高三数学寒假作业11

高三数学寒假作业11

一、单选题：本大题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

1.已知集合A={x,+3x—4>。},8={4,一1]<2},则(々A)IB=()

A.1%|-1<X<1)B.{x|-l<%<31

C.{x[l<x<3}D.|x|-l<x<l!

2.已知复数z满足((2+i)z=5-5i,则2=()

A.3-3zB.l-3zC.l+3iD.3+3i

3.已知。，匕都是实数，则"k)g,L<log,!”是“/>/”()

'ab

A.充要条件B.必要不充分条件

C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件

4.函数/(x)=-^2的部分图象大致为()

e+e-

5.点P为抛物线。：产=2内(〃>0)的准线上一点，直线x=2〃交抛物线。于M,N两

点，若PMN的面积为20,则。=()

A.1B.C.2D.75

6.已知sin]。一目=g,则sin(2e+?)=()

7.已知点P是边长为2的菱形ABC。内的一点(包含边界)，且NB4D=120。，APAB的

取值范围是()

A.[-2.4JB.(-2,4)C.[-2,2]D.(-2,2)

8.已知正方体A8CO-A瓦GR的棱长为2,以A为球心，2及为半径的球面与平面

AdGA的交线长为()

A.-B.立土C.©rD.万

22

二、多选题：本大题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

9.已知向量。=(1,3),〃=(—2,1),c=(3,—5),则()

A.(q+2/7)//cB.(〃+2b)_Lc

C.|a+c|=Vio+^4D.\a+c\=2\b\

10.已知实数x,)，满足-3<%+2><2,-1<2%-><4,则()

A.x的取值范围为(-1,2)B.V的取值范围为(一2,1)

C.尤+y取值范围为(一3,3)D.x—y的取值范围为(一1,3)

11.已知函数/(x)=2sin(<yx+e)<yeN+，lel<q的图象经过点A(0,JJ),且在

I乙)

[0,2加上有且仅有4个零点，则下列结论正确的是()

A.co=2B.(p=—

6

C.f(x)在(-上单调递增D.f(x)在(0,2乃)上有3个极小值点

12.经研究发现：任意一个三次多项式函数/(乃=0?+法2+3+4(。羊0)的图象都只有

一个对称中心点(天，/(毛))，其中/是/"(尤)=0的根，/'(X)是/(x)的导数，f'(x)是

f\x)的导数.若函数/(x)=/+以2+x+b图象的对称点为(一1,2),且不等式

e*-，W(lnx+l)z[/(x)-d_3x2+e]xe对任意XG(1,+OO)恒成立，则()

A.a=3B.b=\C.m的值可能是一eD.加的值

可能是—

e

三、填空题：本大题共4小题.

13.在等差数列｛《,｝中，q=2,出+4=-8,则数列｛4｝的公差为.

14.将一个斜边长为4的等腰直角三角形以其一直角边所在直线为旋转轴旋转一周，所得儿

何体的表面积为.

V2V2

15.已知双曲线。：二-一上-=1的左焦点为尸，点M在双曲线C的右支上，A(0,4),当

88

△MAF的周长最小时，/\MAF的面积为.

16.己知函数/。)=卜2-％_“，若关于x的方程/(x)=a|x+l|恰有两个实数根，则实

数〃的取值范围是.

四、解答题：本大题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

7T

17.在ABC中，角A8,C所对的边分别为仇c已知8=—.

3

(1)若a=4,c=3,求sinA值

(2)若ABC的面积为4百，求ABC周长的最小值.

2

18.在①%+]-2a“+a,i=0(〃之2)且q=1,§5=25,@a3=5,Sn=n+tn,③

q=1,々=3,且S“-2,5,田，5什2成等差数列这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，

并作答.

,1，、

问题:设数列｛%｝的前"项和为s”,，若勿=//一，求数列｛〃｝的前〃项和为

Tn.

19.如图，在三棱柱ABC—A81cl中，BiGL平面A4ciC,。是44的中点，AAC。是边

(1)求证：CO_LBO；

(2)若BC=百，求二面角B—CQ—Bi的大小.

