甘南市重点中学2024届数学高一下期末统考试题含解析

甘南市重点中学2024届数学高一下期末统考试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．如右图所示的直观图，其表示的平面图形是（A）正三角形（B）锐角三角形（C）钝角三角形（D）直角三角形2．电视台某节目组要从名观众中抽取名幸运观众．先用简单随机抽样从人中剔除人，剩下的人再按系统抽样方法抽取人，则在人中，每个人被抽取的可能性（）A．都相等，且为 B．都相等，且为C．均不相等 D．不全相等3．在中，，，分别是角，，的对边，且满足，那么的形状一定是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形4．若直线与圆相切，则（）A． B． C． D．5．已知直线l的方程为2x+3y＝5，点P（a，b）在l上位于第一象限内的点，则的最小值为（）A． B． C． D．6．已知两条直线m,n，两个平面α,β，给出下面四个命题：①m//n，m⊥α⇒n⊥α；②α//β，m⊂α，n⊂β⇒m//n；③m//n，m//α⇒n//α；④α//β，m//n，m⊥α⇒n⊥β其中正确命题的序号是（）A．①④B．②④C．①③D．②③7．已知等比数列的前项和为，若，，则数列的公比()A． B． C．或 D．以上都不对8．右边茎叶图记录了甲、乙两组各十名学生在高考前体检中的体重（单位：）.记甲组数据的众数与中位数分别为，乙组数据的众数与中位数分别为，则（）A． B．C． D．9．若某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是（）A．3 B．4 C．5 D．610．已知向量，且，则m=()A．−8 B．−6C．6 D．8二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．=__________.12．某校选修“营养与卫生”课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法从这70名学生中抽取一个样本，已知在高二年级的学生中抽取了8名，则在该校高一年级的学生中应抽取的人数为________．13．函数的定义域为_________.14．已知，，那么的值是________．15．已知向量a＝(3，2)，b＝(0，－1)，那么向量3b－a的坐标是．16．某单位为了了解用电量度与气温之间的关系，随机统计了某天的用电量与当天气温.气温（℃）141286用电量（度）22263438由表中数据得回归直线方程中，据此预测当气温为5℃时，用电量的度数约为____.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知等差数列的前n项和为，且，.（1）求；（2）求.18．某校举行汉字听写比赛，为了了解本次比赛成绩情况，从得分不低于50分的试卷中随机抽取100名学生的成绩(得分均为整数，满分100分)进行统计，请根据频率分布表中所提供的数据，解答下列问题：组号分组频数频率第1组[50，60)50.05第2组[60，70)0.35第3组[70，80)30第4组[80，90)200.20第5组[90，100]100.10合计1001.00（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若从成绩较好的第3、4、5组中按分层抽样的方法抽取6人参加市汉字听写比赛，并从中选出2人做种子选手，求2人中至少有1人是第4组的概率．19．如图，三棱锥中，，、、、分别是、、、的中点.（1）证明：平面；（2）证明：四边形是菱形20．如图所示，某海轮以30海里/小时的速度航行，在A点测得海面上油井P在南偏东，向北航行40分钟后到达点，测得油井P在南偏东，海轮改为北偏东的航向再行驶80分钟到达C点，求P，C间的距离．21．在中，已知角的对边分别为，且.（1）求角的大小；（2）若，是的中点，且，求的面积.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解题分析】略2、A【解题分析】

根据随机抽样等可能抽取的性质即可求解.【题目详解】由随机抽样等可能抽取，可知每个个体被抽取的可能性相等，故抽取的概率为.故选：A【题目点拨】本题考查了随机抽样的特点，属于基础题.3、C【解题分析】

由正弦定理，可得,.，或，或，即或，即三角形为等腰三角形或直角三角形，故选C.考点：1正弦定理;2正弦的二倍角公式.4、C【解题分析】

利用圆心到直线的距离等于圆的半径即可求解.【题目详解】由题得圆的圆心坐标为（0,0），所以.故选C【题目点拨】本题主要考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.5、C【解题分析】

由题意可得2a+3b＝5，a，b＞0，可得4a＝10﹣6b，（3b＜5），将所求式子化为b的关系式，由基本不等式可得所求最小值．【题目详解】直线l的方程为2x+3y＝5，点P（a，b）在l上位于第一象限内的点，可得2a+3b＝5，a，b＞0，可得4a＝10﹣6b，（3b＜5），则[（11﹣6b）+（9+6b）]（）（7），当且仅当时，即b，a，上式取得最小值，故选：C．【点评】本题考查基本不等式的运用：求最值，考查变形能力和化简运算能力，属于中档题．6、A【解题分析】依据线面垂直的判定定理可知命题①是正确的；对于命题②，直线m,n还有可能是异面，因此不正确；对于命题③，还有可能直线n⊂α，因此③命题不正确；依据线面垂直的判定定理可知命题④是正确的，故应选答案A.7、C【解题分析】

