2024届浙江省绍兴市诸暨中学数学高一下期末教学质量检测模拟试题含解析

2024届浙江省绍兴市诸暨中学数学高一下期末教学质量检测模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知数列满足递推关系，则（）A． B． C． D．2．已知空间中两点,则长为()A． B． C． D．3．某个算法程序框图如图所示，如果最后输出的的值是25，那么图中空白处应填的是（）A． B． C． D．4．已知数列的前项和为，令，记数列的前项为，则（）A． B． C． D．5．图1是我国古代数学家赵爽创制的一幅“勾股圆方图”（又称“赵爽弦图”)，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形.受其启发，某同学设计了一个图形，它是由三个全等的钝角三角形与中间一个小正三角形拼成一个大正三角形，如图2所示，若，，则线段的长为（)A．3 B．3.5 C．4 D．4.56．公差不为零的等差数列的前项和为.若是的等比中项,，则等于（）A．18 B．24 C．60 D．907．已知实数满足,那么的最小值为(

)A． B． C． D．8．在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为()A．平行四边形 B．矩形 C．梯形 D．菱形9．三角形的一个角为60°，夹这个角的两边之比为，则这个三角形的最大角的正弦值为（）A． B． C． D．10．《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺.问积几何？答曰：二千一百一十二尺.术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”.这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一.”就是说：圆堡瑽（圆柱体）的体积为：V＝×（底面的圆周长的平方×高）．则由此可推得圆周率的取值为（）A．3 B．3.14 C．3.2 D．3.3二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．若过点作圆的切线，则直线的方程为_______________.12．___________.13．正项等比数列中，为数列的前n项和，，则的取值范围是____________．14．过点作圆的切线，则切线的方程为_____．15．已知，，，则的最小值为______．16．已知角满足，则_____三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知三棱柱中,三个侧面均为矩形,底面为等腰直角三角形,,点为棱的中点,点在棱上运动.（1）求证；（2）当点运动到某一位置时，恰好使二面角的平面角的余弦值为，求点到平面的距离；（3）在（2）的条件下，试确定线段上是否存在一点，使得平面？若存在，确定其位置；若不存在，说明理由.18．已知小岛A的周围38海里内有暗礁，船正向南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东30°，航行30海里后在C处测得小岛A在船的南偏东45°，如果此船不改变航向，继续向南航行，问有无触礁的危险？19．如果数列对任意的满足：，则称数列为“数列”.（1）已知数列是“数列”，设，求证：数列是递增数列，并指出与的大小关系（不需要证明）；（2）已知数列是首项为，公差为的等差数列，是其前项的和，若数列是“数列”，求的取值范围；（3）已知数列是各项均为正数的“数列”，对于取相同的正整数时，比较和的大小，并说明理由.20．如图，在正三棱柱中，边的中点为，．⑴求三棱锥的体积；⑵点在线段上，且平面，求的值．21．某校为了了解学生每天平均课外阅读的时间（单位：分钟)，从本校随机抽取了100名学生进行调查，根据收集的数据，得到学生每天课外阅读时间的频率分布直方图，如图所示，若每天课外阅读时间不超过30分钟的有45人.（Ⅰ)求，的值；（Ⅱ)根据频率分布直方图，估计该校学生每天课外阅读时间的中位数及平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表).

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解题分析】

两边取倒数，可得新的等差数列，根据等差数列的通项公式，可得结果.【题目详解】由，所以则，又，所以所以数列是以2为首项，1为公比的等差数列所以，则所以故选：B【题目点拨】本题主要考查由递推公式得到等差数列，难点在于取倒数，学会观察，属基础题.2、C【解题分析】

根据空间中的距离公式，准确计算，即可求解，得到答案．【题目详解】由空间中的距离公式，可得，故选C．【题目点拨】本题主要考查了空间中的距离公式，其中解答中熟记空间中的距离公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．3、B【解题分析】