高三数学寒假作业11（答案解析）

一、选择题：本大题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

1.已知集合4=1,2+3》_4>0},B={x||x-l|<2},则(々A)IB=()

A.{x|-l<x<l}B.{x|-l<x<3}

C.{邓<尤<3}D,{x|-l<x<l)

【答案】A

【解析】因为4={X,2+3%一4>。}={%,<一4或》〉］},所以5A={x|-4WxWl}.

因为B-|x||x-l|<2}={*卜2<%-1<2}=1x|—1<x<3},

因此，(QA)cj?={H-.

故选：A.

2.已知复数z满足((2+i)z=5-5i,则z=()

A.3-3zB.l-3zC.l+3zD.3+3i

【答案】B

5-5/_(5-5z)(2-z)

【解析】因为（2+i）z=5-5i.所以=(l-z)(2-/)=l-3z.

2+i~(2+z)(2-z)

故选：B

3.已知a,人都是实数，则“log2!<log,1”是“a?〉/”的（）

~ah

A.充要条件B.必要不充分条件

C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】由log)一<log2;，得:〉一>0,则Q>b>0，从而>匕2,

abba

反之当.2>6时，取。=-3乃=1时，。为负数，对数无意义，所以log,log,：不成

ab

故“log,工<log,!”是“a2>b2”的充分不必要条件.

ab

【解析】因为/(—x)=In卜x|=In®=/(幻,所以f(x)是偶函数，

e~x+exe'+e~x

所以/(x)的图象关于y轴对称，排除A,C；

因为/①=(),排除D.

故选：B.

5.点尸为抛物线C：V=2*(〃>0)的准线上一点，直线x=2。交抛物线。于M,N两

点，若PMN的面积为20,则2=()

A.1B.0C.2D.75

【答案】C

【解析】由题意不妨设M(2〃,2〃)，N(2p,—2〃)，则田川的面积为gx4〃x?=20,

解得P=2.

故选：C

6.已知sin(e_^]=g,则sin(2e+。

)

2277

A.C.D.

9999

【答案】D

TT7TI

【解析】设-一，则6=。+—,$皿。=—,

12123

从而sin(26+2)=sin[2(a+^-j+y]=sin(2a+/)=cos2a=l-2sin2a=—

故选：D

7.已知点P是边长为2的菱形ABC。内的一点(包含边界)，且N&LD=120°,APAB^J

取值范围是()

A.[-2,4]B.(—2,4)C.[-2,2]D.(—2,2)

【答案】A

【解析】如图，建立平面直角坐标系，则A(0,0),8(2,0),C(l,石),0(-1,百).

设P(x,y),则一1〈尤K2,i^APAB=(x,y)•(2,0)=2XG[-2,4],

即AP-AB的取值范围是[-2,4]・

故选：A

8.已知正方体ABC。-4瓦的棱长为2,以A为球心，2正为半径的球面与平面

A4GA的交线长为()

A.£B.叵

C.叵兀D.兀

22

【答案】D

【解析】

由题意知AB产AD[=>/22+22=20.

如图，

在平面44GA内任取一点p,使42=2,

则AP=尸=272,

故以A为球心，2后为半径的球面与平面44GA的交线是以A为圆心，以2为半径的圆

弧用PR,

71

故该交线长为一x2二).

2

故选：D.

二、多选题：本大题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

9.9知向量a=(l,3),b=(―2,l),c=(3,-5),则()

A.(a+20)//cB.(a+2h)_Lc

C.|a+chx/io+V34D.\a+c\=2\b\

【答案】AD

【解析】由题意可得。+2Z?=（—3,5）,a+c=（4,—2）.因为a+2〃=—c，所以（a+2b）〃c，

则A正确，3错误；

对于C,D,因为|a+c|=,42+（—2）2=2右,。=J（一2>+1=#>,所以。+0=21],

则C错误，。正确.

故选：AD.