根据和可得，解得结果即可.【题目详解】由得，所以，所以，所以，解得或故选：C.【题目点拨】本题考查了等比数列的通项公式的基本量的运算，属于基础题.8、D【解题分析】甲组数据的众数为x1＝64，乙组数据的众数为x2＝66，则x1<x2；甲组数据的中位数为y1＝＝65，乙组数据的中位数为y2＝＝66.5，则y1<y2.9、C【解题分析】

根据程序框图依次计算得到答案.【题目详解】根据程序框图依次计算得到结束故答案为C【题目点拨】本题考查了程序框图，意在考查学生对于程序框图的理解能力和计算能力.10、D【解题分析】

由已知向量的坐标求出的坐标，再由向量垂直的坐标运算得答案．【题目详解】∵，又，∴3×4+（﹣2）×（m﹣2）＝0，解得m＝1．故选D．【题目点拨】本题考查平面向量的坐标运算，考查向量垂直的坐标运算，属于基础题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、2【解题分析】由对数的运算性质可得到，故答案为2.12、6【解题分析】

利用分层抽样的定义求解.【题目详解】设从高一年级的学生中抽取x名，由分层抽样的知识可知，解得x＝6.故答案为6.【题目点拨】本题主要考查分层抽样，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.13、【解题分析】

根据对数函数的真数大于0，列出不等式求解集即可．【题目详解】对数函数f（x）＝log2（x﹣1）中，x﹣1＞0，解得x＞1；∴f（x）的定义域为（1，+∞）．故答案为：（1，+∞）．【题目点拨】本题考查了求对数函数的定义域问题，是基础题．14、【解题分析】

首先根据题中条件求出角，然后代入即可.【题目详解】由题知，，所以，故.故答案为：.【题目点拨】本题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题.15、【解题分析】试题分析：因为,所以.考点：向量坐标运算.16、1【解题分析】

由表格得，即样本中心点的坐标为，又因为样本中心点在回归方程上且，解得：，当时，，故答案为1．考点：回归方程【名师点睛】本题考查线性回归方程，属容易题.两个变量之间的关系，除了函数关系，还存在相关关系，通过建立回归直线方程，就可以根据其部分观测值，获得对这两个变量之间整体关系的了解．解题时根据所给的表格做出本组数据的样本中心点，根据样本中心点在线性回归直线上，利用待定系数法做出的值，现在方程是一个确定的方程，根据所给的的值，代入线性回归方程，预报要销售的件数．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）【解题分析】

（1）由可求得公差，利用等差数列通项公式求得结果；（2）利用等差数列前项和公式可求得结果.【题目详解】（1）设等差数列公差为，则，解得：（2）由（1）知：【题目点拨】本题考查等差数列通项公式和前项和的求解问题，考查基础公式的应用，属于基础题.18、(1)35，0.30;(2).【解题分析】试题分析：（Ⅰ）直接利用频率和等于1求出b，用样本容量乘以频率求a的值；（Ⅱ）由分层抽样方法求出所抽取的6人中第三、第四、第五组的学生数，利用列举法写出从中任意抽取2人的所有方法种数，查出2人至少1人来自第四组的事件个数，然后利用古典概型的概率计算公式求解．试题解析：（Ⅰ）a＝100－5－30－20－10＝35，b＝1－0.05－0.35－0.20－0.10＝0.30（Ⅱ）因为第3、4、5组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组分别为，第3组：×30＝3人，第4组：×20＝2人，第5组：×10＝1人，所以第3、4、5组应分别抽取3人、2人、1人设第3组的3位同学为A1、A2、A3，第4组的2位同学为B1、B2，第5组的1位同学为C1，则从6位同学中抽2位同学有15种可能，如下：(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C1)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C1)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，C1)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B2，C1)．其中第4组被入选的有9种，所以其中第4组的2位同学至少有1位同学入选的概率为＝点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.19、(1)证明见解析；(2)证明见解析【解题分析】

（1）根据等腰三角形的性质，证得,由此证得平面.（2）先根据三角形中位线和平行公理，证得四边形为平行四边形，再根据已知,证得，由此证得四边形是菱形.【题目详解】解（1）因为，是的中点，所以因为，是的中点，所以又，平面，平面所以平面（2）因为、分别是、的中点所以且同理且所以且，即四边形为平行四边形又，所以所以四边形是菱形.【题目点拨】本小题主要考查线面垂直的证明，考查证明四边形是菱形的方法，考查等腰三角形的性质以及三角形中位线的性质，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.20、海里【解题分析】

在中，利用正弦定理可求得BP的长，在直角三角形中，利用勾股定理，可求P、C间的距离．【题目详解】在中，，，，由正弦定理知得，∴.在中，，又，∴，∴可得P、C间距离为（海里）【题目点拨