分别依次写出每次循环所得答案，再与输出结果比较，得到答案.【题目详解】由程序框图可知，第一次循环后，，，；第二次循环后，，，；第三次循环后，，，；第四次循环后，，，；第五次循环后，，，此时，则图中空白处应填的是【题目点拨】本题主要考查循环结构由输出结果计算判断条件，难度不大.4、B【解题分析】

由数列的前项和求通项，再由数列的周期性及等比数列的前项和求解．【题目详解】因为，当时，得；当，且时，，不满足上式，∴，所以，当时，；当是偶数时，为整数，则，所以；故对于任意正整数，均有：因为，所以．因为为偶数，所以，而，所以.故选：B．【题目点拨】本题考查数列的函数概念与表示、余弦函数的性质、正弦函数的诱导公式以及数列求和，解题的关键是当时，，和的推导，本题属于难题．5、A【解题分析】

设，可得，求得，在中，运用余弦定理，解方程可得所求值．【题目详解】设，可得，且，在中，可得，即为，化为，解得舍去），故选．【题目点拨】本题考查三角形的余弦定理，考查方程思想和运算能力，属于基础题．6、C【解题分析】

由等比中项的定义可得，根据等差数列的通项公式及前n项和公式，列方程解出和，进而求出.【题目详解】因为是与的等比中项，所以，即，整理得，又因为，所以，故，故选C.【题目点拨】该题考查的是有关等差数列求和问题，涉及到的知识点有等差数列的通项，等比中项的定义，等差数列的求和公式，正确应用相关公式是解题的关键.7、A【解题分析】

表示直线上的点到原点的距离，利用点到直线的距离公式求得最小值.【题目详解】依题意可知表示直线上的点到原点的距离，故原点到直线的距离为最小值，即最小值为，故选A.【题目点拨】本小题主要考查点到直线的距离公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.8、C【解题分析】∵＝＋＋＝－8a－2b＝2，与不平行，∴四边形ABCD为梯形．9、B【解题分析】

由余弦定理，可得第三边的长度，再由大角对大边可得最大角，然后由正弦定理可得最大角的正弦值．【题目详解】解：三角形的一个角为，夹这个角的两边之比为，设夹这个角的两边分别为和，则由余弦定理，可得第三边的长度为，三角形的最大边为，对应的角最大，记为，则由正弦定理可得，故选：B．【题目点拨】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，考查了计算能力，属于基础题．10、A【解题分析】试题分析：由题意知圆柱体积×（底面的圆周长的平方×高）,化简得：，故选A．考点：圆柱的体积公式．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、或【解题分析】

讨论斜率不存在时是否有切线，当斜率存在时，运用点到直线距离等于半径求出斜率【题目详解】圆即①当斜率不存在时，为圆的切线②当斜率存在时，设切线方程为即，解得此时切线方程为，即综上所述，则直线的方程为或【题目点拨】本题主要考查了过圆外一点求切线方程，在求解过程中先讨论斜率不存在的情况，然后讨论斜率存在的情况，利用点到直线距离公式求出结果，较为基础。12、【解题分析】

先将写成的形式，再根据诱导公式进行求解.【题目详解】由题意得：.故答案为：.【题目点拨】考查三角函数的诱导公式.，，,,.13、【解题分析】

利用结合基本不等式求得的取值范围【题目详解】由题意知，，且，所以，当且仅当等号成立，所以.故答案为：【题目点拨】本题考查等比数列的前n项和及性质，利用性质结合基本不等式求最值是关键14、或【解题分析】

求出圆的圆心与半径分别为：，，分别设出直线斜率存在与不存在情况下的直线方程，利用点到直线的距离等于半径即可得到答案．【题目详解】由圆的一般方程得到圆的圆心和半径分别为;，;（1）当过点的切线斜率不存在时，切线方程为：，此时圆心到直线的距离，故不与圆相切，不满足题意；（2）当过点的切线的斜率存在时，设切线方程为：，即为；由于直线与圆相切，所以圆心到切线的距离等于半径，即，解得：或，所以切线的方程为或；综述所述：切线的方程或【题目点拨】本题考查过圆外一点求圆的切线方程，解题关键是设出切线方程，利用圆心到切线的距离等于半径得到关系式，属于中档题．15、【解题分析】