10.己知实数x,y满足—3<x+2y<2,—1<2》一》<4,则（）

A.%的取值范围为（一1,2）B.V的取值范围为（一2,1）

c.尤+y取值范围为（一3,3）D.x—y的取值范围为（-1,3）

【答案】ABD

【解析】因为T<2r-y<4,所以一2<4x-2y<8.因为-3<x+为<2,所以

-5<5%<10,则一lvxv2,故A正确；

因为-3<x+2yv2,所以—6<2x+4yv4.因为-1<2x—yv4,所以-4v—2%+yvl,

所以一10<5yv5,所以一2<y<l,故8正确；

936114

因为-3v%+2y<2,—lv2x—y<4,所以一<g（x+2y）<《，一二<^（2]一），）<g,

则一2vx+yv2,故C错误；

2133312

因为一3<x4-2y<2>—1<2%—yv4,所以一g<——（x+2y）—（2x—y）<,

则一lvx-yv3,故。正确.

故选：ABD.

11.己知函数/（x）=2sin（3x+e）[ft>eN+，lel<a）的图象经过点A（0,、回），且/（x）在

[0,2扪上有且仅有4个零点，则下列结论正确的是（）

人4

A.69=2B.(p=—

6

c."X)在［-?,o)上单调递增D./(X)在(0,20上有3个极小值点

【答案】AC

【解析】因为点A(0,8)在/(X)的图象上，所以2sin9=有，所以sin(p=*.

因为所以9=?，则/'(x)=2sin(s+?)<yeM).

HH)7

由0«XW2乃，得一<COXH—<ITVCOH—.

333

因为/(%)在［0,2m上有且仅有4个零点，

所以4乃工<5］，所以一<69<—.

363

因为&eN+，所以⑦=2,则/(x)=2sin(2x+(),故A正确，B错误.

TTTTTT)TT7T

令2Z乃---<2x+—<2左乃+—(左GZ),解得kji-----<x<k7V-\----(&EZ),

2321212

当攵=0时，----<x<—.因为(一

1212I

所以/(X)在［-0)上单调递增，故C正确.

由/(X)的图象易知.f(x)在(0,2%)上有2个极小值点，故D错误.

X

故选：AC

12.经研究发现：任意一个三次多项式函数/'(x)=o?+陵2+5+4(0W0)的图象都只有

一个对称中心点(玉),/(毛))，其中/是/"(x)=0的根，/'(X)是/(x)的导数，/‘(X)是

f\x)的导数.若函数f(x)^x3+ax2+x+b图象的对称点为(一1,2),且不等式

e"-，n*lnx+l)之［/(幻一/-3%2+6］下对任意xe(l,+oo)恒成立，则()

A.。=3B.匕=1C.m的值可能是一eD.加的值可能是一！

e

【答案】ABC

【解析】由题意可得了(-1)=一1+。-1+〃=2,

因为/'(x)=3f+2or+l,所以/1"(尤)=6x+2a,

所以/"(—1)=-6+2。=0,

解得a=3,b=l,故./1(X)=X3+3X2+X+1.

因为X>1,所以，一/侬'(111%+1)2"(%)-%3-3%2+6］£等价于

<x。e”—(x+1+e)

In尤+1

设g(x)="-x-1(x>。)，则，(x)=/-1>0,

从而g(X)在(0,+8)上单调递增.

因为g(0)=0,所以g(x)>0,即">x+l，

则xZ*=eMv、Nx-elnx+l(当且仅当时,等号成立),

“**”—(x+1+e)、―elnx—e“

从而--------------->----------=—e，故W-e.

lnx+1lnx+1

故选：ABC.

三、填空题：本大题共4小题.

13.在等差数列｛«,｝中，q=2,々+%=-8,则数列｛«,｝的公差为.

【答案】-3

【解析】设数列｛%｝的公差为d因为4+g=-8,所以4=-4，则

4=牝幺=*匚=-3.

3-12

故答案为：—3

14.将一个斜边长为4的等腰直角三角形以其一直角边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几

何体的表面积为.

