：一条直线的方程可写成点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式等多种形式.使

用时，应根据题目所给的条件恰当选择某种形式，使得解法简便,由顶点8与C的坐标可知

点8在y轴上，点C在x轴上，于是BC边所在的直线方程用截距式表示，AB所在的直线

方程用斜截式的形式表示，4c所在的直线方程利用两点式或点斜式表示均可，最后为统一

形式，均化为直线方程的一般式.

解：①因△A8C的顶点8与C的坐标分别为(0,3)和(-6,0),

故B点在y轴上，C点在x轴上，

即直线BC在x轴上的截距为-6,在y轴上的截距为3,

利用截距式，直线8c的方程为二匚+上=1,

-63

化为一般式为x—2y+6=d

②由于3点的坐标为(0,3),故直线A8在y轴上的截距为3,利用斜截式，得直线

AB的方程为y=kx+3.

7

又由顶点A(3,—4)在其上，所以-4=3女+3,故仁一一.

3

7

于是直线AB的方程为)，=一丁+3,化为一般式为7#3厂9=在

③由A(3,一4)、C(-6,0),

得直线AC的斜率心产-二4-30=一34

3-(-6)9

利用点斜式得直线AC的方程为

4

y—0=——(x+6),

9

化为一般式为4x+9y+24=0,

点评：本题考查了求直线方程的基本方法.

例2已知两直线a\x+b\y+l=0和色用也y+l=0的交点为P(2,3),求过两点Q\(〃i,

b\)、02(。2,岳)的直线方程，

分析：利用点斜式或直线与方程的概念进行解答.

解：丁尸(2,3)在已知直线上，

/.2〃]+36+1=0,2。2+3〃2+1=0，

.*.2(〃]—〃2)+3(伍一岳)=0,即刍——=——.

a}-a23

2

・••所求直线方程为y一仇=——（X—«i）.

3

/.2x+3y—（2。|+3仇）=0,B|J2x+3y+l=0.

点评：此解法运用了整体代入的思想，方法巧妙.

例3-—条直线经过点尸（3,2）,并且分别满足下列条件，求直线方程：

（1）倾斜角是直线了一4）升3=0的倾斜角的2倍；

（2）与小），轴的正半轴交于A、B两点,且△A03的面积最小（。为坐标原点）.

分析：（2）将面积看作截距心。的函数，求函数的最小值即可.

解：（1）设所求直线倾斜角为%已知直线的倾斜角为%则伊=2",且tana=」,

4

cc8

tan0=tan2Q=—,

15

从而方程为8冗-15y+6=0.

（2）设直线方程为2+2=1,。＞0,b＞0,

ab

代入户（3,2）,得=得成224,

abVcib

从而S〉AOB=I2，

2.,b2

此时一=一,・・k=——=——・

aha3

方程为2x+3y—12=0.

点评：此题（2）也可以转化成关于。或〃的一元函数后再求其最小值.

例4过点（2,1）作直线/分别交x,y轴正并轴于A,B两点.

⑴当AAOB面积最小时，求直线/的方程；

⑵当|PA|x|PB|取最小值时,求直线/的方程.

解：⑴设所求的直线/方程为2+2=1（。＞0力＞0）,

ab

.A21,

由已知一+—=1，

ab

（2+!丫

=

于是一x7A"c'AOB=＞4,

ah242

211

当且仅当一=—=—,即a=4,b=2时取等号，

ab2

此时直线/的方程为二+』=1,即x+2y-4=0.

42

⑵解法一:设直线2：y—l=k(x—2),分别令y=O,x=O,得A(2——,0),B(0,l—2k).

k

则|PA|x|PB|=J(4+4/)(1+《)=，8+4仅2+J)24,当且仅当!?=1,即k=±l时,取最小

值，

又k<0,；.k=—1,此时直线/的方程为x+y—3=0.

解法二：如图，设NPAO=6,则|PA|="sin0,|PB|=2cose(0<e<n/2),

|PA|x|PB|=y(sin0cos6)=4/sin2e>4,

.•.当且仅当sin20=—1即6=3nA时，3|*.|取最小值4,此时直线/的斜率为一1,方程为

x+y-3=0.