将所求的式子变形为，展开后可利用基本不等式求得最小值.【题目详解】解：，，，，当且仅当时取等号．故答案为1．【题目点拨】本题考查了“乘1法”和基本不等式，属于基础题．由于已知条件和所求的式子都是和的形式，不能直接用基本不等式求得最值，使用“乘1法”之后，就可以利用基本不等式来求得最小值了.16、【解题分析】

利用诱导公式以及两角和与差的三角公式，化简求解即可．【题目详解】解：角满足，可得

则．

故答案为：．【题目点拨】本题考查两角和与差的三角公式，诱导公式的应用，考查计算能力，是基础题．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析；（2）；（3）存在，为中点.【解题分析】

（1）以CB为x轴，CA为y轴，CC1为z轴，C为原点建立坐标系，设E（m，0，2），要证A1C⊥AE，可证,只需证明，利用向量的数量积运算即可证明；（2）分别求出平面EA1D、平面A1DB的一个法向量，由两法向量夹角余弦值的绝对值等于，解得m值，由此可得答案；（3）在（2）的条件下，设F（x，y，0），可知与平面A1DB的一个法向量平行，由此可求出点F坐标，进而求出||，即得答案.【题目详解】（1）以CB为x轴，CA为y轴，CC1为z轴，C为原点建立坐标系，设E（m，0，2），C（0，0，0），A（0，2，0），A1（0，2，2），D（0，0，1），B（2，0，0），＝（0，﹣2，﹣2），＝（m，﹣2，2），因为＝0+（﹣2）×（﹣2）﹣2×2＝0，所以⊥，即A1C⊥AE；（2）＝（m，0，1），＝（0，2，1），设＝（x，y，z）为平面EA1D的一个法向量，则即，取＝（2，m，﹣2m），＝（2，0，﹣1），设＝（x，y，z）为平面A1DB的一个法向量，则，即，取＝（1，﹣1，2），由二面角E﹣A1D﹣B的平面角的余弦值为，得||＝，解得m＝1，平面A1DB的一个法向量＝（1，﹣1，2），根据点E到面的距离为：.（3）由（2）知E（1，0，2），且＝（1，﹣1，2）为平面A1DB的一个法向量，设F（x，y，0），则＝（x﹣1，y，﹣2），且，所以x﹣1＝﹣1，y＝1，解得x＝0，y＝1，所以＝（﹣1，1，﹣2），＝＝，故EF的长度为，此时点F（0，1，0）．存在F点为AC中点.【题目点拨】本题考查重点考查直线与平面垂直的性质、二面角的平面角及其求法、空间点、线、面间距离计算，考查学生空间想象能力、推理论证能力．18、继续向南航行无触礁的危险．【解题分析】试题分析：要判断船有无触礁的危险，只要判断A到BC的直线距离是否大于38海里就可以判断．解：在三角形ABC中：BC=30，∠B=30°，∠ACB=180°－45°=135°，故∠A=15°由正弦定理得：故于是A到BC的直线距离是Acsin45°==，大于38海里．答：继续向南航行无触礁的危险．考点：本题主要考查正弦定理的应用点评：分析几何图形的特征，运用三角形内角和定理确定角的关系，有助于应用正弦定理．19、（1）；（2）（3），证明见解析.【解题分析】

（1）由新定义，结合单调性的定义可得数列是递增数列；再根据，，可得；（2）运用新定义和等差数列的求和公式，解绝对值不等式即可得到所求范围；（3）对一切，有．运用数学归纳法证明，注意验证成立；假设不等式成立，注意变形和运用新定义，即可得证．【题目详解】（1）证明：数列是“数列”，可得，即，即，可得数列是递增数列，.（2）数列是“数列”，可得，即，可得，即有，或，或，即或或，所以.（3）数列是各项均为正数的“数列”，对于取相同的正整数时，，运用数学归纳法证明：当时，，，显