【答案】(8+8后)乃

【解析】因为等腰直角三角形的斜边长为4,

所以直角边长为2夜，

由题意可知所得几何体是圆锥，其底面圆的半径/•=20，母线长/=4,

则其表面积为"产+%"=(8+8垃)4.

故答案为：(8+8及)).

22

15.已知双曲线C:日匕=1的左焦点为尸，点M在双曲线C的右支上，A(0,4),当

88

△MAF的周长最小时，ZXM4F的面积为.

【答案】12

【解析】如图，设双曲线C的右焦点为尸'.由题意可得a=2右，尸(—4,0),F'(4,0).

因为点M在右支上，所以丹-k|=20=4及，所以|M月=|MF|+4正，贝U

△M4广的周长为

|M4|+|MF|+|AF|=|A^4|+|A/F|+8V2>|AF,|+8V2=12V2,

即当M在M'处时，AM4尸的周长最小，此时直线AE'的方程为丫=-*+4.

y=-x+4

联立(炉y2,整理得y—1=。，贝l」yM，=l，

------=1

I88

故的面积为b'||九，|=gx8x(4-l)=12.

故答案为：12

16.已知函数若关于x的方程/(x)=a|x+l|恰有两个实数根，则实

数。的取值范围是.

【答案】(1,5)。{0}

【解析】由题意可得上2-》一1|=。k+1|,显然x=—1不是方程的实数根，

lx2-x-l|1

则———=(x+D+--------3,

|x+l|X+1

故关于X的方程/(x)=a\x+『恰有两个实数根，

等价于丁=。与y=(x+D+」二一3的图象恰有两个不同的交点.

画出y=(》+1)+」二一3的大致图象，如图所示，

X+1

由图象可得a€(1,5)30}•

故答案为:a,答3°}・

四、解答题：本大题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

7T

17.在A5C中，角AB,。所对的边分别为a,dc.已知8=一.

3

(1)若a=4,c=3,求sinA的值

(2)若A5c的面积为4百，求ABC周长的最小值.

【解析】(1)由余弦定理可得〃=a2+c2-2accos8=16+9-2x4x3x2=13,则

2

b-V13.

,V3

x

由正弦定理可得-----=——则..asin8?2A/39.

sinAsinBsmA=------=—尸£=-----

b历13

(2)因为A3c的面积为46，所以工acsin8=更40=46,则QC=16.

24

由余弦定理可得/-a2+c2-2accosB-cr+c2-ac<

则〃2ac=16(当且仅当a=c时，等号成立)，即824.

因为无=/+c?-ac=(a+c)2-3ac,所以(a+c]=〃+3ac>4ac-64,

所以a+c28(当且仅当a=c时，等号成立)，

故a+8+c212,即ABC周长的最小值为12.

18.在①a“+l-2a“+a“T=0(〃22)且a]=l,S5=25,②/=5,S“=〃？+/〃，③

q=1,々=3,且S“-2,S,用，S,“2成等差数歹U这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，

并作答.

问题：设数列｛4｝的前〃项和为5“，.若d=」一，求数列也“｝的前〃项和为

anan+\

人

【解析】若选①，因为4川-2a“+。“_|=0,所以a,用一%即数列｛%,｝是等

a\=1

差数列.因为q=l，Ss=25,所以1°,5x4,

05=5〃]H——a=25

解得q=l,d=2,故a,=q=.

因为所以“=（2〃T）；2〃+1）=\/一备）

]_]_1

则[="+"+%++2+++焉

235J(5

2

若选②，因为S〃=/?2+5,所以S3=3?+3/=3/+9,S2=2+2/=2f+4,

所以％=$3-52=1+5=5,解得，=0,

则a”=S〃_S〃7=/_(〃-1)2=2H-1(/Z>2).

因为4=5=1满足上式，所以。“=2〃-1.

因为4V4-〃+]'所以—nk+212〃-12n+lPJ

1\((1

则(=4+4+&++