点评：本题分别选用了截距式和点斜式，应根据条件灵活选用直线方程的形式.

例5直线/被两条直线4:4x+y+3=0和/2：3x-5-5=0截得的线段中点为P(—1,2),求直线/

的方程.

解：设点(a,b)在4上，依题意，(一2一a,4—b)在直线4上，

4a+b—3—0,、,a=—2

5，解之得：《•

3(-2-a)-5(4-/?)-5=0[b=5

山两点式得直线AB的方程为:3x+y+l=Q

例6已知两点A(-1,2)、B(m,3).

(1)求直线AB的斜率k与倾斜角a；

(2)求直线48的方程；

(3)已知实数加61，6-1]，求直线A3的倾斜角。的取值范围.

3

解：(1)当加=—1时，直线A3的斜率不存在，倾斜角。=巴.

2

1

当阳W—1时，k=

m+1

当m>—1时，o=arctan---,

m+1

当加V—1时，a=TI+arctan---.

m+1

(2)当加=—1时，AB：x=-1,

当机21时，AB：y—2=--—(x+l).

m+\

or

(3)①当加=—1时，a=—•

2

②当加W—1时，

,:k=―--£(-8,—]U[+0°)»

m+13f

•,—「兀兀、11/兀-i

6223

故综合①、②得，直线"的倾斜角OGA

小结：

1.直线的倾斜角、斜率及直线在坐标轴上的截距是刻画直线位置状态的基本量，应正确

理解；直线方程有五种形式，其中点斜式要熟练掌握，这五种形式的方程表示的直线各有适

用范围，解题时应注意不要丢解；含参数的直线方程问题用数形结合法常常简捷些.

2.注意斜率和倾斜角的区别.

3,直线方程的点斜式、两点式、斜截式、截距式等都是直线方程的特殊形式，其中点斜

式是最基本的，其他形式的方程皆可由它推导,直线方程的特殊形式都具有明显的几何意义,

但又都有一些特定的限制条件，因此应用时要注意它们各自适用的范围，以避免漏解，

4如何建立平面坐标系内满足一定条件的直线的方程通用的解决方法是待定系数法；根

据所知条件选择恰当的直线方程的形式是解题的关键；克服各类方程局限性的手段是分类讨

论；开阔思路分析问题的措施是数形结合.

练习:

Jr

1,直线xtan—+y=0的倾斜角是

7C兀、6几f—•r­_、

解析：^=-tan—=tan（兀——）=tan—且—£00,兀）・

7777

答案：D

2.过两点（-1,1）和（3,9）的直线在冗轴上的截距是

32-2

A»——B,——C—D2

235

解析：求出过（一1,1）、（3,9）两点的直线方程，令尸0即得

答案：A

3,直线xcosa+6丫+2=0的倾斜角范围是

（~7C兀、,7T57c-|r-_7U-i「5/U、

Ai[—，—）U（一,—]B»[0,1]U[—，n）

622666

_5JC-I-「兀57t-i

C.[0,一]D,一]

666

解析：设直线的倾斜角为明

则tan0=—cos。，又一IWcos。W1,

百

—^tan0^[0,-]U[―,it）.

3366

答案：B

4直线y=l与直线产后x+3的夹角为.

解法一：A：y=l与6：产百户3的斜率分别为舟=0,&2=百•由两直线的夹角公式得tan

a=\生也I=73,所以两直线的夹角为60°.

1+kxk2

解法二：/|与，2表示的图象为y=l与X轴平行，产后X+3与x轴倾斜角为60°,所以产1

与丫=75\+3的夹角为60°.

答案：60°

5,下列四个命题：①经过定点尸。（刖，%）的直线都可以用方程y—y0=k（x-x0）表示；②经

过任意两个不同的点P\(XP力)、巳。2，力)的直线都可以用方程(初一两)(X一两)=(力

一V)(y-力)表示；③不经过原点的直线都可以用方程±